2021-2022学年山西省晋城市高平三甲中学高二数学理模拟试卷含解析

2021-2022学年山西省晋城市高平三甲中学高二数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数，且关于的方程有且只有一个实根，则实数的范围是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D2.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若a、b、c成等比数列，且c＝2a，则cosB＝

()．参考答案：B略3.将7个座位连成一排，安排4个人就坐，恰有两个空位相邻的不同坐法有（

）A.240 B.480 C.720 D.960参考答案：B12或67为空时，第三个空位有4种选择；23或34或45或56为空时，第三个空位有3种选择；因此空位共有，所以不同坐法有,选B.4.如图，在正方体中，为的中点，则与面所成角的正切值为(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：C5.下列五个写法：①；②；③{0,1,2}；④；

⑤，其中错误写法的个数为（

）A.

1

B.

2

C.

3

D.4参考答案：C6.已知变量x，y满足目标函数是z＝2x＋y，则有()A.zmax＝5，zmin＝3

B.zmax＝5，z无最小值C.zmin＝3，z无最大值

D.z既无最大值，也无最小值参考答案：A略7.已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（

）A.3

B.2

C.1

D.参考答案：A8.已知等差数列中，，则的值是（

）

A．15

B．30

C．31D．64参考答案：A略9.若圆C1：x2+y2﹣2tx+t2﹣4=0与圆C2：x2+y2+2x﹣4ty+4t2﹣8=0相交，则t的取值范围是（）A．﹣ B．﹣＜t＜0C．﹣＜t＜2 D．﹣或0＜t＜2参考答案：D【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【专题】直线与圆．【分析】根据这两个圆相交，可得圆心距大于半径之差而小于半径之和，可得3﹣2＜＜3+2，即0＜5t2+2t＜24，由此求得t的取值范围．【解答】解：圆C1：x2+y2﹣2tx+t2﹣4=0即（x﹣t）2+y2=4，表示以C1（t，0）为圆心、半径等于2的圆；圆C2：x2+y2+2x﹣4ty+4t2﹣8=0即（x+1）2+（y﹣2t）2=9，表示以C2（﹣1，2t）为圆心、半径等于3的圆．再根据这两个圆相交，可得圆心距大于半径之差而小于半径之和，即3﹣2＜＜3+2，即0＜5t2+2t＜24，∴，解得﹣或0＜t＜2，故选：D．【点评】本题主要考查圆的标准方程，两圆的位置关系的判定方法，两点间的距离公式的应用，属于基础题．10.从5位男教师和4位女教师中选出3位教师派到3个班担任班主任(每班一位班主任)，要求这3位班主任中男女教师都要有，则不同的选派方案共有

（

）A．210种

B．420种

C．630种

D．840种参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.凸四边形ABCD中，DC∥AB，AD=BC=CD=1，AB=2。以它的一边为轴旋转，所得旋转体的体积最大可达到

。参考答案：12.在数列中，若，，则_______________．参考答案：513.在极坐标系中，已知到直线：，的距离为2，则实数m的值为

．参考答案：1可化为，∵点到直线：，的距离为2，，又∵，∴m=1.14.已知函数，则不等式的解集为________.参考答案：【分析】构造新函数，研究新函数的性质（单调性与奇偶性等），从而得出的解集.【详解】解：设因恒成立，故，故恒成立，所以恒成立，所以的定义域为R，因为，所以，即函数为奇函数，当时，为增函数，为增函数，根据复合函数的性质可得为增函数，而为增函数，为增函数，所以当时，函数为增函数，因为函数为奇函数，故在R上是单调递增函数，所以可转化为根据奇偶性可得，根据单调性可得，，解得：，故原不等式的解集为.【点睛】本题考查了不等式问题、函数的性质问题等等，解题的关键是要能构造出新的函数，研究出新的函数的性质，从而解决问题.15.已知椭圆上一点P到左焦点的距离为，则它到右准线的距离为．参考答案：3【考点】椭圆的简单性质．【分析】先由椭圆的第一定义求出点P到右焦点的距离，再用第二定义求出点P到右准线的距离d．【解答】解：由椭圆的第一定义得点P到右焦点的距离等于4﹣=，离心率e=，再由椭圆的第二定义得=e=，∴点P到右准线的距离d=3，故答案为：3．16.给定下列命题：①“若k＞0，则方程x2+2x﹣k=0有实数根”的逆否命题；②“若A=B，则sinA=sinB”的逆命题；③“若2”的逆否命题；④“若xy=0，则x，y中至少有一个为零”的否命题．⑤“若”的逆命题．其中真命题的序号是

．参考答案：①③④【考点】命题的真假判断与应用．【专题】转化思想；简易逻辑．【分析】①由方程x2+2x﹣k=0有实数根，则△=4+4k≥0，解得k的范围，即可判断出真假，进而判断出其逆否命题具有相同的真假性；②原命题的逆命题为“若sinA=sinB，则A=B”，举例：取A=2π，B=π，即可判断出真假；③由，可得b＜a＜0，可得b2＞ab，即可判断出真，进而其逆否命题具有相同的真假性；④原命题的逆命题为：“若x，y中至少有一个为零，则xy=0”是真命题，进而得到原命题的否命题具有相同的真假性．⑤原的逆命题为“若a＜b＜0，则＞”，举例：取a=﹣2，b=﹣1，﹣2＜﹣1＜0，即可判断出真假．【解答】解：①由方程x2+2x﹣k=0有实数根，则△=4+4k≥0，解得k≥﹣1，因此“若k＞0，则方程x2+2x﹣k=0有实数根”是真命题，其逆否命题也是真命题；②“若A=B，则sinA=sinB”的逆命题为“若sinA=sinB，则A=B”，是假命题例如：取A=2π，B=π；③由，可得b＜a＜0，∴b2＞ab，因此“若2”是真命题，其逆否命题也是真命题；④“若xy=0，则x，y中至少有一个为零”的逆命题为：“若x，y中至少有一个为零，则xy=0”是真命题，因此原命题的否命题也是真命题．⑤“若”的逆命题为“若a＜b＜0，则＞”是假命题，例如：取a=﹣2，b=﹣1，﹣2＜﹣1＜0，但是＜．其中真命题的序号是①③④．故答案为：①③④．【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、命题之间真假性的关系、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.已知复数满足（其中i为虚数单位），则复数=

▲

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=x3+ax2﹣3x（a∈R）．（1）若函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；（2）若x=是函数f（x）的极值点，求函数f（x）在[﹣a，1]上的最大值；（3）在（2）的条件下，是否存在实数b，使得函数g（x）=bx的图象与函数f（x）的图象恰有3个交点？若存在，请求出b的取值范围；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求出导函数f′（x），通过f（x）在[1，+∞）上是增函数，得到f′（x）≥0．即可求出a的范围．（2）由f′（）=0，求出a，然后求出极值点，求出极值以及端点函数值，即可得到最大值．（3）两个函数图象恰有3个交点，转化为方程x3+4x2﹣3x=bx恰有3个不等实根．利用判别式以及根的分布求解即可．【解答】解：（1）f′（x）=3x2+2ax﹣3，∵f（x）在[1，+∞）上是增函数，∴在[1，+∞）上恒有f′（x）≥0．∴﹣≤1且f′（1）=2a≥0．∴a≥0．（2）由题意知f′（）=0，即+﹣3=0，∴a=4．∴f（x）=x3+4x2﹣3x．令f′（x）=3x2+8x﹣3=0得x=或x=﹣3．∵f（﹣4）=12，f（﹣3）=18，f（）=﹣，f（1）=2，∴f（x）在[﹣a，1]上的最大值是f（﹣3）=18．（3）若函数g（x）=bx的图象与函数f（x）的图象恰有3个交点，即方程x3+4x2﹣3x=bx恰有3个不等实根．∵x=0是其中一个根，∴方程x2+4x﹣（3+b）=0有两个非零不等实根．∴，∴b＞﹣7且b≠﹣3．∴满足条件的b存在，其取值范围是（﹣7，﹣3）∪（﹣3，+∞）．19.已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点为F（0，1），（1）求抛物线C的方程；（2）过点F作直线l交抛物线于A，B两点，若直线AO，BO分别与直线y=x﹣2交于M，N两点，求|MN|的取值范围．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的关系；抛物线的标准方程．【专题】方程思想；设而不求法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）设抛物线的方程为x2=2py，由题意可得p=2，进而得到抛物线的方程；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=kx+1，代入抛物线方程，运用韦达定理，求得M，N的横坐标，运用弦长公式，化简整理，即可得到所求范围．【解答】解：（1）由题意可设抛物线的方程为x2=2py，由焦点为F（0，1），可得=1，即p=2，则抛物线的方程为x2=4y；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=kx+1，代入x2=4y，得x2﹣4kx﹣4=0，x1+x2=4k，x1x2=﹣4，，由y=x﹣2和y=x联立，得，同理，所以=，令4k﹣3=t，t≠0，则，则，则所求范围为．【点评】本题考查抛物线的方程的求法，注意运用待定系数法，考查直线方程和抛物线的方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查化简整理的能力，属于中档题．20.已知复数，且为纯虚数．（1）求复数；（2）若，求复数的模．参考答案：解：（1）

……………2分是纯虚数，且

…………1分，

……………1分（2）

………………2分

…2分略21.已知函数.（1）若不等式的解集为空集，求的范围；（2）若，且，求证：.参考答案：（1）；（2）证明略．22.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d≠0，且S1+S3=18，a1，a4，a13成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设{}是首项为1，公比为的等比数列，求数列{bn}前n项和Tn．参考答案：【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（1）由S1+S3=18，a1，a4，a13成等比数列．可得4a1+3d=18，=a1?（a1+12d），解出即可得出．（2）由{}是首项为1，公比为的等比数列，可得=，bn=（2n+1）?3n﹣1．利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（1）∵S