高中数学人教B版第一章立体几何初步 第一章单元测验

第一章单元测验班级____姓名____考号____分数____本试卷满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．如图，α∩β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是()A．直线ACB．直线ABC．直线CDD．直线BC答案：C2．下列说法中正确的有()A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是正六棱锥D．圆锥的顶点与底在圆周上的任意一点的连线都是母线答案：D3．圆锥的高伸长为原来的2倍，底面半径缩小为原来的eq\f(1,2)，则它的体积是原来体积的()\f(1,2)\f(2,3)\f(3,4)\f(6,5)答案：A解析：设原圆锥高为h，底面面积为S，则V＝eq\f(1,3)hS，新圆锥的高为2h，底面面积为eq\f(S,4)，∴V′＝eq\f(1,3)×2h×eq\f(S,4)＝eq\f(1,2)V.4．如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，E是DD1的中点，F是BB1的中点，设过点C1，E，F三点的平面为α，则正方体被平面α所截的截面的形状为A．菱形B．矩形C．梯形D．五边形答案：A解析：设正方体棱长为a，连接AE，C1F易发现AE∥C1F，所以平面α经过点A，所以截面是四边形AEC1F，根据勾股定理易求得AE＝EC1＝C1F＝AF＝eq\f(\r(5),2)a，所以截面为菱形5．如图所示是一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB、CD、EF和GH在原正方体中不在同一平面内的有________对．()A．1B．2C．3D．4答案：C解析：将展开图恢复为正方体，如图所示，则有AB与CD，AB与GH，EF与GH.6．一个画家有14个边长为1m的正方体，他在地面上把它摆成如图所示的形式，然后，他把露出的表面都染上颜色，A．21m2C．33m2答案：C解析：上表面面积为3×3＝9(m2)侧面面积为3×4＋2×4＋1×4＝24(m2)故被染上颜色的面积为337．如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA＝AB，D为PB的中点，则下列推断不正确的是()A．BC⊥平面PABB．AD⊥PCC．AD⊥平面PBCD．PB⊥平面ADC答案：D解析：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC且AB⊥BC，∴BC⊥平面PAB，A正确，由BC⊥平面PAB得BC⊥AD，BC⊥PB，∵PA＝AB，D为PB的中点，∴AD⊥PB，从而AD⊥平面PBC，C正确，而PC⊂平面PBC，∴AD⊥PC，B正确，在平面PBC中，∵PB⊥BC，∴PB与CD不垂直，故PB不垂直平面ADC，D错误．8．三棱柱的底面是边长为eq\r(3)的等边三角形，且侧棱与底面垂直，该三棱柱外接球的半径为2，则该三棱柱的体积为()\f(9,2)B．4\f(10,3)D．5答案：A解析：三棱柱上下底面正三角形中心的连线的中点即为球心，球心与三棱柱顶点的连线为球半径R，而底面正三角形中心与正三角形顶点的连线长为eq\f(2,3)×eq\r(3)×cos30°＝1.故三棱柱的侧棱长为2eq\r(22－1)＝2eq\r(3).则该三棱柱的体积为2eq\r(3)×eq\f(1,2)×(eq\r(3))2×sin60°＝eq\f(9,2).9．已知三条不同的直线a，b，c，三个不同的平面α，β，γ，有下面四个命题：①若α∩β＝a，β∩γ＝b且a∥b，则α∥γ；②若直线a，b相交，且都在α，β外，a∥α，a∥β，b∥α，b∥β，则α∥β；③若α⊥β，α∩β＝a，b⊂β，a⊥b，则b⊥α；④若a⊂α，b⊂α，c⊥a，c⊥b，则c⊥α.其中正确的命题是()A．①②B．②③C．①④D．③④答案：B解析：命题①错误，因为α与γ还可能相交；命题②正确，设a与b确定的平面为γ，由题设知α∥γ，β∥γ，所以α∥β，所以排除A、C、D，答案选B.10．如图(1)所示，已知正方体面对角线长为a，沿阴影将它切割成两块，拼成如图(2)所示的几何体，那么此几何体的全面积为()A．(1＋2eq\r(2))a2B．(2＋eq\r(2))a2C．(3－2eq\r(2))a2D．(4＋eq\r(2))a2答案：B解析：设正方体棱长为x，所以：x＝eq\f(\r(2),2)a.故S全＝2×a×eq\f(a,2)＋2×a×eq\f(\r(2),2)a＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a))2＝eq\r(2)a2＋2a2＝(eq\r(2)＋2)a2.11.两个相同的正四棱锥组成如图所示的几何体，可放在棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD与正方体的某一个平面平行，且各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有()A．1个B．2个C．3个D．无穷多个答案：D解析：本题可以转化为一个正方形可以有多少个内接正方形，显然有无穷多个．12.如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，A1C1⊥BC1，A1C1⊥A1B1，过C1作C1H⊥平面ABCA．在直线AC上B．在直线BC上C．在△ABC内部D．在直线AB上答案：D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．在棱长为3的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱A1B1、B1C1的中点，P是棱AD上一点，AP＝1，过P、M、N的平面与棱CD交于Q，则PQ答案：2eq\r(2)解析：如图在Rt△ADC中，DP＝2，DQ＝2，∴PQ＝2eq\r(2).

14．如图，半径为2的半球内有一个内接正六棱锥P－ABCDEF，则此正六棱锥的侧面积是________．答案：6eq\r(7)解析：显然正六棱锥P－ABCDEF的底面的外接圆是球的一个大圆，由已知，可得大圆的半径为2.易得其内接正六边形的边长为2.又正六棱锥P－ABCDEF的高为2，则斜高为eq\r(22＋\r(3)2)＝eq\r(7)，所以该正六棱锥的侧面积为6×eq\f(1,2)×2×eq\r(7)＝6eq\r(7).15．对于四面体ABCD，下列命题正确的是________．(写出所有正确命题的编号)．①相对棱AB与CD所在的直线是异面直线；②由顶点A作四面体的高，其垂足是△BCD三条高线的交点；③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高，则这两条高的垂足重合；④任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积；⑤分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点．答案：①④⑤解析：本题考查空间几何体的线线关系，以及空间想象能力．如图所示，四面体ABCD中，AB与CD是异面直线，故①正确；当四面体ABCD中，对棱AB与CD不垂直时，由顶点A作四面体的高，其垂足不是△BCD三条高线的交点，故②不正确；若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高，则这两条高的垂足不一定重合，故③不正确；如图，过顶点A作AO⊥面BCD，O为垂足，连结OB、OC、OD，则S△ABC>S△BOC，S△ACD>S△COD，S△ABD>S△BOD，∴S△ABC＋S△ACD＋S△ABD>S△BOC＋S△COD＋S△BOD＝S△BCD，故④正确．如图四面体ABCD中取AB、CD、AD、BC的中点分别为E、F、M、N，连线EF、MN，则EF、MN分别为▱EMFN的对角线，∴EF、MN相交于点O，且O为EF、MN的中点，取AC、BD的中点分别为R、H，则ERFH为平行四边形，即点O也是RH的中点，故⑤正确．16．图中的三个直角三角形是一个体积为20cm3的几何体的三视图，则h＝________答案：4解析：由三视图可知，棱锥的三条长分别为5,6，h的侧棱两两垂直，故eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×5×6×h＝20，h＝4.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)已知底面为正方形的四棱锥P－ABCD，如图(1)所示，PC⊥面ABCD，其中图(2)为该四棱锥的正(主)视图和侧(左)视图，它们是腰长为4cm(1)根据图(2)所给的正视图、侧视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积；(2)求PA.解：(1)该四棱锥的俯视图为内含一条对角线，边长为4cm的正方形，俯视图如下图所示，其面积为16(2)由侧视图可求得PD＝eq\r(PC2＋CD2)＝eq\r(42＋42)＝eq\r(32)＝4eq\r(2).由正视图可知AD＝4且AD⊥PD，所以在Rt△APD中，PA＝eq\r(PD2＋AD2)＝eq\r(4\r(2)2＋42)＝4eq\r(3)cm.18．(12分)如图，在侧棱垂直于底面ABC的三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F是B1C求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；(2)直线A1F∥证明：(1)因为CC1⊥平面ABC，又AD⊂平面ABC，所以CC1⊥AD.又因为AD⊥DE，CC1，DE⊂平面BCC1B1，CC1∩DE＝E，所以AD⊥平面BCC1B1.又AD⊂平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC1B1.(2)因为A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，所以A1F⊥B因为CC1⊥平面A1B1C1，且A1F⊂平面A1B1C1，所以CC1⊥A又因为CC1，B1C1⊂平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1，所以A1F⊥平面BCC1由(1)知AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥又AD⊂平面ADE，A1F⊄平面ADE，所以A1F19．(12分)如图，AB是圆柱的母线，O′是上底面的圆心，△BCD是下底面圆的内接三角形，且BD是下底面圆的直径，E是CD的中点．求证：(1)O′E∥平面ABC；(2)平面O′CD⊥平面ABC.解：(1)取BC中点为F，连接EF，O′A，则EF是△BCD的中位线，∴EF綊eq\f(1,2)BD.设下底面圆心为O，连接OO′，∵AB是母线，∴AB綊OO′，∴AO′綊EF，∴AF∥O′E且AF⊂平面ABC，O′E⊄平面ABC，∴O′E∥平面ABC.(2)在圆柱中，AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD∵BC⊥CD，AB∩BC＝B∴CD⊥平面ABC∵CD⊂平面O′CD∴平面O′CD⊥平面ABC.20．(12分)如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G分别是CB、CD、CC1的中点(1)求证：平面AB1D1∥平面EFG；(2)求证：平面AA1C⊥证明：(1)连接BD，∵E、F分别为BC、CD的中点，∴EF∥BD.∵BD∥B1D1，∴EF∥B1D1.又EF⊄平面AB1D1，B1D1⊂平面AB1D1，∴EF∥平面AB1D1，同理EG∥平面AB1D1.∵EF∩EG＝E，∴平面AB1D1∥平面EFG.(2)∵AA1⊥平面ABCD，EF⊂平面ABCD，∴AA1⊥EF.又EF⊥AC，AA1∩AC＝A，∴EF⊥平面A1AC又EF⊂平面EFG，∴平面AA1C⊥21．(12分)如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，E、F分别是AB、PD的中点，∠ADP＝45°.(1)求证：AF∥平面PCE.(2)求证：平面PCD⊥平面PCE.(3)若AD＝2，CD＝3，求点F到平面PCE的距离．解：(1)证明：设M为PC中点，连接ME、MF.则MF綊eq\f(1,2)CD，AE綊eq\f(1,2)CD，∴MF綊AE，∴四边形AEMF为平行四边形．∴AF∥ME，又∵ME⊂平面PCE，∴AF∥平面PCE.(2)证明：∵PA⊥平面ABCD，∠PDA＝45°，∴△PAD为等腰直角三角形，∵PF＝FD，∴AF⊥PD，又∵PA⊥平面ABCD，PA⊂平面PAD，∴平面PAD⊥平面ABCD.∵平面PAD∩平面ABCD＝AD，CD⊥AD，CD⊂平面ABCD.∴CD⊥平面PAD，∴AF⊥CD，又∵PD∩CD＝D，∴AF⊥平面PCD.∵EM∥AF，∴EM⊥平面PCD.∵EM⊂平面PCE，∴平面PCE⊥平面PCD.(3)过点F作FG⊥PC，交PC于G，∵平面PCE⊥平面PCD，∴FG⊥平面PCE，即FG为点F到平面PCE的距离．在Rt△PCD中，PD＝2eq\r(2)，PC＝eq\r(17).∵△PFG∽△PCD，∴eq\f(PF,PC)＝eq\f(FG,CD)，∴FG＝3eq\f(\r(34),17).22．(12分)如图M、N、P分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱AB、BC、DD1上的点(1)若eq\f(BM,MA)＝eq\f(BN,NC)，求证：无论点P在D1D上如何移动，总有BP⊥MN；(2)棱DD1上是否存在这样的点P，使得平面APC1⊥平面ACC1？证明你的结论．解：(1)证明：连AC，BD，在△ABC中，∵eq\f(BM,MA)＝eq\f(BN,NC)，∴MN∥AC.又∵AC⊥BD，DD1⊥底面ABCD.∴DD1⊥AC，故AC⊥平面BDD1B1.进而MN⊥平面