高中数学人教B版第一章集合 第一章单元检测

第一章单元检测班级____姓名____考号____分数____本试卷满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本大题共12题，每题5分，共60分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．若集合A＝{x|x＞0}，B＝{x|x＜3}，则A∩B等于()A．{x|x＜0}B．{x|0＜x＜3}C．{x|x＞4}D．R答案：B解析：∵集合A＝{x|x＞0}，B＝{x|x＜3}，∴A∩B＝{x|0＜x＜3}，故选B.2．设全集I＝{0,1,2,3,4,5,6,7}，A＝{0,3,4,5}，B＝{3,5,7}，则eq\a\vs4\al(∁I)A∩eq\a\vs4\al(∁I)B等于()A．{3,5}B．{1,2,4,5,6,7}C．{1,2,6}D．{0,1,2,4,6}答案：C解析：∵A∪B＝{0,3,4,5,7}，∴eq\a\vs4\al(∁I)A∩eq\a\vs4\al(∁I)B＝eq\a\vs4\al(∁I)(A∪B)＝{1,2,6}．3．已知集合M有3个真子集，集合N有7个真子集，那么M∪N中的元素()A．有5个B．至多有5个C．至少有5个D．至多有10个答案：B解析：因为集合M有3个真子集，所以M中有2个元素．又集合N有7个真子集，所以N中有3个元素，因此M∪N中至多有5个元素．4．已知全集U＝N*，A＝{x|x＝2n，n∈N*}，B＝{x|x＝4n，n∈N*}，则()A．U＝A∪BB．U＝(eq\a\vs4\al(∁U)A)∪BC．U＝A∪(eq\a\vs4\al(∁U)B)D．U＝(eq\a\vs4\al(∁U)A)∪(eq\a\vs4\al(∁U)B)答案：C解析：由已知，得B⊆A，所以U＝A∪(eq\a\vs4\al(∁U)B)．5．组建一个12人特长活动小组，其中微机特长6人，科技特长8人，小组成员至少有微机和科技特长中一种，那么拥有两项特长的有()A．6人B．3人C．4人D．2人答案：D解析：借助Venn图可直观表示它们的关系，如图，设拥有两项特长的人为x人，则(6－x)＋x＋(8－x)＝12，∴x＝2.故选D.6．已知A＝{1,2,3,4}，B＝{y|y＝x－1，x∈A}，则{0}与B的关系是()A．{0}∈BB．{0}BC．{0}∉BD．{0}⊇B答案：B解析：因为x∈A，所以当x＝1时，y＝0；当x＝2时，y＝1；当x＝3时，y＝2；当x＝4时，y＝3.所以B＝{0,1,2,3}，所以{0}B，故选B.7．已知集合P⊆{1,2,3,4,5,6,7,8}，且有：若a∈P，则8－a∈P，则满足条件的集合P的个数为()A．8B．12C．15D．20答案：C解析：由a∈P，则8－a∈P，可知这两个元素的和为8，所以若1∈P，则7∈P；若2∈P，则6∈P；若3∈P，则5∈P；特殊元素4＝8－4.故可把集合P中的元素分为4组，1与7,2与6,3与5,4，所以满足条件的集合P的个数为24－1＝15.8．设全集I＝{a，b，c，d，e}，集合M＝{a，b，c}，N＝{b，d，e}，那么(eq\a\vs4\al(∁I)M)∩(eq\a\vs4\al(∁I)N)等于()A．∅B．{d}C．{b，e}D．{a，c}答案：A解析：∵eq\a\vs4\al(∁I)M＝{d，e}，eq\a\vs4\al(∁I)N＝{a，c}，∴(eq\a\vs4\al(∁I)M)∩(eq\a\vs4\al(∁I)N)＝{d，e}∩{a，c}＝∅.9．已知集合M＝{m|m＝a＋beq\r(2)，a，b∈Q}，则下列元素：①m＝1＋eq\r(2)π；②m＝eq\r(7＋2\r(12))；③m＝eq\f(1,2＋\r(2))；④m＝eq\r(2－\r(3))＋eq\r(2＋\r(3))，属于集合M的元素个数是()A．0个B．1个C．2个D．3个答案：B解析：①中m∉M，②中m＝eq\r(7＋2\r(12))＝eq\r(3＋2\r(12)＋4)＝2＋eq\r(3)∉M，③中，m＝eq\f(1,2＋\r(2))＝1－eq\f(1,2)eq\r(2)∈M.④中，m＝eq\r(2－\r(3))＋eq\r(2＋\r(3))＝eq\f(\r(3)－1,\r(2))＋eq\f(\r(3)＋1,\r(2))＝eq\r(6)∉M，故选B.10．设集合P、Q与全集U，下列命题P∩Q＝P，P∪Q＝Q，P∩(∁UQ)＝∅，(∁UP)∪Q＝U中与命题P⊆Q等价的有()A．1个B．2个C．3个D．4个答案：D解析：P∩Q＝P⇔P∪Q＝Q⇔P⊆Q由P∩(∁UQ)＝∅，得P⊆Q又(∁UP)∪Q＝U得P⊆Q，故选D.11．若方程x2－px＋6＝0的解集为M，方程x2＋6x－q＝0解集为N，且M∩N＝{2}，则p＋q＝()A．21B．8C．7D．6答案：A解析：因为M∩N＝{2}，所以2是两个方程的根．所以22－2p＋6＝0,22＋6×2－q＝0，解得p＝5，q＝16，所以p＋q＝21.12．定义A－B＝{x|x∈A，且x∉B}，若A＝{1,2,4,6,8,10}，B＝{1,4,8}，则A－B＝()A．{4,8}B．{1,2,6,10}C．{1}D．{2,6,10}答案：D解析：由已知，得B⊆A，所以只需从A中去掉B中的元素即可．故A－B＝{2,6,10}．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．设全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|－3＜x≤3}，则eq\a\vs4\al(∁U)(A∩B)＝________，(eq\a\vs4\al(∁U)A)∩B＝________.答案：{x|x≤－2或3≤x≤4}{x|－3＜x≤－2或x＝3}解析：由A∩B＝{x|－2＜x＜3}，得eq\a\vs4\al(∁U)(A∩B)＝{x|x≤－2或3≤x≤4}．由eq\a\vs4\al(∁U)A＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，得(eq\a\vs4\al(∁U)A)∩B＝{x|－3＜x≤－2或x＝3}．14．已知a，b，c均为非零实数，则集合{x|x＝eq\f(a,|a|)＋eq\f(|b|,b)＋eq\f(c,|c|)＋eq\f(|abc|,abc)}用列举法表示为________．答案：{－4,0,4}解析：当a，b，c都是正数时，x＝4；当a，b，c两正一负时，x＝0；当a，b，c两负一正时，x＝0；当a，b，c都是负数时，x＝－4.15．已知全集U＝{3,7，a2－2a－3}，A＝{7，|a－7|}，eq\a\vs4\al(∁U)A＝{5}，则实数a＝________.答案：4解析：由eq\a\vs4\al(∁U)A＝{5}，知a2－2a－3＝5，∴a＝－2或a＝4.当a＝－2时，|a－7|＝9,9∉U，∴a≠－2.经验证a＝4符合题意．16．设P是一个数集，且至少含有两个元素．若对任意的a，b∈P，都有a＋b，a－b，ab，eq\f(a,b)∈P(除数b≠0)，对称P是一个数域，例如有理数集Q是一个数域，有下列命题：①数域必含有0,1两个数；②整数集是数域；③若有理数集Q⊆M，则数集M必为数域；④数域必为无限集．其中正确的命题的序号是________．答案：①④解析：数集P有两个元素a，b，则一定有a－a＝0，eq\f(a,a)＝1(设a≠0)，①正确；因为1∈Z,2∈Z，eq\f(1,2)∉Z，所以整数集不是数域，②不正确；令数集M＝Q∪{eq\r(2)}，则1∈M，eq\r(2)∈M，但1＋eq\r(2)∉M，所以③不正确；数域有1，一定有1＋1＝2,1＋2＝3，推下去可知数域必为无限集，④正确．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)设A＝{x|－4＜x＜－eq\f(1,2)}，B＝{x|x≤－4}，求A∪B，A∩B，A∪(eq\a\vs4\al(∁U)B)．解：A∪B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＜－\f(1,2)))))，A∩B＝∅，∵eq\a\vs4\al(∁U)B＝{x|x＞－4}，∴A∪(eq\a\vs4\al(∁U)B)＝{x|x＞－4}．18．(12分)已知集合A＝{x|a－b＜x＜a＋b}，B＝{x|x＜－1或x＞5}．(1)若b＝1，A⊆B，求a的取值范围；(2)若a＝1，A∩B＝∅，求b的取值范围．解：(1)若b＝1，则A＝{x|a－1＜x＜a＋1}．因为A⊆B，所以a－1≥5或a＋1≤－1，解得a≥6或a≤－2.综上，a的取值范围为{a|a≥6或a≤－2}．(2)若a＝1，则A＝{x|1－b＜x＜1＋b}．又A∩B＝∅，若A＝∅，则1－b≥1＋b，解得b≤0；若A≠∅，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－b＜1＋b,1－b≥－1,1＋b≤5))，解得0＜b≤2.综上，b的取值范围为{b|b≤2}．19．(12分)有100名学生，其中会打篮球的有67人，会打排球的有45人，既会打篮球又会打排球的有33人，求既不会打篮球又不会打排球的学生共有多少人？解：设这100名学生组成集合U，会打篮球的学生组成集合A，会打排球的学生组成集合B，则有card(U)＝100，card(A)＝67，card(B)＝45，card(A∩B)＝33.故有card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)＝67＋45－33＝79.于是有card(eq\a\vs4\al(∁U)(A∪B))＝card(U)－card(A∪B)＝100－79＝21.故所求的学生人数为21.20．(12分)已知全集U＝R，集合P＝{x∈R|x2－3x＋b＝0}，Q＝{x∈R|(x－2)(x2＋3x－4)＝0}；(1)若b＝4时，存在集合M使得PM⊆Q，求出这样的集合M.(2)集合P，Q是否能满足(eq\a\vs4\al(∁U)Q)∩P＝∅？若能，求出实数b的取值范围；若不能，请说明理由．解：(1)b＝4时，P＝{x|x2－3x＋4＝0}＝∅，Q＝{x|(x－2)(x2＋3x－4)＝0}＝{－4,1,2}，由题设知M是一个非空集合，且是Q的一个子集，所以用列举法可得这样的集合M共有7个：{－4}，{1}，{2}，{－4,1}，{－4,2}，{1,2}，{－4,1,2}．(2)集合P，Q可以满足(eq\a\vs4\al(∁U)Q)∩P＝∅.由(eq\a\vs4\al(∁U)Q)∩P＝∅，得P⊆Q.当P＝∅时，满足P⊆Q，此时Δ＝9－4b＜0，解得b＞eq\f(9,4).当P≠∅时，因为Q＝{－4,1,2}，若－4∈P，则b＝－28，此时P＝{－4,7}，不满足P⊆Q；若1∈P，则b＝2，此时P＝{1,2}，满足P⊆Q；若2∈P，则b＝2，此时P＝{1,2}，满足P⊆Q.综上可知，当P＝∅或P＝{1,2}时，满足(eq\a\vs4\al(∁U)Q)∩P＝∅.所以实数b的取值范围是{b|b＞eq\f(9,4)或b＝2}．21．(12分)已知全集U＝R，集合A＝{x|a－1≤x≤2a＋3}，B＝{x|－2≤x≤4}(1)当a＝2时，求A∪B和(eq\a\vs4\al(∁R)A)∩B；(2)若A∩B＝A，求实数a的取值范围．解：(1)当a＝2时，A＝{x|1≤x≤7}，从而A∪B＝{x|－2≤x≤7}，eq\a\vs4\al(∁R)A＝{x|x＜1或x＞7}，(eq\a\vs4\al(∁R)A)∩B＝{x|－2≤x＜1}．(2)∵A∩B＝A，∴A⊆B.①若A＝∅，则a－1＞2a＋3，解得a＜－4②若A＝∅，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－1≤2a＋3,a－1≥－2,2a＋3≤4))，解得－1≤a≤eq\f(1,2).综上，实数a的取值范围为{a|a＜－4或－1≤a≤eq\f(1,2)}．22．(12分)已知A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{x|x2－5x＋6＝0}，C＝{x|x2＋2x－8＝0}．(1)若A∩B＝A∪B，求a的值；(2)若∅A∩B，且A∩C＝∅，求a的值；(