2021-2022学年山西省太原市重型机器厂第一中学高三数学文上学期期末试卷含解析

2021-2022学年山西省太原市重型机器厂第一中学高三数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数f（x）=lnx+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2] B．（﹣∞，2） C．[0，+∞） D．（2，+∞）参考答案：B【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】问题等价于f′（x）=2在（0，+∞）上有解，分离出参数a，转化为求函数值域问题即可．【解答】解：函数f（x）=lnx+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线，即f′（x）=2在（0，+∞）上有解，而f′（x）=+a，即+a=2在（0，+∞）上有解，a=2﹣，因为x＞0，所以2﹣＜2，所以a的取值范围是（﹣∞，2）．故选B．2.已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为(

)

参考答案：D3.已知的角所对的边分别为，若，则边

（

）A.

B.

C.

D.参考答案：由正弦定理得，∴，答案B4.已知为等差数列，其公差为，且是与的等比中项，为的前项和,，则的值为A．－110

B．－90

C．90

D．110参考答案：D5.已知集合，且，则实数的值为

A．

B．

C．

D．参考答案：A略6.已知双曲线的左、右顶点分别为，点P是双曲线C上与不重合的动点，若，则双曲线的离心率为()A. B. C.4 D.2参考答案：D【分析】设，，，根据可得①，再根据又②，由①②可得，化简可得，即可求出离心率．【详解】解：设，，，∵，∴，即，①又，②，由①②可得，∵，∴，∴，∴，即，故选：D．

7.对于两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，以下结论正确的是（）A．若m?α，n∥β，m，n是异面直线，则α，β相交B．若m⊥α，m⊥β，n∥α，则n∥βC．若m?α，n∥α，m，n共面于β，则m∥nD．若m⊥α，n⊥β，α，β不平行，则m，n为异面直线参考答案：C【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据空间直线和平面平行或垂直的判定定理和性质定理分别进行判断即可．【解答】解：A．α∥β时，m?α，n∥β，m，n是异面直线，可以成立，故A错误，B．若m⊥α，m⊥β，则α∥β，因为n∥α，则n∥β或n?β，故B错误，C．利用线面平行的性质定理，可得C正确，D．若m⊥α，n⊥β，α，β不平行，则m，n为异面直线或相交直线，故D不正确，故选：C．【点评】本题主要考查与空间直线和平面位置关系的判断，要求熟练掌握相应的判定定理和性质定理．8.设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c．若sinA=2sinB，，则△ABC的面积为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【分析】根据题意，由正弦定理可得a=2b，进而由余弦定理可得a2+b2﹣2abcosC=5b2﹣4b2cos=16，解可得b的值，进而可得a的值，由三角形面积公式计算可得答案．解：根据题意，△ABC中，若sinA=2sinB，则有a=2b，c2=a2+b2﹣2abcosC=5b2﹣4b2cos=16，解可得b=，则a=2b=，则S△ABC=absinC=，故选：A．9.函数与在同一直角坐标系下的图像大致是（

）（A） （B）（C） （D）参考答案：D10.平行四边形中，=（1，0），=（2，2），则等于 A．4

B．-4

C．2

D．-2参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.下列五个函数中：①；②；③；④；⑤，当时，使恒成立的函数是

(将正确的序号都填上）.参考答案：②③12.计算：_____________.参考答案：.13.若函数是幂函数，且满足，则的值等于

▲

．参考答案：【知识点】幂函数B8【答案解析】

设f（x）=xa，又f（4）=3f（2），∴4a=3×2a，

解得：a=log23，∴f（）=()log23=．故答案为：．【思路点拨】先设f（x）=xa代入题设，求出a的值，求出函数关系式．把代入函数关系式即可．14.当x∈[﹣2，1]时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立，则实数a的取值范围是．参考答案：[﹣6，﹣2]【考点】函数恒成立问题．

【专题】导数的综合应用．【分析】分x=0，0＜x≤1，﹣2≤x＜0三种情况进行讨论，分离出参数a后转化为函数求最值即可，利用导数即可求得函数最值，注意最后要对a取交集．【解答】解：当x=0时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0对任意a∈R恒成立；当0＜x≤1时，ax3﹣x2+4x+3≥0可化为a≥，令f（x）=，则f′（x）=﹣++=﹣（*），当0＜x≤1时，f′（x）＞0，f（x）在（0，1]上单调递增，f（x）max=f（1）=﹣6，∴a≥﹣6；当﹣2≤x＜0时，ax3﹣x2+4x+3≥0可化为a≤﹣﹣，由（*）式可知，当﹣2≤x＜﹣1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当﹣1＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，f（x）min=f（﹣1）=﹣2，∴a≤﹣2；综上所述，实数a的取值范围是﹣6≤a≤﹣2，即实数a的取值范围是[﹣6，﹣2]．故答案为：[﹣6，﹣2]．【点评】本题考查利用导数研究函数的最值，考查转化思想、分类与整合思想，按照自变量讨论，最后要对参数范围取交集．若按照参数讨论则取并集，是中档题．15.设是虚数单位，若复数是纯虚数，则的值为________。参考答案：16.

设函数，则__________。参考答案：17.平面直角坐标系中，点满足，当均为整数时称点为整点，则所有整点中满足为奇数的点的概率为

．参考答案：列举得基本事件数有个，符合条件的基本事件数有个，故所求概率为。

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题12分）如图,三棱柱ABC—A1B1C1中,侧棱与底面垂直,AB=BC=2AA1,∠ABC=90°,M是BC中点.(Ⅰ)求证:A1B∥平面AMC1;(Ⅱ)求直线CC1与平面AMC1所成角的正弦值;(Ⅲ)试问:在棱A1B1上是否存在点N,使AN与MC1成角60°?若存在,确定点N的位置;若不存在,请说明理由.参考答案：证明:(Ⅰ)连接A1C,交AC1于点O,连接OM.∵ABC﹣A1B1C1是直三棱柱,

∴四边形ACC1A1为矩形,O为A1C的中点.又∵M为BC中点,

∴OM为△A1BC中位线,

∴A1B∥OM,∵OM?平面AMC1,A1B?平面AMC1,

所以A1B∥平面AMC1.解:(Ⅱ)由ABC﹣A1B1C1是直三棱柱,且∠ABC=90°,故BA,BC,BB1两两垂直.可建立如图空间直角坐标系B﹣xyz.设BA=2,则B(0,0,0),C(2,0,0),A(0,2,0),C1(2,0,1),M(1,0,0).则=(1,﹣2,0),=(2,﹣2,1),设平面AMC1的法向量为=(x,y,z),则有,即所以取y=1,得=(2,1,﹣2).又∵=(0,0,1)∴直线CC1与平面AMC1所成角θ满足sinθ==故直线CC1与平面AMC1所成角的正弦值为解:(Ⅲ)假设存在满足条件的点N.∵N在线段A1B1上,A1(0,2,1),B1(0,0,1),故可设N(0,λ,1),其中0≤λ≤2.∴=(0,λ﹣2,1),=(1,0,1).∵AN与MC1成60°角,∴==.即,解得λ=1,或λ=3(舍去).所以当点N为线段A1B1中点时,AN与MC1成60°角.19.[选修4-5：不等式选讲]设a，b为互不相等的正实数，求证：4（a3+b3）＞（a+b）3．参考答案：【考点】综合法与分析法(选修）．【分析】利用分析法，从结论入手，寻找结论成立的条件，即可得到证明．【解答】证明：因为a＞0，b＞0，所以要证4（a3+b3）＞（a+b）3，只要证4（a+b）（a2﹣ab+b2）＞（a+b）3，即要证4（a2﹣ab+b2）＞（a+b）2，只需证3（a﹣b）2＞0，而a≠b，故3（a﹣b）2＞0成立．∴4（a3+b3）＞（a+b）3．20.已知椭圆C：(a>b>0)的长轴长为，焦距为2，抛物线M：y2＝2px(p>0)的准线经过C的左焦点F。(1)求C与M的方程；(2)直线l经过C的上顶点且l与M交于P、Q两点，直线FP、PQ与M分别交于点D(异于点P)，E(异于点Q)，证明：直线DE的斜率为定值。参考答案：21.央视财经频道《升级到家》栏目答题有奖，游戏规则：每个家庭两轮游戏，均为三局两胜，第一轮3题答对2题，可获得小物件（家电），价值1600元；第二轮3题答对2题，可获得大物件（家具）价值5400元（第一轮的答题结果与第二轮答题无关），某高校大二学生吴乾是位孝顺的孩子，决定报名参赛，用自己的知识答题赢取大奖送给父母，若吴乾同学第一轮3题，每题答对的概率均为，第二轮三题每题答对的概率均为．（Ⅰ）求吴乾同学能为父母赢取小物件（家电）的概率；（Ⅱ）若吴乾同学答题获得的物品价值记为X（元）求X的概率分布列及数学期望．参考答案：：解：（1）由题意赢取小物件即第一轮答对2题，∴所求概率P==；（2）赢取大物件即第二轮答对2题，∴所求概率P′==，同理可求P（X=0）=（+×）×（+