第20讲圆周运动中的临界问题

江苏版物理第20讲圆周运动中的临界问题1.离心运动(1)定义:做匀速圆周运动的物体,在所受合力突然消失或者不足以提供

圆周运动所需向心力的情况下,就做①逐渐远离圆心

的运动,这种

运动叫做离心运动。知识梳理与自测(2)本质:离心现象是物体②惯性

的表现。(3)力与运动的关系a.向心力的作用效果是改变物体的运动方向,如果物体受到的合外力恰

好等于物体所需的向心力,物体就做③匀速圆周

运动,此时F=mrω2。b.如果向心力突然消失,则物体的速度方向不再变化,由于惯性,物体将

沿此时的速度方向(即切线方向),按此时的速度大小飞出,这时F=④

0

。c.如果提供的外力小于物体做匀速圆周运动所需的向心力,虽然物体的

速度方向还要变化,但速度方向变化较慢,因此物体偏离原来的圆周做离心运动,其轨迹为圆周和切线间的某条线,这时F⑤<

mrω2。2.练一练:(1)物体做离心运动时,运动的轨迹

(C)A.一定是直线

B.一定是曲线C.可能是直线也可能是曲线

D.可能是一个小圆(2)如图所示,用长为l的细绳拴着质量为m的小球在竖直平面内做圆周运

动,则下列说法中正确的是

(CD)

A.小球在圆周最高点时所受的向心力一定为重力B.小球在最高点时绳子的拉力不可能为零C.若小球刚好能在竖直平面内做圆周运动,则其在最高点的速率为

D.小球过最低点时绳子的拉力一定大于小球重力(3)一轻杆一端固定一质量为m的小球,以另一端为轴在竖直平面内做圆

周运动。小球运动到最高点时,关于小球受力,下列说法中正确的是

(C)A.轻杆对小球的作用力不可能向下B.轻杆对小球的作用力不可能为零C.轻杆对小球的作用力和小球重力的合力提供向心力D.小球所受的向心力不可能为零

对离心运动条件的分析关于离心运动的条件,如图所示。

(1)做圆周运动的物体,当合外力消失时,它就以这一时刻的线速度沿切

线方向飞出去;要点突破(2)当合外力突然减小为某一个值时,物体将会在切线方向与圆周之间

做离心运动。

注意

①做离心运动的物体不存在所谓的“离心力”作用,因为没有任何物体提供这种力(不管是以什么方式命名的力,只要是真实存在的,

一定有施力物体);②离心运动的运动学特征是物体逐渐远离圆心,动力学特征是物体所受

合外力消失或不足以提供其所需的向心力;③若提供的向心力大于物体所需的向心力,表现为向心的趋势(离圆心

越来越近)。例1

如图所示,在匀速转动的圆盘上,沿半径方向放置以细线相连的质量均为m的A、B两个小物块(可看做质点)。A离轴心r1=20cm,B离轴心r2

=30cm,A、B与盘面间相互作用的最大静摩擦力为其重力的0.4倍。求:

(1)若细线上没有张力,圆盘转动的角速度ω应满足什么条件?(2)欲使A、B与盘面不发生相对滑动,则圆盘转动的最大角速度多大?(g

取10m/s2)

解析

(1)当圆盘转动较慢时,A、B之间的细线上没有张力,能够提供的最大向心力均为最大静摩擦力。由Fn=mω2r可知,B比A需要的向心力

大,故对B有:kmg=m

·r2,ω1=

=

rad/s=

rad/s,即当圆盘转动的角速度满足ω≤

rad/s时,细线上没有张力。(2)由上述分析可知,当ω>

rad/s时,细线上有张力,设其大小为FT,提供A、B做匀速圆周运动的向心力分别为:FnA=Ff-FT,FnB=FT+Ff,显然,当A

受到的摩擦力Ff达到最大静摩擦力时,A、B将要相对圆盘发生滑动,故

对A有:kmg-FT=m

r1,对B有:FT+kmg=m

r2,解得:ω2=4rad/s。

答案

(1)ω≤

rad/s

(2)4rad/s针对训练1如图是摩托车比赛转弯时的情形,转弯处路面常是外高内

低,摩托车转弯有一个最大安全速度,若超过此速度,摩托车将发生滑

动。对于摩托车滑动的问题,下列论述正确的是

(

)

A.摩托车一直受到沿半径方向向外的离心力作用B.摩托车所受外力的合力小于所需的向心力C.摩托车将沿其线速度的方向沿直线滑去D.摩托车将沿其半径方向沿直线滑去

答案

B

解析摩托车只受重力、地面支持力和地面的摩擦力作用,不存在离心力,A项错误。当摩托车所受外力的合力小于所需的向心力时,摩托车

将在切线方向与圆周之间做离心曲线运动,故B项正确,C、D项错误。

圆周运动中的临界问题的分析与求解(不只是竖直平面内的圆周运动中

存在临界问题,其他许多情况也有临界问题),一般都是先假设出某量达

到最大或最小的临界情况,进而建立方程求解。1.水平面内圆周运动的临界问题例2

(2014课标Ⅰ,20,6分)如图,两个质量均为m的小木块a和b(可视为

质点)放在水平圆盘上,a与转轴OO'的距离为l,b与转轴的距离为2l。木

块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍,重力加速度大小为g。

若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动,用ω表示圆盘转动的角速度,

下列说法正确的是

(

)临界问题的常见类型及其解法A.b一定比a先开始滑动B.a、b所受的摩擦力始终相等C.ω=

是b开始滑动的临界角速度D.当ω=

时,a所受摩擦力的大小为kmg

解析设木块滑动的临界角速度为ω,kmg=mω2r,所以ω=

,ra=l,rb=2l,所以ωa>ωb,A、C项正确;摩擦力充当向心力,在角速度相等时,b受的摩擦

力大,B项错误;ω=

时,a受的摩擦力fa=mω2r=m

l=

kmg,D项错误。

答案

AC针对训练2如图所示,用细绳一端系着的质量为M=0.6kg的物体A静止在水平转盘上,细绳另一端通过转盘中心的光滑小孔O吊着质量为m=0.

3kg的小球B,A的重心到O点的距离为0.2m。若A与转盘间的最大静摩

擦力为Ff=2N,为使小球B保持静止,求转盘绕中心O旋转的角速度ω的取

值范围。(取g=10m/s2)

答案

2.9rad/s≤ω≤6.5rad/s

解析要使B静止,A必须相对于转盘静止——具有与转盘相同的角速度。A需要的向心力由绳的拉力和静摩擦力的合力提供。角速度取最

大值时,A有离心趋势,静摩擦力指向圆心O;角速度取最小值时,A有向心

趋势,静摩擦力背离圆心O。设角速度ω的最大值为ω1,最小值为ω2对于B:FT=mg对于A:角速度为ω1时,FT'+Ff=Mr

;角速度为ω2时,FT'-Ff=Mr

FT=FT'代入数据解得ω1=6.5rad/s,ω2=2.9rad/s所以2.9rad/s≤ω≤6.5rad/s。2.圆锥面上的临界问题如图所示,一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上,其轴线沿竖直方向,母

线与轴线的夹角θ=30°,一条长为l的绳,一端固定在圆锥体的顶点O,另一

端系一个质量为m的小球(视为质点),小球以速率v绕圆锥体的轴线做水

平匀速圆周运动。

(1)临界条件:设小球刚好对锥面没有压力时的速率为v0,小球所受重力和绳子的拉力的合力提供向心力,则有F向=mgtan30°=m

,解得v0=

。(2)当v<v0时,小球除受到重力和绳子的拉力外,还受到圆锥面的支持力,

如图所示,则有

F向=FTsin30°-FNcos30°=m

FTcos30°+FNsin30°=mg速度越大,支持力越小。(3)当v>v0时,小球离开锥面飘起来,设绳与轴线夹角为φ,则FTcosφ=mg,

FTsinφ=m

。速度越大,绳与轴线的夹角φ越大。3.竖直平面内圆周运动的临界问题竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动,对于物体在竖直平面内

做变速圆周运动的问题,中学物理中只研究物体通过最高点和最低点的情况,并且经常出现临界状态。(1)如图所示,没有物体支撑的小球在竖直平面内做圆周运动过最高点

有下面几种情况。①临界条件:小球到达最高点时绳子的拉力(或轨道的弹力)刚好等于零,

小球的重力提供其做圆周运动的向心力。即mg=m

。上式中的v临界是小球通过最高点的最小速度,通常叫临界速度,v临界=

。②能过最高点的条件:v≥v临界(此时绳或轨道对球产生拉力F或压力

FN)。③不能过最高点的条件:v<v临界(实际上球还没有到最高点就脱离了轨

道)。(2)有物体支撑的小球在竖直平面内做圆周运动过最高点有下面几种情

况。①临界条件:由于硬杆和管壁的支撑作用,小球恰能到达最高点的临界

速度v临界=0。②图甲所示的小球过最高点时,轻杆对小球的弹力的情况:

当v=0时,轻杆对小球有竖直向上的支持力FN,其大小等于小球的重力,即FN=mg。当0<v<

时,杆对小球的支持力的方向竖直向上,大小随速度的增大而减小,其取值范围是mg>FN>0。当v=

时,FN=0。当v>

时,杆对小球有指向圆心的拉力,其大小随速度的增大而增大。③图乙所示的小球过最高点时,光滑硬管对小球的弹力的情况:当v=0时,管的内壁下侧对小球有竖直向上的支持力FN,其大小等于小球

重力,即FN=mg。当0<v<

时,管的内壁下侧对小球有竖直向上的支持力FN,大小随速度的增大而减小,其取值范围是mg>FN>0。当v=

时,FN=0。当v>

时,管的内壁上侧对小球有竖直向下指向圆心的压力,其大小随速度的增大而增大。例3

长度为L=0.50m的轻质细杆OA,A端有一质量为m=3.0kg的小球,

如图所示,小球以O点为圆心在竖直平面内做圆周运动,通过最高点时小球的速率是2.0m/s,g取10m/s2,则此时细杆OA受到

(

)A.6.0N的拉力

B.6.0N的压力C.24N的拉力

D.24N的压力

解析

解法一

设小球以速率v0通过最高点时,球对杆的作用力恰好为零,即mg=m

,得v0=

=

m/s=

m/s。由于v=2.0m/s<

m/s,可知过最高点时,球对细杆产生压力,如图甲所示,为小球的受力情况图。FN=mg-m

=3.0×

N=6.0N。即细杆OA受到6.0N的压力。解法二

设杆对小球的作用力为FN(由于方向未知,可以设为向下),如图乙所示,由向心力公式得:FN+mg=m

,则FN=m

-mg=(3.0×

-3.0×10)N=-6.0N。负号说明FN的方向与假设方向相反,即向上。由牛顿第三定律可知细杆

受到6.0N的压力。

答案

B由牛顿第二定律得:mg-FN=m

,则针对训练3如图,竖直环A半径为r,固定在木板B上,木板B放在水平地

面上,B的左右两侧各有一挡板固定在地上,B不能左右运动,在环的最低

点处放有一光滑小球C,A、B、C的质量均为m。给小球一水平向右的

瞬时速度v,小球会在环内侧做圆周运动,为保证小球能通过环的最高点,

且不会使环在竖直方向上跳起,瞬时速度必须满足

(

)

A.最小值为

B.最小值为

C.最大值为

D.最大值为

答案

BC

解析保证小球通过最高点,则其在最高点速度最小为vmin=

,则根据机械能守恒,-mg·2r=

m

-

m

,解得v0=

;保证环不跳起来,则在最高点F+mg=m

,F=2mg,所以vmax=

,则根据机械能守恒,-mg·2r=

m

-

m

,解得v0=

。

圆周运动中多解问题的分析方法大多数物理问题具有单一的确定解,然而有些物理问题的解并不唯一,

即有多个解,甚至有无穷多个解。对于这类物理问题,倘若物理过程不清,就可能只得出特解,而导致漏解。例4

[2014天津理综,9(1)]半径为R的水平圆盘绕过圆心O的竖直轴匀速

转动,A为圆盘边缘上一点。在O的正上方有一个可视为质点的小球以

初速度v水平抛出时,半径OA方向恰好与v的方向相同,如图所示。若小

球与圆盘只碰一次,且落在A点,重力加速度为g,则小球抛出时距O的高

度h=

,圆盘转动的角速度大小ω=

。

解析小球做平抛运动:h=

gt2、R=vt,解得h=

。由题意知ωt=2π×n(n∈N*),故联立R=vt可得ω=

(n∈N*)。

答案

(n∈N*)针对训练4

如图所示沿顺时针方向在竖直平面内做匀速率转动的轮

子边缘上有一质点A,当A通过与圆心等高的a点时,另一质点B从圆心O

开始做自由落体运动,已知圆的半径为R,试回答以下问题。(1)质点A的角速度ω满足什么条件,才能与B相遇?(2)质点A的角速度ω满足什么条件,才能与B速度相同?

答案见解析

解析

(1)A只能在O点正下方的圆周上的d点与B相遇,由于B自由下落到d点的时间是一个定值,则A转动的角速度ω有多个可能的值。

由自由落体规律可得质点B自由下落的时间t=

若A与B在d处相遇,则A可能转过的角度θ=2πn+

(式中n=0,1,2,3,…)所以A转动的角速度ω=

=

=

π

(式中n=0,1,2,3,…)(2)A只有通过c点时,才可能与下落中的质点B速度相同,令A运动到c处

所用时间为t'。A到达c处可能转过的角度φ=2πm+π(式中m=0,1,2,3,…)则A运动到c处所用时间t'=

=

(式中m=0,1,2,3,…)此时B下落的速度vB=gt'=

g(式中m=0,1,2,3,…)而A的线速度vA=ωR由vA=vB可得ωR=

g(式中m=0,1,2,3,…)解得ω=

(式中m=0,1,2,3,…)专题四解决曲线运动问题的思想方法及其应用一、分解法利用运动的合成与分解的原理,把曲线运动分解成两个直线运动,先分

别研究两个直线运动,再将两个分运动的研究结果合成,从而获得质点

的实际运动情况。1.把曲线运动分解在合外力方向和垂直于合外力的方向上,则垂直于合

外力方向上的分运动为匀速直线运动,合外力(设为恒力)方向上的分运

动为匀变速直线运动。如平抛运动的处理方法就是典型的实例。2.做曲线运动的质点受到两个相互垂直的恒力作用,此时,我们常常把曲

线运动分解在两个恒力的方向上,则每个分运动均为匀变速直线运动。专题指导例1

以速度v0竖直向上抛出一个质量为m的小球,小球在空中运动的过

程中,始终受到水平向右、大小恒为F的风力作用,其运动轨迹如图所示,

M点为小球到达的最高点,N点与抛出点O在同一水平线上。不计空气

阻力,试求出M、N两点在图中所建坐标系中的坐标值。

解析小球受重力和水平风力的作用,把小球的运动分解在两个力的方向上,则在竖直方向上,小球做竖直上抛运动,设到达最高点的时间为t

1,则由v0=gt1得t1=

,yM=

g

=

。在水平方向上,小球做初速度为零的匀加速直线运动,加速度a=

,xM=

a

=

。由竖直上抛运动的对称性可知,小球落回到N点的时间等于t1,所以xN=

a·(2t1)2=

。

答案

M

N

二、微元法一般的曲线运动中,可以把曲线分割成许多