高中物理人教版第七章机械能守恒定律动能和动能定理 【素材】第七章第7节

第7节动能和动能定理理解领悟本节课在上节探究功与物体速度变化关系的基础上，进一步从理论上探究动能的表达式，以及做功与物体动能变化间的关系。要着重理解动能的概念，会用动能定理解决相关的物理问题。基础级

对三个具体问题的分析在本章第１节“追寻守恒量”中，我们已经知道物体由于运动而具有的能量叫做动能。上一节又探究了功与物体速度变化的关系，物体的动能一定与物体的运动速度的二次方成正比。那么，动能还与哪些因素有关呢？为了探究动能的表达式，让我们来分析三个具体问题：图5—40Fmlv1v2①

如图5—40所示，在光滑的水平面上，一质量为m、初速度为图5—40Fmlv1v2解：由牛顿第二定律有

F=ma，由匀变速直线运动公式有

v22－v12=2al,图5—41m图5—41mv1hv2Fmg②

如图5—41所示，将质量为m的小球从离地h高处以初速度v1竖直向下抛出，所受空气阻力恒为F，求小球落地时的速度v2。解：由牛顿第二定律有

mg－F=ma，由匀变速直线运动公式有

v22－v12=2ah,m图5—42m图5—42lv1v2FmgFNθm③

如图5—42所示，用一水平力F将质量为m的物块推上倾角为θ的光滑斜面。物块的初速度为v1，位移为l，求物块的末速度v2。

解：由牛顿第二定律有Fcosθ－mgsinθ=ma，

由匀变速直线运动公式有

v22－v12=2al,解得。

动能表达式的确立将上述三个具体问题所得的结论适当变换，可依次得到如下的表达式：①；②；③。仔细研究上述三个表达式，可以发现它们有着相同的特点：第一，式中的与v相关，因而与动能Ek相关，且与v2成正比也与前面的探究相一致；第二，始末两态的之差与力的功W相等，因而与前面重力势能、弹性势能的研究相一致，即功是它的变化的量度。可见，就是我们寻找的动能的表达式。至此，我们可以定义质量为m的物体，以速度v运动时的动能为Ek=。

对动能的深入理解关于动能，可从以下四方面来加深理解：动能具有相对性，参考系不同，速度就不同，所以动能也不等。一般都以地面为参考系描述物体的动能。动能是状态量，是表征物体运动状态的物理量。物体的运动状态一旦确定，物体的动能就唯一地被确定了。物体的动能对应于某一时刻运动的能量，它仅与速度的大小有关，而与速度的方向无关。动能是标量，且恒为正值。由动能的表达式可知，动能的单位与功的单位相同，因为

1kg·(m/s)2=1(kg·m/s2)·m=1N·m=1J。

动能定理及其表达式在上述三个具体问题所得结论的变换式中，我们可以看到，式子左边均为合力对物体所做的功，式子右边均为物体动能的变化。这就是说，力（合力）在一个过程中对物体所做的功，等于物体在这个过程中动能的变化。这就是动能定理，其数学表达式为

W=Ek2－Ek1。

关于合力的功通常，动能定理数学表达式中的W有两种表述：一是每个力单独对物体做功的代数和，二是合力对物体所做的功。这样，动能定理亦相应地有两种不同的表述：外力对物体所做功的代数和等于物体动能的变化。合外力对物体所做的功等于物体动能的变化。我们在本章第2节“做一做”栏目的学习中，已经证明了“几个力对一个物体做功的代数和，等于这几个力的合力对这个物体所做功的和”。所以，当几个力同时对物体做功时，可以先求出物体所受的合力，再求出合力的功；也可以先求出各个力的功，再求出功的代数和，这两者是相同的。然而，当几个力对物体做功有先后时，那就只能先求出各个力的功，再求出功的代数和。

关于动能的变化动能只有正值，没有负值，但动能的变化却有正有负。“变化”是指末状态的物理量减去初状态的物理量，而不一定是大的减小的，有些书上称之为“增量”。动能的变化量为正值，表示物体的动能增加了，对应于合力对物体做正功；物体的变化量为负值，表示物体的动能减小了，对应于合力对物体做负功，或者说物体克服合力做功。

动能定理的适用范围动能定理是从牛顿第二定律F=ma和匀变速直线运动公式

v22－v12=2al推导而得的，虽然它是在受恒力作用、物体做直线运动的特殊条件下得到的，但是，当物体受变力作用或做曲线运动时，我们可把过程分解成许多小段，认为物体在每小段受恒力作用、做直线运动。因此，无论作用在物体上的合力的大小和方向是否改变，物体是沿直线运动还是沿曲线运动，结论仍然成立。也就是说，动能定理适用于直线运动，也适用于曲线运动；适用于恒力做功，也适用于变力做功。力可以是各种性质的力，既可以同时作用，也可以分段作用。只要求出和确定各力做功的多少和正负即可。值得注意的是，在推导动能定理的过程中应用了只能在惯性参考系中成立的牛顿第二定律，因而动能定理也只适用于惯性参考系。而对于不同的惯性参考系，虽然力对物体做的功、物体的动能、动能的变化都不相同，但动能定理作为一个力学规律在不同的参考系中仍然成立。动能定理适用于在惯性参考系中运动的任何物体。动能定理中涉及的物理量有F、l、m、v、W、Ek等，在处理含有上述物理量的力学问题时，可以考虑使用动能定理。由于只需从力在各段位移内的功和这段位移始末两状态动能变化去研究，无需注意其中运动状态变化的细节，又由于功和动能都是标量，无方向性，无论是对直线运动或曲线运动，计算都会特别方便。当题给条件涉及力的位移效应，而不涉及加速度和时间时，用动能定理求解一般比用牛顿第二定律和运动学公式求解简便。用动能定理还能解决一些用牛顿第二定律和运动学公式难以求解的问题，如变力作用过程、曲线运动等问题。

应用动能定理解题的一般步骤及注意点应用动能定理解题的一般步骤是：选取研究对象，确定研究过程；分析问题受力，明确做功情况；根据初、末状态，确定初、末动能；应用动能定理，列出方程求解。应用动能定理解题应注意以下几点：正确分析物体受力，要考虑物体所受的所有外力，包括重力。有些力在物体运动全过程中不是始终存在的，若物体运动过程中包含几个物理过程，物体运动状态、受力等情况均发生变化，则在考虑外力做功时，必须根据不同情况分别对待。若物体运动过程中包含几个不同的物理过程，解题时可以分段考虑也可视全过程为一整体，用动能定理解题，后者往往更为简捷。

对教材两道例题的提示教材中的两道例题，分别以飞机起飞和汽车滑行为背景，应用动能定理求出了飞机的牵引力及汽车受到的阻力。两题均可应用牛顿运动定律结合运动学公式求解，而应用动能定理求解比较方便。在题后的“思考与讨论”栏目中提出“阻力做功，汽车的动能到哪里去了”？事实上，汽车的动能转化成了内能。发展级关于系统的动能定理教材中得到的动能定理

W=Ek2－Ek1是以一个物体为研究对象的，式中

W为所有外力（包括重力、弹力）所做的功。这一定理可推广到由几个物体构成的物体系中去，但定理的形式应做相应的变动。因为对一个物体系来说，在状态变化的过程中，不仅有外力做功，还可能有内力做功，内力做功也会改变系统的总动能。例如，系统内的爆炸力做功（如手榴弹爆炸），可使整个系统的动能增加；系统内的摩擦力做功，又可使整个系统的动能减少。若以、分别表示外力和内力对系统所做的功，则有。即外力与内力对系统所做的总功，等于系统在这个过程中动能的变化。这就是系统的动能定理。对功能关系的深入理解功的概念起源于早期工业革命的需要。当时的工程师们需要一个比较蒸汽机效益的办法。在实践中大家逐渐同意用机器举起的物体的重量与高度之积来量度机器的输出，并称之为功。19世纪初，法国科学家科里奥利明确地把作用力和受力点沿力的方向的位移的乘积叫做“运动的功”。当功和能量这两个概念在具体的物理过程中“汇合”之时，人们才进了一大步，认识到“功的重要意义在于它可以决定能量的变化，因而为研究能量转化过程奠定了定量分析的基础”。这是今天的物理学总把“功”和“能”捆绑在一起的原因。关于功和能的关系，我们可以从下面两方面加以理解：做功的过程是能量转化的过程能量有机械能、电能、内能、光能、化学能、核能等多种形式，各种形式的能可以相互转化，在转化过程中满足总能量守恒。在电灯通电时，电流做功，电能转化为内能和光能；当汽车发动机工作时，把化学能转化为机械能；在核反应过程中，核力做功，把核能转化为内能。要使能量的形式发生变化，必须通过做功过程才能实现。这一点和初中学过的热传递有着本质的区别。在热传递中过程，能量的形式并不发生变化。功是能量转化的量度在做功使能量的形式发生变化时，做了多少功，就有多少的能量从一种形式转化为另一种形式。例如，电阻丝通电时，若电流做了100J的功，就有100J的电能转化为内能。从这个意义上讲，功好像是一把尺子，可以用它来量度能量转化的大小。我们在推导重力势能、弹性势能和动能的表达式时，正是从这一原理入手的。应用链接本节知识的应用主要涉及对动能概念的正确理解，以及动能定理的分析与计算。基础级例1新疆达坂城风口的风速约为v=20m/s，设该地空气的密度为ρ=1.4kg/m3，若把通过横截面积S=20m2的风的电能的50%提示本题所求电功率的意义是指单位时间内转化成的电能。由

可知，只要能求出单位时间内通过截面的空气的动能△E，即可求出P。lS图5—43解析首先建立风的“柱体模型”，如图5—43所示，设经过时间t通过截面S的空气的质量为lS图5—43

m=ρV=ρSl=ρSvt。这部分空气的动能为

。因为风的动能只有50%转化为电能，所以其电功率的表达式为。代入数据得

W=×104W。点悟求解本题的关键有：在理解功和能的关系的基础上建立风能（流动空气的动能）转化为电能的关系；正确建立风的柱体模型。例2在h高处，以初速度v0向水平方向抛出一个小球，不计空气阻力，小球着地时速度大小为（）A.B.C.D.提示小球在下落过程中重力做功，可由动能定理计算。解析在小球下落的整个过程中，对小球应用动能定理，有

，解得小球着地时速度的大小为

。正确选项为C。图5—图5—44θFOPQl例3一质量为

m的小球，用长为l的轻绳悬挂于O点。小球在水平拉力F作用下，从平衡位置P点很缓慢地移动到Q点，如图5—44所示，则拉力F所做的功为（）A.mglcosθB.mgl(1－cosθ)C.FlcosθD.Flθ提示将小球从位置P很缓慢地拉到位置Q的过程中，球在任一位置均可看作处于平衡状态。由平衡条件可得F=mgtanθ，可见，随着θ角的增大，F也在增大。而变力的功是不能用W=Flcosθ求解的，应从功和能关系的角度来求解。解析小球受重力、水平拉力和绳子拉力的作用，其中绳子拉力对小球不做功，水平拉力对小球做功设为W，小球克服重力做功mgl(1－cosθ)。小球很缓慢移动时可认为动能始终为0，由动能定理W－mgl(1－cosθ)=0，可得

W=mgl(1－cosθ)。正确选项为B。点悟我们应用动能定理，由合力的功与物体动能变化的关系求得了变力所做的功。可见，动能定理在求解变力做功问题中发挥着重要作用。例4将质量m=2kg的一块石头从离地面H=2m高处由静止开始释放，落入泥潭并陷入泥中h=5cm深处，不计空气阻力，求泥对石头的平均阻力。（g取10m/s2）提示石头的整个下落过程分为两段，如图5—45所示，第一段是空中的自由下落运动，只受重力作用；第二段是在泥潭中的运动，受重力和泥的阻力。两阶段的联系是，前一段的末速度等于后一段的初速度。考虑用牛顿第二定律与运动学公式求解，或者由动能定理求解。hH图5—hH图5—45解法一（应用牛顿第二定律与运动学公式求解）：石头在空中做自由落体运动，落地速度

。在泥潭中的运动阶段，设石头做减速运动的加速度的大小为a，则有

v2=2ah，解得

。由牛顿第二定律

，所以泥对石头的平均阻力N=820N。解法二（应用动能定理分段求解）：设石头着地时的速度为v，对石头在空中运动阶段应用动能定理，有

；对石头在泥潭中运动阶段应用动能定理，有。由以上两式解得泥对石头的平均阻力N=820N。解法三（应用动能定理整体求解）：对石头在整个运动阶段应用动能定理，有。所以，泥对石头的平均阻力N=820N。点悟从本例提供的三种解法可以看出，应用动能定理求解，要比应用牛顿第二定律与运动学求解简单得多；而在物体运动的全过程应用动能定理，则往往要比分段应用动能定理显得更为简捷。发展级例5质量为m的子弹以水平速度v1射入以速度v2沿同一方向运动的木块中，木块质量为M。当子弹进入木块中深度为d时，子弹和木块的速度分别v1’为和v2’。若木块和子弹的相互作用力为F，木块与水平面间的摩擦不计，试求这一过程中子弹和木块组成的系统动能的损失。（用F和提示应用动能定理时，注意子弹与木块发生的位移并不相同。图5—46dl解析如图5—46所示，设子弹进入木块深度为d图5—46dl

，。由以上两式可得系统动能的损失。点悟本题中，子弹和木块组成的系统损失的动能转化成了系统的内能。一般说来，作用于系统的滑动摩擦力F与系统内物体间相对滑动的位移d的乘积，在数值上等于因摩擦而转化成的内能，即“摩擦生热”Q=Fd。另外，静摩擦力即使对物体做功，由于相对位移d为0，也不可能生热。本题也可采用系统的动能定理求解：由，式中

，木块和子弹的相互作用力对木块做正功Fl，对子弹做负功－F(l+d)，即

，可得子弹和木块组成的系统动能的损失为。例6总质量为M的列车沿水平直线轨道匀速前进，其末节车厢的质量为m，中途脱节。司机发现时，机车已行驶了距离l，于是立即关闭油门，除去牵引力。设列车运动的阻力与质量成正比，机车的牵引力是恒定的。当列车的两部分都停止时，它们间的距离是多少？提示对车头部分与末节车厢分别应用动能定理。解析设阻力与质量的比例系数为k，机车脱钩前的速度为v0。对车头部分，研究脱钩前后的全过程，根据动能定理有。对末节车厢，研究脱钩后的过程，根据动能定理有。由于原先列车匀速运动，所以

F=kMg。由以上三式联立解得，列车的两部分都停止时，它们间的距离是

。点悟本题也可应用牛顿第二定律结合运动学公式求解，请同学们不妨一试，但用动能定理求解的简便之处是显而易见的。本题还可以用功能补偿的思路来解，求解过程更简单：假设中途脱节时，司机立即发觉，并立即关闭油门，则车厢和机车会停在同一地点。但因行驶了距离l后才发现而关闭油门，在此过程中，牵引力做功kMgl，这部分功可用来补偿机车多行驶一段距离而克服阻力所做的功k(M－m)g·△s，即kMgl=k(M－m)g·△s，由此解得。课本习题解读[问题与练习]1.由动能的表达式可知：a.质量不变，速度增大到原来的2倍，动能是原来的4倍；b.速度不变，质量增大到原来的2倍，动能是原来的2倍；c.质量减半，速度增大到原来的4倍，动能是原来的8倍；d.速度减半，质量增大到原来的4倍，动能不变。2.由动能定理

可知，在题目所述的两种情况下,(v22－v12)较大的，需要做的功较多。速度由10km/h加速到20km/h的情况下：v22－v12=202(km/h)2－102(km/h)2=300(km/h)2；速度由50km/h加速到60km/h的情况下：

v22－v12=602(km/h)2－502(km/h)2=1

100(km/h)2。可见，后一种情况所做的功较多。3.设平均阻力为，根据动能定理有

，解得

N=×103N。子弹在木板中运动5cm时，所受木板的阻力各处不同，题目所说的平均阻力是对这5cm说的。4.人在下滑过程中，着力和阻力做功，设人受到的阻力为F，根据动能定理有

，解得人滑至底端时的速度为

m/sm/s≈5.66m/s。可见，用动能定理求解本题，要比用牛顿第二定律结合运动学公式求解来得简捷。5.设人将足球踢出的过程中，人对球做的功为W；从人踢球到球上升至最大高度的过程中，重力做功为WG。在从人踢球到球上升至最大高度的过程中对球应用动能定理，有，即

，故

JJ=150J。练习巩固（5—7）基础级1.某物体在恒力作用下，从静止开始做直线运动，若t表示时间，l表示位移，则物体的动能（）A.与t成正比B.与t2成正比C.与l成正比D.与l2成正比2.一物体在水平方向的两个平衡力（均为恒力）作用下，沿水平方向做匀速直线运动。若撤去一个水平力，且保持另一个水平力不变，则有（）A.物体的动能可能减少B.物体的动能可能不变C.物体的动能可能增加D.余下的那个力一定对物体作正功3.甲、乙两个滑块以相同的初动能在同一水平面上滑行，若甲的质量大于乙的质量，两滑块与水平面间的动摩擦因数相同，则最后当它们均静止时滑行的距离（）A.相等B.甲大C.乙大D.无法比较4.某运动员臂长l，将质量为m的铅球推出。铅球出手时的速度大小为v0，方向与水平方向成30°角，则运动员对铅球做了多少功？5.人从高h处将一质量为m的小球水平抛出，不计空气阻力，测得球落地时速度的大小为v，则人抛球时对球做了多少功？6.质量为1kg的铁球，由离泥浆地面3m高处自由落下，陷入泥浆中30cm后静止，则重力对铁球所做的功是多少？铁球克服泥浆阻力所做的功是多少？（g取10m/s2）7.一架小型喷气式飞机的质量为5×103kg，在跑道上从静止开始滑行时受到的发动机的牵引力为×104N，设飞机在运动中的阻力是它所受重力的倍，飞机离开跑道的起飞速度为60m/s，求飞机在跑道上滑行的距离。（g取10m/s图5—图5—47F8.如图5—47所示，在摩擦可忽略的水平面上停着一辆小车，小车的左端放着一只箱子。在水平恒力F作用下，把箱子从小车的左端拉至右端卸下。如果一次小车被制动，另一次小车未被制动，小车可沿地面运动，在这两种情况下有（）A.箱子与车面之间的摩擦力一样大

B.水平恒力F所做的功一样大C.箱子获得的加速度一样大

D.箱子获得的动能一样大9.自行车上坡，坡高5.0m，坡长100m，车与人共重×102N，人蹬车的牵引力为78N，车在坡底的速度为5.0m/s，到坡顶时速度为3.0m/s。问：(1)

上坡过程中，自行车克服摩擦力做了多少功？(2)

如果人不用力蹬车，车在坡底速度仍为5.0m/s，自行车能上行多远？10.质量为3×106kg的列车，在恒定的额定功率下由静止出发，运行中受到一个恒定不变的阻力作用，经过103s，行程×104练习巩固（5—7）1.BC2.AC3.C4.对铅球在被推出的过程中应用动能定理，有

，可得运动员对铅球所做的功为。5.在从人