高中数学人教A版第二章点直线平面之间的位置关系【全国一等奖】

2023学年山东省临沂市郯城一中高一（上）12月月考数学试卷一、选择题：（本大题共10小题，共25分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，则∁UA=（）A．{4} B．{2，4，5} C．{4，5} D．{1，3，4}2．设，则f[f（﹣1）]=（）A．1 B．2 C．4 D．83．幂函数f（x）的图象经过点（2，4），则f（4）等于（）A．2 B．8 C．16 D．644．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A．y=x+1 B．y=﹣x2 C． D．y=x35．四棱锥V﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形，则二面角V﹣AB﹣C的大小为（）A．30° B．45° C．60° D．120°6．设a=，b=logπ3，c=则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．c＜a＜b7．已知平面α，β，直线l，m，且有l⊥α，m⊂β，则下列四个命题正确的个数为（）①若α∥β，则l⊥m；②若l∥m，则l∥β；③若α⊥β，则l∥m；④若l⊥m，则l⊥β．A．1 B．2 C．3 D．48．当a＞1时，在同一坐标系中，函数y=a﹣x与y=logax的图象为（）A． B． C． D．9．若一个几何体的三视图如图所示（单位长度：cm），则此几何体的表面积是（）A． B．21cm2 C． D．24cm210．函数f（x）=ln|x﹣2|﹣m（m∈R）的所有零点之和为（）A．﹣4 B．2 C．4 D．与实数m有关二、填空题（本大题共5小题，共25分）11．若函数f（x）为奇函数，当x≥0时，f（x）=x2+x，则f（﹣3）的值为．12．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底边均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是．13．已知函数y=ax+1在（﹣1，1）上是增函数，函数y=﹣x2+2ax在[1，2]上是减函数，则实数a的取值范围是．14．已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB=6，BC=2，则棱锥O﹣ABCD的体积为．15．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°角；④DM与BN是异面直线．以上四个命题中，正确命题的序号是．三、解答题：（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）16．设集合A={x|﹣1≤x＜3}，B={x|2x﹣4≥x﹣2}，C={x|x≥a﹣1}．（1）求A∩B；（2）若B∪C=C，求实数a的取值范围．17．如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．求证：（Ⅰ）PA∥平面BDE；（Ⅱ）平面PAC⊥平面BDE．18．求值：（1）；（2）．19．某商场出售一种商品，每天可卖1000件，每件可获利4元．据经验，若这种商品每件每降价元，则比降价前每天可多卖出100件，为获得最好的经济效益每件单价应降低多少元？20．如图，A、B、C、D是空间四点，在△ABC中，AB=2，AC=BC=，等边△ADB所在的平面以AB为轴可转动．（Ⅰ）当平面ADB⊥平面ABC时，求三棱锥D﹣ABC的体积；（Ⅱ）当△ADB转动过程中，是否总有AB⊥CD？请证明你的结论．21．已知：函数f（x）对一切实数x，y都有f（x+y）﹣f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0．（1）求f（0）的值．（2）求f（x）的解析式．（3）已知a∈R，设P：当时，不等式f（x）+3＜2x+a恒成立；Q：当x∈[﹣2，2]时，g（x）=f（x）﹣ax是单调函数．如果满足P成立的a的集合记为A，满足Q成立的a的集合记为B，求A∩∁RB（R为全集）．

2023学年山东省临沂市郯城一中高一（上）12月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，共25分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，则∁UA=（）A．{4} B．{2，4，5} C．{4，5} D．{1，3，4}【考点】补集及其运算．【分析】由题意，直接根据补集的定义求出∁UA，即可选出正确选项【解答】解：因为U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2，3}所以∁UA={4，5}故选：C．2．设，则f[f（﹣1）]=（）A．1 B．2 C．4 D．8【考点】函数的值．【分析】根据题意，可先求f（﹣1）=1，然后即可求解f[f（﹣1）]【解答】解：由题意可得，f（﹣1）=（﹣1）2=1∴f[f（﹣1）]=f（1）=21=2故选B3．幂函数f（x）的图象经过点（2，4），则f（4）等于（）A．2 B．8 C．16 D．64【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】设出幂函数的解析式，利用已知条件求解解析式，然后求解结果．【解答】解：幂函数为f（x）=xα，幂函数f（x）的图象经过点（2，4），∴4=2α，∴α=2．f（4）=42=16．故选：C．4．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A．y=x+1 B．y=﹣x2 C． D．y=x3【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．【分析】对于A，函数为增函数，但不是奇函数；对于B，函数为偶函数；对于C，函数在定义域的两个区间分别为减函数；对于D，函数为增函数，是奇函数．【解答】解：对于A，函数为增函数，但不是奇函数，不满足题意；对于B，﹣（﹣x）2=﹣x2，函数为偶函数，不满足题意；对于C，y′=﹣，函数在定义域的两个区间分别为减函数，不满足题意；对于D，y′=3x2，函数为增函数，（﹣x）3=﹣x3，是奇函数，满足题意；故选D．5．四棱锥V﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形，则二面角V﹣AB﹣C的大小为（）A．30° B．45° C．60° D．120°【考点】二面角的平面角及求法．【分析】由题意可知：四棱锥V﹣ABCD是正四棱锥，连接AC，BD，相交于点O，连接VO，则VO⊥平面ABCD．取AB的中点M，连接VM，OM．则AB⊥OM，利用三垂线定理可得AB⊥VM．即可得到∠OMV是二面角V﹣AB﹣C的平面角．在Rt△VOM，利用边角关系即可得出．【解答】解：如图所示，由题意可得：四棱锥V﹣ABCD是正四棱锥，连接AC，BD，相交于点O，连接VO，则VO⊥平面ABCD．取AB的中点M，连接VM，OM．则AB⊥OM，∴AB⊥VM．∴∠OMV是二面角V﹣AB﹣C的平面角．由正方形可得：OB===．∴=．在Rt△VOM，==．∴∠VMO=60°．故选C．6．设a=，b=logπ3，c=则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．c＜a＜b【考点】对数函数的单调性与特殊点．【分析】根据指数函数、对数函数的单调性和特殊点可得a=＞1，b=logπ3＜1，c=＞0，从而得到a，b，c的大小关系．【解答】解：由于a=＞30=1，b=logπ3＜logππ=1，c=＞=0，故有c＜b＜a，故选B．7．已知平面α，β，直线l，m，且有l⊥α，m⊂β，则下列四个命题正确的个数为（）①若α∥β，则l⊥m；②若l∥m，则l∥β；③若α⊥β，则l∥m；④若l⊥m，则l⊥β．A．1 B．2 C．3 D．4【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据已知中l⊥α，m⊂β，结合线面垂直的几何特征及面面平行，面面垂直的几何特征及线面平行和线面垂直的判定方法，逐一分析四个结论的真假，可得答案．【解答】解：若α∥β，则l⊥β，又由m⊂β，故l⊥m，故①正确；若l∥m，m⊂β，则l∥β或l⊂β，故②错误；若α⊥β，则l与m相交、平行或异面，故③错误；若l⊥m，则l与β相交、平行或l⊂β，故④错误．故四个命题中正确的命题有1个，故选A8．当a＞1时，在同一坐标系中，函数y=a﹣x与y=logax的图象为（）A． B． C． D．【考点】函数的图象．【分析】当a＞1时，根据函数y=a﹣x在R上是减函数，而y=logax的在（0，+∞）上是增函数，结合所给的选项可得结论．【解答】解：当a＞1时，根据函数y=a﹣x在R上是减函数，故排除A、B；而y=logax的在（0，+∞）上是增函数，故排除D，故选：C．9．若一个几何体的三视图如图所示（单位长度：cm），则此几何体的表面积是（）A． B．21cm2 C． D．24cm2【考点】由三视图求面积、体积．【分析】三视图复原的组合体是下部是正方体，上部是四棱锥，根据三视图数据，求出表面积即可．【解答】解：三视图复原的组合体是下部是棱长为2的正方体，上部是底面边长问的正方形，高为1的四棱锥，组合体的表面积为：=故选A．10．函数f（x）=ln|x﹣2|﹣m（m∈R）的所有零点之和为（）A．﹣4 B．2 C．4 D．与实数m有关【考点】函数的零点．【分析】函数f（x）=ln|x﹣2|﹣m（m∈R）的零点即方程ln|x﹣2|=m的解，从而求解．【解答】解：函数f（x）=ln|x﹣2|﹣m（m∈R）的零点即方程ln|x﹣2|=m的解，即|x﹣2|=em；故x=em+2或x=﹣em+2；故函数f（x）=ln|x﹣2|﹣m（m∈R）的所有零点之和为em+2﹣em+2=4；故选C．二、填空题（本大题共5小题，共25分）11．若函数f（x）为奇函数，当x≥0时，f（x）=x2+x，则f（﹣3）的值为﹣12．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】利用函数的奇偶性的性质，直接求解即可．【解答】解：因为函数f（x）为奇函数，当x≥0时，f（x）=x2+x，所以f（﹣3）=﹣f（3）=﹣（（﹣3）2+3）=﹣12．故答案为：﹣12．12．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底边均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是2+．【考点】斜二测法画直观图．【分析】根据斜二测化法规则画出原平面图形，即可求出其面积．【解答】解：如图所示：由已知斜二测直观图根据斜二测化法规则画出原平面图形，∴这个平面图形的面积==．故答案为．13．已知函数y=ax+1在（﹣1，1）上是增函数，函数y=﹣x2+2ax在[1，2]上是减函数，则实数a的取值范围是0＜a≤1．【考点】二次函数的性质．【分析】通过一次函数的性质得到a＞0，通过二次函数的性质求出函数的对称轴x=a≤1，从而得到答案．【解答】解：∵函数y=ax+1在（﹣1，1）上是增函数，∴a＞0，∵函数y=﹣x2+2ax在[1，2]上是减函数，∴对称轴x=a≤1，故答案为：0＜a≤1．14．已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB=6，BC=2，则棱锥O﹣ABCD的体积为8．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由题意求出矩形的对角线的长，结合球的半径，球心到矩形的距离，满足勾股定理，求出棱锥的高，即可求出棱锥的体积．【解答】解：矩形的对角线的长为：，所以球心到矩形的距离为：=2，所以棱锥O﹣ABCD的体积为：=8．故答案为：815．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°角；④DM与BN是异面直线．以上四个命题中，正确命题的序号是③④．【考点】棱柱的结构特征．【分析】将展开图复原为几何体，如图，根据正方体的几何牲，分别四个命题的真假，容易判断选项的正误，求出结果．【解答】解：展开图复原的正方体如图，不难看出：①BM与ED平行；错误的，是异面直线；②CN与BE是异面直线，错误；是平行线；③CN与BM成60°；正确；④DM与BN是异面直线．正确判断正确的答案为③④故答案为：③④三、解答题：（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）16．设集合A={x|﹣1≤x＜3}，B={x|2x﹣4≥x﹣2}，C={x|x≥a﹣1}．（1）求A∩B；（2）若B∪C=C，求实数a的取值范围．【考点】集合关系中的参数取值问题；交集及其运算．【分析】（1）化简集合B，然后求集合的交集．（2）利用B∪C=C，得到B⊆C，然后求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由题意知，B={x|2x﹣4≥x﹣2}={x|x≥2}…所以A∩B={x|2≤x＜3}…（2）因为B∪C=C，所以B⊆C…所以a﹣1≤2，即a≤3…17．如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．求证：（Ⅰ）PA∥平面BDE；（Ⅱ）平面PAC⊥平面BDE．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（I）根据线面平行的判定定理证出即可；（II）根据面面垂直的判定定理证明即可．【解答】证明：（I）∵O是AC的中点，E是PC的中点，∴OE∥AP，又∵OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE．∴PA∥平面BDE．（II）∵PO⊥底面ABCD，PO⊥BD，又∵AC⊥BD，且AC∩PO=O∴BD⊥平面PAC，而BD⊂平面BDE，∴平面PAC⊥平面BDE18．求值：（1）；（2）．【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．【分析】（1）利用有理数指数幂性质、运算法则求解．（2）利用对数性质、运算法则求解．【解答】解：（1）=4﹣8+2=﹣2．…（2）===3（lg5+lg2）+=．…19．某商场出售一种商品，每天可卖1000件，每件可获利4元．据经验，若这种商品每件每降价元，则比降价前每天可多卖出100件，为获得最好的经济效益每件单价应降低多少元？【考点】函数模型的选择与应用．【分析】根据经济效益为每件获利×每天卖出商品件数，可构建函数关系式，利用配方法，即可求得所求每件单价．【解答】解：设每件降价元，则每件获利（4﹣）元，每天卖出商品件数为．经济效益：y=（4﹣）=﹣10x2+300x+4000=﹣10（x2﹣30x+225﹣225）+4000=﹣10（x﹣15）2+6250．∴x=15时，ymax=6250．即每件单价降低元，可获得最好的经济效益．20．如图，A、B、C、D是空间四点，在△ABC中，AB=2，AC=BC=，等边△ADB所在的平面以AB为轴可转动．（Ⅰ）当平面ADB⊥平面ABC时，求三棱锥D﹣ABC的体积；（Ⅱ）当△ADB转动过程中，是否总有AB⊥CD？请证明你的结论．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面垂直的性质．【分析】（Ⅰ）取出AB中点E，连接DE，CE，由等边三角形ADB可得出DE⊥AB，又平面ADB⊥平面ABC，故DE⊥平面ABC，由勾股定理可得CE的长，进而可得三角形ABC的面积，由棱锥的体积公式可得答案．（Ⅱ）总有AB⊥CD，当D∈面ABC内时，显然有AB⊥CD，当D在而ABC外时，可证得AB⊥平面CDE，定有AB⊥CD．【解答】解：（Ⅰ）取AB的中点E，连接DE，CE，因为ADB是等边三角形，所以DE⊥AB．当平面ADB⊥平面ABC时，因为平面ADB∩平面ABC=AB，所以DE⊥平面ABC，可知DE⊥CE由已知可得，则S△ABC=1，VD﹣ABC=××1=．（Ⅱ）当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD．证明：（ⅰ）当D在平面ABC内时，因为AC=BC，AD=BD，所以C，D都在线段AB的垂直平分线上，即AB⊥CD．（ⅱ）当D不在平面ABC内时，由（Ⅰ）知AB⊥DE．又因AC=BC，所以AB⊥CE．又DE，CE为