弹性力学2016年10月20日

弹

塑性力学崔杰（李亚东）土木工程学院/工程抗震中心

弹性力学

吴家龙等

36学时（8次课）

塑性力学引论

王仁等

北京大学出版社

8学时（2次课）

总复习（4学时、1次课）

考试（4学时、1次课）绪论第一章应力状态理论第二章应变状态理论第三章应力和应变关系第四章弹性力学问题的建立第五章平面问题的直角坐标解答第六章平面问题的极坐标解答第七章平面问题的复变函数解答第八章柱形杆的扭转和弯曲第九章弹性力学方程的通解及其应用第十章热应力第十一章弹性波的传播第十二章弹性薄板的弯曲第十二章弹性力学的变分解法弹性力学的主要章节内容塑性力学要点和说明

目的：了解塑性力学基本概念和要点

评价：很重要的一门学科

特点：强调数学力学知识

内容：

1）基本概念：塑性（比例极限、弹性极限、屈服应力、硬化、软化、包氏效应、加卸载）、粘性、脆性；

2）简化模型：（骨架曲线）理想弹塑性模型、线性强化塑性模型、刚塑性模型；（加卸载模型）等向强化模型、随动强化模型

3）π平面、屈服条件、屈服曲面、屈服曲面与π平面的关系及在π平面上的特点

4）屈服条件：Tresca屈服条件、Mises屈服条件、最大偏应力屈服条件（表达式、图示、与简单实验的关系）

5）加载条件：加载条件、加载曲面（后继屈服面）、等向强化模型、随动强化模型；加载、卸载、中性变载（适用条件）

6）几个假设：稳定材料假设、Drucker公设、伊留辛公设、三个公设的相互关系

7）公设的推论：加载面的外凸性、正交流动法则、增量（流动）理论、全量理论

程度要求：理解概念，会图示。教材与主要参考书教材：《弹性力学》（上册，第三版）吴家龙编同济大学出版社参考书：《弹性理论》铁木辛柯（Timoshenko）编科学出版社《弹性力学》徐芝纶编高等教育出版社《弹性力学学习方法及解题指导》王俊民编同济大学出版社《弹性与塑性力学》（例题与习题）徐秉业编机械工业出版社《弹性理论基础》陆明万等编清华大学出版社力学学科分类·弹塑性力学81、学科分类

按运动与否分：静力学：研究力系或物体的平衡问题，不涉及物体运动状态的改变；如飞机停在地面或巡航。运动学：研究物体如何运动，不讨论运动与受力的关系；如飞行轨迹、速度、加速度。动力学：研究力与运动的关系。如何提供加速度？9●按研究对象分：

◆一般力学：

研究对象是刚体。研究力及其与运动的关系。分支学科有理论力学等。◆固体力学：研究对象是可变形固体。研究材料变形、流动和断裂时的力学响应。其分支学科有：

材料力学、结构力学、弹性力学、

塑性力学、弹塑性力学、断裂力学、流变学、疲劳等。◆流体力学：研究对象是气体或液体。涉及到：

水力学、空气动力学等学科。10

按研究手段分：（理论分析、实验和数值计算）

有实验力学、计算力学二个方面的分支。

按应用领域分：有飞行力学、船舶结构力学、岩土力学、量子力学等。11

2、弹塑性力学

弹塑性力学是固体力学的一个重要分支学科，是研究可变形固体受到外荷载或温度变化等因素的影响而发生的应力、应变和位移及其分布规律的一门科学，是研究固体在受载过程中产生的弹性变形和塑性变形阶段这两个紧密相连的变形阶段力学响应的一门科学。

应力、应力状态12①、应力的概念:

受力物体内某点某截面上内力的分布集度13应力正应力切应力必须指明两点：1.是哪一点的应力；2.是该点哪个微截面的应力。14应力状态的概念：受力物体内某点处所取无限多截面上的应力情况的总和，就显示和表明了该点的应力状态◆应力的表示及符号规则正应力：切应力：第一个字母表明该应力作用截面的外法线方向同哪一个坐标轴相平行，第二个字母表明该应力的指向同哪个坐标轴相平行。弹性变形、塑性变形、本构方程15◆表明固体材料产生弹性变形或塑性变形时应力与应变，以及应力率与应变率之间关系的物性方程，称为本构方程（关系）。◆大量实验证实，固体受力变形时，应力与应变间的关系是相辅相成的。◆

固体材料在一定条件下，应力与应变之间各自有着确定的关系，这一关系反映着固体材料的客观力学特性。16◆固体材料弹性变形具以下特点：①弹性变形是可逆的。物体在变形过程中，外力所做的功以能量（应变能）的形式贮存在物体内，当卸载时，弹性应变能将全部释放出来，物体的变形得以完全恢复；②无论材料是处于单向应力状态，还是复杂应力状态，在线弹性变形阶段，应力和应变成线性比例关系；③对材料加载或卸载，其应力应变曲线路径相同。因此，应力与应变是一一对应的关系。17◆固体材料塑性变形具以下特点：①塑性变形不可恢复，所以外力功不可逆，塑性变形的产生必定要耗散能量（称耗散能或形变功）。②在塑性变形阶段，其应力应变关系是非线性的。由于本构方程的非线性，所以不能使用叠加原理。又因为加载与卸载的规律不同，应力与应变之间不再存在一一对应的关系，即应力与相应的应变不能唯一地确定，而应当考虑到加载路径（或加载历史）。③在载荷作用下，变形体有的部分仍处于弹性状态称弹性区，有的部分已进入了塑性状态称塑性区。在弹性区，加载与卸载都服从广义虎克定律。但在塑性区，加载过程服从塑性规律，而在卸载过程中则服从弹性的虎克定律。并且随着载荷的变化，两区域的分界面也会产生变化。④依据屈服条件，判断材料是否处于塑性变形状态。

绪论

研究对象和任务基本假设发展与工程应用§1.1

弹性力学的任务弹性力学

——也称弹性理论是固体力学学科的一个分支（材料力学、结构力学、流体力学、塑性力学、粘性力学、连续介质力学等）

什么是弹性？（研究对象）1）基本属性；2）“完全弹性”是对弹性体变形的抽象（理想模型）。完全弹性是指在一定温度条件下，材料的应力和应变之间一一对应的关系。这种关系与时间无关，也与变形历史无关。材料的应力和应变关系通常称为本构关系；——物理关系或者物理方程线性弹性体和非线性弹性体基本任务——研究由于载荷或者温度改变，弹性体内部所产生的位移、变形和应力分布等。——为解决工程结构的强度，刚度和稳定性问题作准备。研究对象——弹性体研究内容和基本任务与材料力学基本相同研究对象近似基本任务研究方法却有比较大的差别本学科的（学习）目的——建立理论体系（描述、严谨性）、探讨解决方法本学科的目的——熟知基本理论、学会解决的方法材料力学的研究对象是杆件，平面假设确定横截面变形。——一维数学问题，求解的基本方程是常微分方程。弹性力学的研究对象是完全弹性体。只能从微分单元体入手，三维数学问题，综合分析的结果是偏微分方程边值问题。受力分析弹性力学的基本思路与研究方法241、弹性力学分析问题的基本思路

弹性力学与材料力学同属固体力学的分支学科，它们在分析问题解决问题的基本思路上都是一致的，但在研究问题的基本方法上各不相同。其基本思路如下：25(1)受力分析及静力平衡条件(力的分析)

对一点单元体的受力进行分析。若物体受力作用，处于平衡状态，则应当满足的条件是什么？（静力平衡条件）(3)力与变形间的本构关系(物理分析)固体材料受力作用必然产生相应的变形。不同的材料，不同的变形，就有相应不同的物理关系。则对一点单元体的受力与变形间的关系进行分析，应满足的条件是什么？（物理条件，也即本构方程。）(2)变形分析及几何相容条件(几何分析)材料是连续的，物体在受力变形后仍应是连续的。固体内既不产生“裂隙”，也不产生“重叠”。则材料变形时，对一点单元体的变形进行分析，应满足的条件是什么？（几何相容条件）262、弹性力学研究问题的基本方法◆材料力学研究问题的基本方法：选一维构件整体为研究对象变形前，在某表面绘制标志线；变形后，观察总结构件表面变形的规律。做出平截面假设，经三方面分析，解决问题。a、研究方法较简单粗糙；b、涉及数学理论较简单；c、材料力学的工程解答一般为近似解。◆弹性力学研究问题的基本方法27以受力物体内某一点（单元体）为研究对象

单元体的受力——应力理论；单元体的变形——变形几何理论；单元体受力与变形间的关系——本构理论；

建立起普遍适用的理论与解法。1、涉及数学理论较复杂，并以其理论与解法的严密性和普遍适用性为特点；2、弹性力学的工程解答一般认为是精确的；3、可对初等力学理论解答的精确度和可靠进行度量。28提出问题，选择有关的研究系统。对系统进行抽象与简化，建立力学模型。利用力学原理进行分析、推理，得出结论与已知结论相比较，或由实验进行验证。确认或进一步改善模型，深化认识

3、工程力学一般研究方法

工程力学解决问题的一般研究方法类似于一般科学研究的普遍方法，可归纳为：常微分方程，数学求解没有困难。偏微分方程边值问题，在数学上求解困难重重，除了少数特殊问题，一般弹性体问题很难得到解析解。这里并不是说弹性力学分析不再需要假设，事实上对于任何学科，如果不对研究对象作必要的抽象和简化，研究工作都是寸步难行的。研究方法的差别造成弹性力学与材料力学问题的最大不同。简单性需要——工程问题的复杂性是诸多方面因素组成的。如果不分主次考虑所有因素，则问题的复杂，数学推导的困难，将使得问题无法求解。可行性需要——根据问题性质，忽略部分暂时不必考虑的因素，提出一些基本假设。使问题的研究限定在一个可行的范围。严谨性需要——基本假设是学科的研究基础。注意：超出基本假设的研究领域是固体力学其它学科的研究。§1.2

弹性力学基本假设工程材料通常可以分为晶体和非晶体两种。金属材料——晶体材料，是由许多原子，离子按一定规则排列起来的空间格子构成，其中间经常会有缺陷存在。高分子材料——非晶体材料，由许多分子的集合组成的分子化合物。工程材料内部的缺陷、夹杂和孔洞等构成了固体材料微观结构的复杂性。§1.2基本假设21.连续性假设

——假设所研究的整个弹性体内部完全由组成物体的介质所充满，各个质点之间不存在任何空隙。——变形后仍然保持连续性。根据这一假设，物体所有物理量，例如位移、应变和应力等均为物体空间的连续函数。微观上这个假设不可能成立——宏观假设。§1.2基本假设32.均匀性假设——假设弹性物体是由同一类型的均匀材料组成的。因此物体各个部分的物理性质都是相同的，不随坐标位置的变化而改变。——物体的弹性性质处处都是相同的。工程材料，例如混凝土颗粒远远小于物体的的几何形状，并且在物体内部均匀分布，从宏观意义上讲，也可以视为均匀材料。对于环氧树脂基碳纤维复合材料，不能处理为均匀材料。§1.2基本假设43.各向同性假设——假定物体在各个不同的方向上具有相同的物理性质，这就是说物体的弹性常数将不随坐标方向的改变而变化。

——宏观假设，材料性能是显示各向同性。当然，像木材，竹子以及纤维增强材料等，属于各向异性材料。——这些材料的研究属于复合材料力学研究的对象。§1.2基本假设54.完全弹性假设——对应一定的温度，如果应力和应变之间存在一一对应关系，而且这个关系和时间无关，也和变形历史无关，称为完全弹性材料。完全弹性分为线性和非线性弹性，弹性力学研究限于线性的应力与应变关系。研究对象的材料弹性常数不随应力或应变的变化而改变。§1.2基本假设65.小变形假设——假设在外力或者其他外界因素（如温度等）的影响下，物体的变形与物体自身几何尺寸相比属于高阶小量。——在弹性体的平衡等问题讨论时，可以不考虑因变形所引起的尺寸变化。——忽略位移、应变和应力等分量的高阶小量，使基本方程成为线性的偏微分方程组。§1.2基本假设7——假设物体处于自然状态，即在外界因素作用之前，物体内部没有应力。弹性力学求解的应力仅仅是外力或温度改变而产生的。6.无初始应力假设§1.2基本假设8弹性力学的基本假设，主要包括弹性体的连续性、均匀性、各向同性、完全弹性和小变形假设等。这些假设都是关于材料变形的宏观假设。弹性力学问题的讨论中，如果没有特别的提示，均采用基本假设。这些基本假设被广泛的实验和工程实践证实是可行的。§1.2基本假设9§1.3弹性力学的发展和研究方法弹性力学是一门有悠久历史的学科，早期研究可以追溯到1678年，胡克（R.Hooke）发现胡克定律。这一时期的研究工作主要是通过实验方法探索物体的受力与变形之间的关系。

弹性力学的发展史近代弹性力学的研究是从19世纪开始的。柯西1828年提出应力、应变概念，建立了平衡微分方程，几何方程和广义胡克定律。柯西的工作是近代弹性力学的一个起点，使得弹性力学成为一门独立的固体力学分支学科。§1.3发展与研究方法2柯西（A.L.Cauchy）而后，世界各国的一批学者相继进入弹性力学研究领域，使弹性力学进入发展阶段。1856年，圣维南（A.J.Saint-Venant）建立了柱体扭转和弯曲的基本理论；§1.3发展与研究方法3圣维南（A.J.Saint-Venant）1862年，艾瑞（G.B.Airy）发表了关于弹性力学的平面理论；1881年，赫兹建立了接触应力理论；§1.3发展与研究方法4赫兹（H.Hertz）1898年，基尔霍夫建立了平板理论;1824年生於德国，1887年逝世。曾在海登堡大学和柏林大学任物理学教授，他发现了电学中的“基尔霍夫定理”，同时也对弹性力学，特别是薄板理论的研究作出重要贡献。§1.3发展与研究方法5基尔霍夫(G.R.Kirchoff)1930年，Гадёркин发展了应用复变函数理论求解弹性力学问题的方法等。另一个重要理论成果是建立种能量原理；提出一系列基于能量原理的近似计算方法。许多科学家.像拉格朗日(J.L.Lagrange)，乐甫(A.E.H.Love)，铁木辛柯(S.P.Timoshenko)做出了贡献。中国科学家钱伟长，钱学森，徐芝伦，胡海昌,等在弹性力学的发展，特别是在中国的推广应用做出了重要贡献。§1.3发展与研究方法6钱伟长钱学森胡海昌§1.3发展与研究方法7徐芝伦杨桂通§1.3发展与研究方法8弹性力学——促进数学和自然科学基本理论的建立和发展；广泛工程应用——造船、建筑、航空和机械制造等。发展——形成了一些专门的分学科；现代科学技术和工程技术——仍然提出新的理论和工程问题。对于现代工程技术和科研工作者的培养——对于专业基础，思维方法以及独立工作能力都有不可替代的作用。§1.3发展与研究方法9数学方法实验方法二者结合的方法弹性力学的基本方程——偏微分方程的边值问题，求解的方法有解析法和近似解法。解析法在数学上难度极大，因此仅适用于个别特殊边界条件问题。近似解法对于弹性力学有重要意义。§1.3发展与研究方法11数值解法——计算机处理的近似解法。现代科学技术，特别是计算机技术的迅速发展和广泛应用为基础。有限元方法为代表的计算力学。以有限元为基础的CAD,CAE等技术，使计算机不仅成为数值分析工具，而且成为设计分析工具。有限元方法以弹性力学为基础，有限元方法将计算数学与工程分析相结合，极大地扩展和延伸了弹性力学理论与方法，取得了当代力学理论应用的高度成就。§1.3发展与研究方法12数值解法——计算机处理的近似解法。现代科学技术，特别是计算机技术的迅速发展和广泛应用为基础。有限元方法为代表的计算力学。以有限元为基础的CAD,CAE等技术，使计算机不仅成为数值分析工具，而且成为设计分析工具。有限元方法以弹性力学为基础，有限元方法将计算数学与工程分析相结合，极大地扩展和延伸了弹性力学理论与方法，取得了当代力学理论应用的高度成就。

发展与研究方法11建筑工程§弹性力学的应用建筑工程§1.1弹性力学任务5塔科马海峡吊桥（TacomaNarrowsBridge）§弹性力学的应用航空航天工程§弹性力学的应用船舶机械工程§弹性力学的应用§1.1弹性力学任务8§弹性力学的应用§弹性力学的应用第二章应力状态理论研究对象——三维弹性体微分单元体入手超静定问题静力平衡、几何变形和本构关系等三方面的条件本章从静力学观点出发，讨论一点的应力状态，建立平衡微分方程和边界条件。§2.1

体力和面力§2.2

应力和一点的应力状态§2.3

与坐标倾斜的微分面上应力§2.4平衡微分方程应力边界条件§2.5转轴时应力分量的变换§2.6

主应力与应力主方向§2.7

最大切应力及方位§2.8

体积应力、八面体应力单元§2.9

应力边界§2.1

体力和面力物体外力——分为两类体力:重力、惯性力、电磁力

(N/m3)面力：风力、液压力、接触压力(N/m2)体力和面力分别为物体单位体积或者单位面积的载荷。

§2.1外力、内力与应力Chapter3.1

外力Chapter3.1

外力体力即分布在物体体积内部各个质点上的力，又称为质量力。例如物体的重力、运转零件的惯性力等。面力即作用在物体表面上的力，例如作用在飞机机翼上的空气动力、水坝所受的水压力等。

§2.1外力、内力与应力Chapter3.1

定义式体力：

§2.1外力、内力与应力Chapter3.1

定义式面力：

§2.1外力、内力与应力Chapter3.1

内力物体内部各个部分之间将产生相互作用，这种物体一部分与相邻部分之间的作用力，称为内力。内力也是分布力，它起着平衡外力和传递外力的作用，是变形体力学研究的重要对象之一。应力的概念正是为了精确描述内力而引进的。

§2.1外力、内力与应力Chapter3.1

应力应力矢量

§2.1外力、内力与应力Chapter3.1若取为变形前面元的初始面积，则上式给出工程应力，亦称名义应力，常用于小变形情况。对于大变形问题，应取为变形后面元的实际面积，称真实应力，简称真应力,也称柯西应力。应力矢量：

§2.1外力、内力与应力Chapter3.1应力的定义

§2.1外力、内力与应力Chapter3.1

应力矢量的大小和方向不仅和M点的位置有关，而且和面元法线方向有关。

§2.1外力、内力与应力

作用在同一点不同法向面元上的应力矢量各不相同，反之，不同曲面上的面元，只要通过同一点且法线方向相同，则应力矢量也相同。

§2.1外力、内力与应力Chapter3.1应力矢量和面力矢量的数学定义和物理量纲都相同。区别在于：应力是作用在物体内界面上的未知内力，而面力是作用在物体外表面的已知外力。当内截面无限趋近于外表面时，应力也趋近于外加面力之值。

§2.1外力、内力与应力Chapter3.1正六面体微元:

外法线与坐标轴同向的三个面称为正面，记为dSi，它们的单位法向矢量为i＝ei，ei是沿坐标轴的单位矢量；另三个外法线与坐标轴反向的面元称为负面。

§2.1外力、内力与应力Chapter3.1

§2.1外力、内力与应力Chapter3.1应力分量的正负号规定

§2.1外力、内力与应力Chapter3.1应力分量的个数

§2.1外力、内力与应力Chapter3.1x222x11131e1e2e3x3333213232112

§2.1外力、内力与应力Chapter3.1把作用在正面dSi上的应力矢量沿坐标轴正向分解得：即：x222x11131e1e2e3x3333213232112

§2.1外力、内力与应力§2.2应力与一点的应力状态内力——外界因素作用下，物体内部各个部分之间的相互作用力(△F)。应力应力矢量随截面的法线方向n的方向改变而变化应力状态——一点所有截面应力矢量的集合。显然，弹性体内某确定点各个截面的应力——应力状态必然存在一定的关系。应力状态分析——讨论一点截面方位改变引起的应力变化趋势。应力状态对于结构强度是十分重要的。准确描述应力状态，确定合理的应力参数。为了探讨各个截面应力的变化趋势，确定可以描述应力状态的参数，通常将应力矢量分解。§2.2应力2应力矢量沿坐标分解

—没有工程意义正应力和切应力正应力s

n与切应力tn

与结构强度关系密切根据截面方位不能完全确定切应力应力分量——应力张量应力张量可以描述一点应力状态§2.2应力3应力张量简化：x=1,y=2,z=3应该注意——应力分量是标量箭头仅是说明方向,正负约定§2.2应力4应力不仅随位置改变而变化，而且随截面方位改变而变化。

同一点由于截面的法线方向不同，截面上的应力也不同。

§2.3

与坐标倾斜的微分面上的应力N的方向余弦为设三角形ABC的面积为ΔS,则三角形BPC、CPA、APB的面积分别为lΔS、mΔS、nΔS,体积为ΔV因为上式可化为同理可得：§2.4平衡微分方程应力边界条件平衡物体整体平衡，内部任何部分也是平衡的。对于弹性体，必须讨论一点的平衡。微分平行六面体单元平衡微分方程§2.4平衡方程2切应力互等定理

§2.4平衡方程2边界上的平衡--应力边界条件

§2.4平衡方程2§2.5转轴时应力分量的变换如果应力张量能够描述一点的应力状态，则应力张量可以描述其它应力参数；坐标变换与应力张量关系；最大应力及其方位的确定。公式表明：已知应力9个分量，可以确定任意方位微分面的应力矢量。当然可以确定正应力s

n与切应力tn。应力矢量与应力分量的关系§2.5应力状态2应力不仅随位置改变而变化，而且随截面方位改变而变化。同一点由于截面的法线方向不同，截面上的应力也不同。讨论应力分量在坐标变换时的变化规律。§2.5应力状态3§2.5应力状态3xyzl1m1n1l2m2n2l3m3n3§2.5应力状态3§2.5应力状态3通过坐标轴轮换可得其余6个应力分量，详见书本。任意斜截面的应力转轴公式——应力分量满足张量变化规则应力张量为二阶对称张量转轴公式表明：新坐标系下的六个应力分量可通过原坐标系的应力分量确定。应力张量可以确定一点的应力状态。坐标轴转轴后，应力分量发生改变。但是作为整体所描述的应力状态没有变化。§2.5应力状态4平面应力状态转轴公式——弹性力学以坐标系定义应力分量；材料力学以变形效应定义应力分量。 正应力二者定义没有差异 而切应力定义方向不同§2.45应力状态5§2.6主应力与应力主方向转轴公式描述了应力随坐标转动的变化规律结构强度分析需要简化和有效的参数——最大正应力、最大切应力以及方位主应力和主平面——应力状态分析重要参数应力不变量——进一步探讨应力状态主应力和主平面主应力分析关于l，m，n的齐次线性方程组，非零解的条件为方程组的系数行列式等于零，即§2.6主应力2展开其中：主元之和代数主子式之和应力张量元素构成的行列式主应力特征方程§2.6主应力3应力状态特征方程——确定弹性体内部任意一点主应力和应力主轴方向。主应力和应力主轴方向取决于载荷、形状和边界条件等，与坐标轴的选取无关。因此，特征方程的根是确定的，即I1、I2、I3的值是不随坐标轴的改变而变化的。I1、I2、I3

分别称为应力张量的第一、第二和第三不变量。§2.6主应力4特征方程有三个实数根s1，s2，s3分别表示这三个根，代表某点三个主应力。对于应力主方向，将s1，s2，s3分别代入和

l2+m2+n2=1则可求应力主方向。§2.6主应力5主应力和应力主方向取决于结构外力和约束条件，与坐标系无关。因此特征方程的三个根是确定的。特征方程的三个根，即一点的三个主应力均为实数。根据三次方程性质可以证明。任意一点三个应力主方向是相互垂直的——三个应力主轴正交的。应力不变量性质坐标系的改变导致应力张量各分量变化，但应力状态不变。应力不变量正是对应力状态性质的描述。§2.6主应力6不变性实数性正交性主应力正交性证明：下面证明下述结论：1.

若s1≠s2≠s3，特征方程无重根；

应力主轴必然相互垂直；2.

若s1＝s2≠s3，特征方程有两重根；

s1和s2的方向必然垂直于s3的方向。而s1和s2的方向可以是垂直的，也可以不垂直；3.

若s1=s2=s3，特征方程有三重根；三个应力主轴可以垂直，也可以不垂直，任何方向都是应力主轴。§2.6主应力7设s1，s2，s3

的方向分别为（l1，m1，n1），（l2，m2，n2）和（l3，m3，n3），则

分别乘以l2，m2，n2

分别乘以-l1,-m1,-n1六式相加，可得§2.6主应力8如果

s1≠s2≠s33个应力主方向相互垂直如果

s1=s2≠s3可以等于零，也可以不等于零。s3与s1和s2的方向垂直，而s