第1章数字信号处理

1第1章离散时间信号与系统的时域分析1中国矿业大学信息与电气工程学院1.1引言本书研究的对象是数字信号的分析和处理。信号通常分为：连续时间信号、离散时间信号、数字信号。通常把时间连续、幅度也连续的信号称为模拟信号或称为连续时间信号。时间离散、幅度连续的信号被称为离散时间信号。时间离散、幅度也离散的信号被称为数字信号。2中国矿业大学信息与电气工程学院系统的作用是把信号变换成某种更合乎要求的形式。输入和输出都是模拟信号的系统被称为模拟系统；输入和输出都是离散时间信号的系统被称为离散时间系统；输入和输出都是数字信号的系统被称为数字系统。3中国矿业大学信息与电气工程学院模拟信号数字处理方法;时域离散信号的表示方法；典型信号、线性时不变系统的因果性和稳定性;系统的输入输出描述法，线性常系数差分方程的解法。本章主要学习4中国矿业大学信息与电气工程学院51.1模拟信号数字处理方法前置预滤波器A/D变换器数字信号处理器D/A变换器模拟滤波器模拟xa(t)PrFADCDSPDACPoF模拟ya(t)采样采样恢复5中国矿业大学信息与电气工程学院6一、采样的基本概念所谓“采样”，就是利用采样脉冲序列从连续时间信号中抽取一系列的离散样值，由此得到的离散时间信号通常称为采样信号，以表示。图1-1采样的原理框图采样器连续信号采样脉冲采样信号6中国矿业大学信息与电气工程学院7（a）实际采样（b）理想采样图1-2两种采样方式7中国矿业大学信息与电气工程学院8二、理想采样及其频谱

1.时域分析数学模型采样脉冲：理想采样输出:8中国矿业大学信息与电气工程学院中国矿业大学信息与电气工程学院92.频域分析

傅里叶（Fourier，1768～1830）生子法国中部欧塞尔一个裁缝家庭，八岁时沦为孤儿，就读于地方军校，1795年任巴黎综合工科大学助教，1798年随拿破仑军队远征埃及，受到拿破仑器重，回国后被任命为格伦诺布尔省省长，由于对热传导理论的贡献于1817年当选为巴黎科学院院士，1822年成为科学院终身秘书。9中国矿业大学信息与电气工程学院中国矿业大学信息与电气工程学院10

傅里叶早在1807年就写成关于热传导的基本论文，但经拉格朗日、拉普拉斯和勒让德审阅后被科学院拒绝，1811年又提交了经修改的论文，该文获科学院大奖，却未正式发表。1822年，傅里叶终于出版了专著《热的解析理论》。这部经典著作将欧拉、伯努利等人在一些特殊情形下应用的三角级数方法发展成内容丰富的一般理论，三角级数后来就以傅里叶名字命名。10中国矿业大学信息与电气工程学院11傅里叶发现，任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示（选择正弦函数与余弦函数作为基函数是因为它们是正交的），后世称为傅里叶级数。11中国矿业大学信息与电气工程学院12映射时域相乘频域卷积（模拟系统）1)冲激函数序列δT(t)的频谱考虑到周期信号可以用傅里叶级数展开，因此，冲激函数序列δT(t)可用傅里叶级数表示为:其中12中国矿业大学信息与电气工程学院因此，上式表明冲激函数序列具有梳状谱的结构，即它的各次谐波都具有相等的幅度1/T。

两种方法求13中国矿业大学信息与电气工程学院2）理想采样信号的频谱方法1：14中国矿业大学信息与电气工程学院上式表明：

（1）频谱产生周期延拓。即采样信号的频谱是频率的周期函数，其周期为Ωs。

（2）频谱的幅度是Xa(jΩ)的1/T倍。方法2：15中国矿业大学信息与电气工程学院三、时域采样定理如果信号xa(t)是带限信号，且最高频率不超过Ωs/2，即那么采样频谱中，基带频谱以及各次谐波频谱彼此是不重叠的。

用一个带宽为Ωs/2的理想低通滤波器，可以不失真的还原出原来的连续信号。

16中国矿业大学信息与电气工程学院图1-3采样信号的频谱图但是，如果信号最高频谱超过Ωs/2，那么在采样频谱中，各次调制频谱就会相互交叠起来，这就是频谱混叠现象。其中，Ωs/2或fs/2，称作折叠频率。17中国矿业大学信息与电气工程学院中国矿业大学信息与电气工程学院1818中国矿业大学信息与电气工程学院19图1-26单音（余弦）信号采样中的频谱混叠情况示意图

19中国矿业大学信息与电气工程学院20设

√没有混叠时，恢复出的输出为

√有混叠时，则是结论：为使采样后能不失真的还原出原信号，采样频率必须大于两倍信号最高频率，这就是奈奎斯特采样定理。20中国矿业大学信息与电气工程学院21四、采样的恢复（内插）

1.频域分析21中国矿业大学信息与电气工程学院222.时域分析

把输出看成是与理想低通单位冲激响应g(t)的卷积理想低通G(jΩ)的冲激响应为22中国矿业大学信息与电气工程学院23根据卷积公式，低通滤波器的输出为：23中国矿业大学信息与电气工程学院24其中：采样内插公式

内插函数

内插函数权内插结果使得被恢复的信号在采样点的值就等于xa(nT)，采样点之间的信号则是由各采样值内插函数的波形延伸叠加而成的。

24中国矿业大学信息与电气工程学院25

要完全恢复原来的连续信号xa(t)，需要以下条件：

①限带信号；

②无限次的理想取样（δ函数）；（N→∞）

③理想低通滤波器，即Sinc内插函数（其截止频率满足fc≤f≤fs/2）但后两条在物理上都是不可实现的，因此，原始信号在实际中不能由采样真实的重建，而只能逼近原来的信号。采样内插公式说明，只要采样频率高于两倍信号最高频率，则整个连续信号就可以完全用它的采样值来代表，而不会丢掉任何信息。这就是奈奎斯特定理的意义。25中国矿业大学信息与电气工程学院1.2

离散时间信号——数字序列在离散时间系统中，信号要用离散时间的数字序列来表示。26中国矿业大学信息与电气工程学院一、常用的典型序列1．单位脉冲(冲激)序列图1-11单位脉冲序列和单位冲激信号(a)单位脉冲序列；(b)单位冲激信号27中国矿业大学信息与电气工程学院2．单位阶跃序列图1-12单位阶跃序列28中国矿业大学信息与电气工程学院与之间的关系：29中国矿业大学信息与电气工程学院3．矩形序列图1-13矩形序列(N=4)30中国矿业大学信息与电气工程学院4．实指数序列31中国矿业大学信息与电气工程学院5．正弦型序列式中是正弦序列数字域的频率。它反映了序列变化快慢的速率，或相邻两个样点的弧度数。图1-14正弦序列32中国矿业大学信息与电气工程学院对连续信号中的正弦信号进行采样，可得正弦序列。数字频率ω与模拟角频率Ω之间的关系为说明：（1）数字域频率是模拟域频率对采样频率的归一化值

（2）模拟正弦中的角频率单位是rad/s，而数字域频率ω单位是rad。或33中国矿业大学信息与电气工程学院6．复指数序列式中ω为数字域频率。若，可得：欧拉恒等式称为复正弦序列34中国矿业大学信息与电气工程学院如果对所有n存在一个最小整数N，满足则称x(n)为周期序列，记为，最小周期为N。7.周期序列问题：模拟周期信号的采样一定是周期序列吗？？35中国矿业大学信息与电气工程学院下面讨论一般正弦序列的周期性。设

那么

（1）当为最小正整数（此时k=1），则正弦序列是周期序列，周期为N。（2）当为有理数时，P、Q为互素的整数，则正弦序列是以P为周期的周期序列，且周期。（3）当无理数，任何整数k都不能使N为正整数，因此，此时的正弦序列不是周期序列。满足36中国矿业大学信息与电气工程学院若（1）（2）（3）试判断它们的周期性，画出相应的波形。例1-237中国矿业大学信息与电气工程学院结论：正弦序列或复指数序列不一定是周期序列，只有当数字频率是的函数时，才一定是周期序列。38中国矿业大学信息与电气工程学院二、序列运算1.乘法和加法

图1-15序列的加法和乘法

39中国矿业大学信息与电气工程学院2．移位及翻转图1-16序列的移位图图1-17序列的翻转

表示序列右移（延时）；表示序列左移（超前）。是以n=0的纵轴为对称轴左右翻转而得到的．m为正整数40中国矿业大学信息与电气工程学院3.尺度变换图1-18序列的尺度变换

表示序列每m点(或每隔m-1点)取一点，称为序列的压缩或抽取。表示把原序列两相邻值之间插入m-1个零值，称为序列的伸展或内插零值。41中国矿业大学信息与电气工程学院三、任意序列的单位脉冲序列表示任意序列可表示成单位脉冲序列的移位加权和。

即这种任意序列的表示方法具有普遍意义，在分析线性时不变系统中是一个很有用的公式。42中国矿业大学信息与电气工程学院图1-19用单位采样序列移位加权和表示序列

例如43中国矿业大学信息与电气工程学院1.3离散时间系统图1-21时域离散系统所谓系统，是将输入序列变换成输出序列的一种运算，以表示这种运算。44中国矿业大学信息与电气工程学院一、

线性系统若满足则此系统是线性系统。例1-3

判断y(n)＝T[x(n)]=5x(n)+3所表示的系统是否线性系统？解：因为T[ax1(n)+bx2(n)]=5[ax1(n)+bx2(n)]+3，而ay1(n)+by2(n)＝5ax1(n)+5bx2(n)+3(a+b)系统满足叠加性和均匀性。可见此系统不是线性系统。增量线性系统p1445中国矿业大学信息与电气工程学院系统的响应与输入信号施加于系统的时刻无关。或者说，系统的参数不随时间变化，即不管输入信号作用的时间先后，输出信号的形状均相同，仅是出现的时间不同。二、时不变系统（又称移不变系统）设对任意整数k，若

则称该系统为时不变系统46中国矿业大学信息与电气工程学院图1-22系统时不变说明的示意图

47中国矿业大学信息与电气工程学院判别所代表的系统是否是时不变系统。解因为因此该系统不是时不变系统。可见例1-548中国矿业大学信息与电气工程学院既满足叠加原理，又满足时不变条件的系统，被称为线性时不变系统。1.单位脉冲(冲激)响应即：单位脉冲响应是指输入为单位脉冲序列时的系统输出。三、线性时不变系统由可以确定任意输入时的系统输出，从而推出线性时不变离散时间系统一个非常重要的描述关系式。49中国矿业大学信息与电气工程学院2.任意输入时的系统输出因为系统是线性时不变的，所以称为离散卷积或线性卷积。任意序列都可以表示成单位脉冲序列的移位加权和50中国矿业大学信息与电气工程学院线性时不变系统卷积运算有明确的物理意义，就是在一般意义上描述了线性时不变离散时间系统对输入序列的作用或处理作用。51中国矿业大学信息与电气工程学院3.线性卷积的计算计算它们的卷积的步骤如下：

(1)折叠：先在哑变量坐标轴m上画出x(m)和h(m)，将h(m)以纵坐标为对称轴折叠成h(-m)。

(2)移位：将h(-m)移位n，得h(n-m)。当n为正数时，右移n；当n为负数时，左移n。

(3)相乘：将h(n-m)和x(m)的对应取样值相乘。

(4)相加：把所有的乘积累加起来，即得y(n)。52中国矿业大学信息与电气工程学院53例1-6设x(n)=R4(n)，h(n)=R4(n)，求y(n)=x(n)*h(n)。解：采用图解法。53中国矿业大学信息与电气工程学院例1-7

列表法表1-1例1-7列表法或写成：54中国矿业大学信息与电气工程学院

在Matlab中，卷积可通过调用函数y=conv(x,h)来实现。注意：两个长度分别为N和M的序列，线性卷积后的序列长度为N+M-1。MATLAB实现：n=[0:5-1];x=3*impseq(0,0,2)+2*impseq(1,0,2)+impseq(2,0,2);h=2*impseq(0,0,2)+impseq(1,0,2)+impseq(2,0,2);y=conv(x,h);stem(n,y,'.');ylabel('y(n)');axis([-1,5,0,8]);text(6.1,0.3,'n')图1-18例1-7的MATLAB实现运行结果为：y=6773155中国矿业大学信息与电气工程学院线性卷积服从交换律、结合律和分配律结合律分配律56中国矿业大学信息与电气工程学院-----输出的变化不领先于输入的变化的系统。即n=n0的输出y(n0)只取决于n≤n0的输入。在数学上因果系统满足如下方程：y(n)=f[x(n)，x(n-1)，x(n-2)，……]一个线性时不变系统为因果系统的充分必要条件:1.因果系统四、系统的因果性和稳定性57中国矿业大学信息与电气工程学院非因果系统的延时实现在实际中，利用数字信号处理系统作非实时处理时，可以用具有很大延时的因果系统去逼近非因果系统。58中国矿业大学信息与电气工程学院-----指对于每个有界输入x(n)，都产生有界输出y(n)的系统。即如果|x(n)|≤M(M为正常数)，有|y(n)|<+∞，则该系统被称为稳定系统。一个线性时不变系统稳定的充分和必要条件是其单位脉冲响应h(n)绝对可和，即2.稳定系统59中国矿业大学信息与电气工程学院一个线性时不变系统为因果、稳定系统的充分必要条件：60中国矿业大学信息与电气工程学院设线性时不变系统的单位取样响应，式中a是实常数，试分析该系统的因果稳定性。例1-8解由于n<0时，，系统是因果系统。因此系统稳定的条件是:时，61中国矿业大学信息与电气工程学院判别系统的因果稳定性。解因果性：因为只与的当前值有关，而与，……等未来值无关，故系统是因果的。

稳定性：当时，有，由于是有界的，所以也是有界的，故系统是稳定的。例1-962中国矿业大学信息与电气工程学院1.4

离散时间系统的时域描述––––差分方程一、常系数线性差分方程的一般表达式其中ak，br都是常数。或者：63中国矿业大学信息与电气工程学院该式说明，系统在某时刻n的输出值y(n)不仅与该时刻的输入x(n)、过去时刻的输入x(n-1)，x(n-2)等有关，还与该时刻以前的输出值y(n-1)，y(n-2)等有关。说明1)差分方程的阶数是用方程项中的取值最大与最小之差确定的。2)64中国矿业大学信息与电气工程学院差分方程的特点采用差分方程描述系统简便、直观、易于计算机实现。2.容易得到系统的运算结构。3.便于求解系统的瞬态响应。但差分方程不能直接反应系统的频率特性和稳定性等。实际上用来描述系统多数还是由系统函数。65中国矿业大学信息与电气工程学院常系数差分方程的求解方法有迭代法，时域经典法，卷积法和变换域法。

时域经典法类似于解微分方程，过程繁琐，应用很少，但物理概念比较清楚。

迭代法(递推法)比较简单，且适合于计算机求解，但不能直接给出一个完整的解析式作为解答（也称闭合形式解答）。

卷积法适用于系统起始状态为零时的求解。

变换域方法类似于连续时间系统的拉普拉斯变换，这里采用Z变换法来求解差分方程，这在实际使用上是最简单有效的方法。二、差分方程的求解66中国矿业大学信息与电气工程学院设系统用差分方程y(n)=ay(n-1)+x(n)描述，输入序列x(n)=δ(n)，求输出序列y(n)。解：该系统差分方程是一阶差分方程，需要一个初始条件。(1)设初始条件y(-1)=0y(n)=ay(n-1)+x(n)n=0时，y(0)=ay(-1)+δ(0)=1n=1时，y(1)=ay(0)+δ(1)=an=2时，y(2)=ay(1)+δ(2)=a2…n=n时，y(n)=any(n)=anu(n)以迭代法为例例1-10

67中国矿业大学信息与电气工程学院n=0时，y(0)=ay(-1)+δ(0)=1+an=1时，y(1)=ay(0)+δ(1)=(1+a)an=2时，y(2)=ay(1)+δ(2)=(1+a)a2…n=n时，y(n)=(1+a)any(n)=(1+a)anu(n)(2)设初始条件y(-1)=168中国矿业大学信息与电气工程学院

y(n-1)=a-1[y(n)-δ(n)]y(n)=a-1[y(n+1)-δ(n+1)]

y(0)=a-1[y(1)-δ(1)]=0

y(-1)=a-1[y(0)-δ(0)]=-a-1

y(-2)=a-1[y(-1)-δ(-1)]=-a-2…

y(n)=-ay(n-1)=-a

n得到

h(n)=y(n)=-anu(-n-1)(3)设初始条件69中国矿业大学信息与电气工程学院（1）一个常系数线性差分方程不一定代表一个因果系统。（2）一个常系数线性差分方程，如果没有附加的起始条件，不能唯一的确定一个系统的输入