第十一章-曲线积分及曲面积分习-1

教学要求典型例题第十一章曲线积分与曲面积分1.理解两类曲线积分的概念,了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系.2.会计算两类曲线积分.一、教学要求3.掌握格林(Green)公式,会使用平面曲线积分与路径无关的条件.4.了解两类曲面积分的概念及高斯Gauss)、斯托克斯(Stokes)公式,并会计算两类曲面积分.1.基本方法曲线积分第一类(对弧长)第二类(对坐标)(1)统一积分变量转化定积分用参数方程用直角坐标方程用极坐标方程(2)确定积分上下限第一类:下小上大第二类:下始上终(一)曲线积分的计算法(1)利用积分与路径无关的等价条件;(2)利用格林公式(注意加辅助线的技巧);(3)利用斯托克斯公式;(4)利用两类曲线积分的联系公式*.2.基本技巧1.基本方法曲面积分第一类(对面积)第二类(对坐标)转化二重积分(1)统一积分变量—代入曲面方程(2)积分元素投影第一类:始终非负第二类:有向投影(3)确定二重积分域—把曲面积分域投影到相关坐标面(二)曲线面积分的计算法P,Q,R以及它们的一阶偏导数不连续的情况下,考虑通过投影化为二重积分处理.2.基本技巧(1)利用对称性简化计算(2)利用高斯公式注意公式使用条件添加辅助面的技巧(辅助面一般取平行坐标面的平面)(3)两类曲面积分的转化3.典型例题P,Q,R具有一阶连续偏导数,用高斯公式.

解用参数方程,则L:P246总习题十一3(1)例1计算其中L为圆周x2+y2=ax.

(0t2).020xya

t

=2a2.二、典型例题

解2利用极坐标方程L:

=acos,

P246总习题十一3(1)例1计算其中L为圆周x2+y2=ax.

0xyacos=a2=2a2.a

例2

计算其中为曲线解因的方程中的x,y,z的地位完全对称,利用轮换对称性,有L关于xOz轴平面对称,

y是L上关于y的奇函数0或a解1xy0L例3计算其中L是沿逆时针方向以原点为中心,a为半径的上半圆周.x=acos,y=asin(0

),Γ的参数式方程为:0[a2

cos2

−asin

)(−asin

)+(a2

sin2

−acos

)acos]dB(a,0)解2L+ABxy0DABL例3计算其中L是沿逆时针方向以原点为中心,a为半径的上半圆周.A(a,0)(x2y)dx+(y

2x)dyaax2

dx解3由(x2y)y=1知曲线积分与路径无关,(x2y)dx+(y

2x)dyBAaax2

dx利用格林公式.添加辅助线AB如图,PQ=(y2x)y,所以例4计算曲线积分,其中且取正向.Oxy当x2+y20时

,解L在D内作圆周l:x2+y2=1,取逆时针方向,l=2.由格林公式,有D=021D1例4计算曲线积分,其中且取正向.Oxy令x=2cos

,解Ly=sin,此定积分计算很复杂.02,21L闭曲线所围成的区域D内包含奇点O(0,0),不能直接用格林公式.构造适当的闭曲线l挖去奇点.要求l上曲线积分易算.解z=cos+sin,x=cos,(:02

),则02[cos

(cos

+sin)+cos

cos取L的参数方程:

y=sin,02(sin

+cos)]d2011年数一例5设L是柱面x2+y2=1与平面z=x+y的交线,从z轴正方向往z轴负向看去为逆时针方向,则曲线积分=________.(sin

)0(sin

)]d=

.解P246总习题十一3(6)例6计算其中由平面y=z截球面x2+y2+z2=1所得,从z轴正方向看沿逆时针方向.在上有x2+2y2=1,故(0t2

).x=cost02例7

计算曲面积分其中,解:x2+y2+z2=R2

取外侧.=4.利用高斯公式,有解2dxdyx2+y2R2

d=4.zdxdyx2+y2R2

利用对称性,有解由高斯公式有P246总习题十一4(3)例8计算曲面积分其中

为半球面的上侧.补1={(x,y,z)|z=0,

x2+y2R2

},取下侧,+1构成封闭曲面,记所围区域为,1xdydz+ydzdx+zdxdy3dxdydzxdydz+ydzdx+zdxdy=2

R3

.例9计算曲面积分其中为锥面z=(0zh)的外侧.解作的辅助面1={(x,y,z)|z=h(h>0),

x2+y2h2

},取上侧,+1构成封闭曲面,记所围区域为,利用高斯公式,有(y2z)dydz+(z2x)dzdx+(x2y)dxdy0dxdydzx2+y2h2

0(x2y)dxdyh002

d2P246总习题十一4(2)(x2y)dxdyx2+y2h2

x2dxdy解例10计算曲面积分其中为锥面z=被平面z=1,z=2所截部分的外侧.12作的辅助面1:

z=2,

x2+y24,取上侧,2:z=1,

x2+y2

1,取下侧,+1+2构成封闭曲面,记所围区域为,利用高斯公式,有ydydzxdzdx+z2dxdy+1+21+22zdxdydz4dxdydxdyzdzx2+y24

dxdy12x2+y21

dxdyzz2dz15解2例10计算曲面积分其中为锥面z=被平面z=1,z=2所截部分的外侧.(yzx+z2]dxdyxzy=

(x2+y2)dxdy1x2+y24

题设中的侧与(zx,zy,1)相反取“”号.其中C曲线是从z轴正向看,C的方向是为顺时针的.解例11

计算曲线积分Cz=2cos+sin,x=cos,(:20),则02[(2cos)(sin)+(2+2cos

sin)cos[1+2(sin

+cos)4cos2]d取C的参数方程=2

.

y=sin,02+(cos

sin

)(sin+cos)]d=2

1997年数一解例12计算曲面积分其中S是由曲面x2+y2=R2与两平面z=R,z=R(R>0)所围成立体表面的外侧.1996数1xy

z0RRS1S2S3+x2+y2r2x2+y2r2平面S1:z=R(上侧),

S2:z=R(下侧),S3:

x2+y2=R2(外侧).

解xy

z0

rrS1S2S3=8r2例12计算曲面积分其中S是由曲面x2+y2=R2与两平面z=R,z=R(R>0)所围成立体表面的外侧.其中是以原点为中心,边长为

a

的正立方体的整个表面的外侧.解

利用对称性.原式的顶部

取上侧的底部

取下侧例13

计算=3a3.1Σ2解例14计算其中为球面x2+y2+z2=a2被平面直线x+y+z=0所截的圆周.

于是因的方程中的x,y,z的地位完全对称,所以解P246总习题十一3(5)例15计算曲线积分其中L为上半圆周(xa)2+y2=a2(y0),沿逆时针方向.xy0LAD(exsiny2y)dx+(excosy2)dy利用格林公式.0dx(excosyexcosy+2)dxdy=a2.

dxdy注: