2015年海南大学数学竞赛辅导

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数列极限的定义例证例证函数极限定义：另两种情形:1、定义：左极限右极限例证1.夹逼准则极限存在准则和两个重要极限2.单调有界准则单调增加单调减少单调数列几何解释:(1)(2)两个重要极限不能滥用等价无穷小代换.切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换，对于代数和中各无穷小不能分别代换.注意例解例解解错例1例2证(舍去)例3、求极限

【解】上连续，故因在存在，且，所以，二、请问何值时下式成立

【解】因此要想极限存在，分子必时使用洛必达法则得到cba,,注意到左边得极限中，无论为何值总有分母趋于零，，当须为无穷小量，于是可知必有由上式可知：当时，若，则此极限，则存在，且其值为0；若综上所述，得到如下结论：或。定义:最大最小值定理定理(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.注意:1.若区间是开区间,定理不一定成立;2.若区间内有间断点,定理不一定成立.定义:介值定理推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值与最小值之间的任何值.例1证由零点定理,例2证由零点定理,定义导数定义其它形式即★2.右导数:单侧导数1.左导数:★例解四、求数列中的最小项。【解】因为所给数列是函数当x分别取时的数列。又且令，容易看出：当时，当时，。所以，有唯一极小值。而，因此数列的最小项。。例解例解定义:隐函数的显化问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?隐函数求导法则:用复合函数求导法则直接对方程两边求导.隐函数求导例解解得例如消去参数问题:消参困难或无法消参如何求导?参数方程所确定的函数导数由复合函数及反函数的求导法则得例如,罗尔定理例1证由介值定理即为方程的小于1的正实根.矛盾,拉格朗日中值定理柯西中值定理例4证分析:结论可变形为泰勒(Taylor)中值定理麦克劳林(Maclaurin)公式常用函数的麦克劳林公式定义定积分的定义被积函数被积表达式积分变量记为积分上限积分下限积分和证明利用对数的性质得极限运算与对数运算换序得故例将和式极限：表示成定积分.原式定积分中值定理积分中值公式解由积分中值定理知有使证可变上下限积分证证令例6求

解由图形可知三、计算定积分。【解】作变换，则

，

所以，。例4设求解例8计算广义积分解瑕点不通过被积函数的原函数判定广义积分收敛性的判定方法.由定理1，对于非负函数的无穷限的广义积分有以下比较收敛原理．广义积分的审敛法例２解所给广义积分收敛．

旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．圆柱圆锥圆台旋转体体积xyo旋转体的体积为二、平行截面面积为已知的立体的体积如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.立体体积功水压力引力解设木板对铁钉的阻力为第一次锤击时所作的功为例3用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次锤击时将铁钉击入1厘米，若每次锤击所作的功相等，问第次锤击时又将铁钉击入多少？设

次击入的总深度为厘米次锤击所作的总功为依题意知，每次锤击所作的功相等．次击入的总深度为第次击入的深度为一阶线性微分方程上方程称为齐次的．上方程称为非齐次的.齐次方程的通解为（使用分离变量法）解法非齐次微分方程的通解为（常数变易法）５、二阶常系数齐次线性方程解法n阶常系数线性微分方程二阶常系数齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程解法由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法.特征方程为特征方程为特征方程的根通解中的对应项５、高阶常系数齐次线性方程解法二阶常系数非齐次线性方程对应齐次方程通解结构常见类型难点：如何求特解？方法：待定系数法.一、型利用欧拉公式注意上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程.五、求【解】当时，收敛；。考虑幂级数,其收敛半径为1，收敛区间为时，当发散，因此其收敛域为。设其和函数为,则，于是，故，。六、设，其中【解】上式两端对求导得（*）为连续函数，求。原方程可写为，

求导得两端再对即这是一个二阶线性常系数非齐次方程，，由（*）式知特征方程为，齐次通解为由原方程知设非齐次方程特解为，代入得则非齐次方程通解为由初始条件和可知，七、在过点和的曲线族中，求一条曲线L，使沿该曲线从o到A的积分的值最小。【解】；令，得;且是在(0,+∞)内的唯一极值点，故又，则在处取极小值，时,取最小值，则所求曲线为八、设f(x)在[−1,1]上有二阶导数，且，证明：，x∈[−1,1]。。1．2.f(x)=x在[−1,1]上有且只有一个实根。【证明】1.由泰勒公式，两式相减并整理得于是,由于，因此，。2.令。则，。但F(x)在[−1,1]上连续,由介值定理知,F(x)在[−1,1]上至少有一个零点。又由1可知，故这样F(x)在[−1,1]上有且只有一个零点，即在[−1,1]上严格单调，从而至多有一个零点。f(x)=x在[−1,1]上有且只有一个实根。九、设在为连续函数,则【解】令则，则所以。即

c为常数。而，特别地,