期权组合的盈亏分布与期权定价的理论

第十三章期权的定价

第一节

期权价格的特性

一、

内在价值和时间价值期权价格等于期权的内在价值加上时间价值。（一）期权的内在价值期权的内在价值（IntrinsicValue）是指多方行使期权时可以获得的收益的现值。欧式看涨期权的内在价值为(ST-X)的现值。无收益资产欧式看涨期权的内在价值等于S-Xe-r(T-t),而有收益资产欧式看涨期权的内在价值等于S-D-Xe-r(T-t)。无收益资产美式看涨期权价格等于欧式看涨期权价格,其内在价值也就等于S-Xe-r(T-t)。有收益资产美式看涨期权的内在价值也等于S-D-Xe-r(T-t)。无收益资产欧式看跌期权的内在价值为Xe-r(T-t)-S，有收益资产欧式看跌期权的内在价值为Xe-r(T-t)+D-S。无收益资产美式期权的内在价值等于X-S，有收益资产美式期权的内在价值等于X+D-S。当然，当标的资产市价低于协议价格时，期权多方是不会行使期权的，因此期权的内在价值应大于等于0。（二）期权的时间价值期权的时间价值（TimeValue）是指在期权有效期内标的资产价格波动为期权持有者带来收益的可能性所隐含的价值。显然，标的资产价格的波动率越高，期权的时间价值就越大。此外，期权的时间价值还受期权内在价值的影响。以无收益资产看涨期权为例，当S=Xe-r(T-t)时，期权的时间价值最大。当S-Xe-r(T-t)的绝对值增大时，期权的时间价值是递减的，如图13.1所示。二、

期权价格的影响因素（一）标的资产的市场价格与期权的协议价格（二）期权的有效期

（三）标的资产价格的波动率（四）无风险利率（五）标的资产的收益三、期权价格的上、下限（一）期权价格的上限1．看涨期权价格的上限在任何情况下，期权的价值都不会超过标的资产的价格。因此，对于对于美式和欧式看跌期权来说，标的资产价格都是看涨期权价格的上限：

（13.1）其中，c代表欧式看涨期权价格，C代表美式看涨期权价格，S代表标的资产价格。2．看跌期权价格的上限由于美式看跌期权多头执行期权的最高价值为协议价格（X），因此，美式看跌期权价格（P）的上限为X：

（13.2）

由于欧式看跌期权只能在到期日（T时刻）执行，在T时刻，其最高价值为X，因此，欧式看跌期权价格（p）不能超过X的现值：

（13.3）其中，r代表T时刻到期的无风险利率，t代表现在时刻。（二）期权价格的下限1．欧式看涨期权价格的下限（1）无收益资产欧式看涨期权价格的下限为了推导出期权价格下限，我们考虑如下两个组合：组合A：一份欧式看涨期权加上金额为的现金；组合B：一单位标的资产T时刻，组合A的价值为：

而组合B的价值为ST。由于，因此，在t时刻组合A的价值也应大于等于组合B，即:c+Xe-r(T-t)≥S

所以c≥S-Xe-r(T-t)

由于期权的价值一定为正，因此无收益资产欧式看涨期权价格下限为（13.4）（2）有收益资产欧式看涨期权价格的下限我们只要将上述组合A的现金改为+D，并经过类似的推导，就可得出有收益资产欧式看涨期权价格的下限为：

（13.5）

2．欧式看跌期权价格的下限（1）无收益资产欧式看跌期权价格的下限考虑以下两种组合：组合C：一份欧式看跌期权加上一单位标的资产组合D：金额为的现金在T时刻，组合C的价值为：max（ST，X）假定组合D的现金以无风险利率投资，则在T时刻组合D的价值为X。由于组合C的价值在T时刻大于等于组合D，因此组合C的价值在t时刻也应大于等于组合D，即：

由于期权价价值一定为为正，因此此无收益资资产欧式看看跌期权价价格下限为为：（13.6）（2）有收收益资产欧欧式看跌期期权价格的的下限我们只要将将上述组合合D的现金金改为+D就可得到有有收益资产产欧式看跌跌期权价格格的下限为为：（13.7）从以上分析析可以看出出，欧式期期权的下限限实际上就就是其内在在价值。四、提前执执行美式期期权的合理理性（一）提前前执行无收收益资产美美式期权的的合理性1．看涨期期权由于现金会会产生收益益，而提前前执行看涨涨期权得到到的标的资资产无收益益，再加上上美式期权权的时间价价值总是为为正的，因因此我们可可以直观地地判断提前前执行是不不明智的。。为了精确地地推导这个个结论，我我们考虑如如下两个组组合：组合A：一一份美式看看涨期权加加上金额为为的的现金组合B：一一单位标的的资产T时刻组合合A的价值值为max（ST，X），而而组合B的的价值为ST，可见组合合A在T时时刻的价值值一定大于于等于组合合B。即如如果不提前前执行，组组合A的价价值一定大大于等于组组合B。若在时时刻提提前执行，，则此时组组合A的价价值为：，而组合B的价值为为。。由于因因此即：若提前前执行美式式期权，组组合A的价价值将小于于组合B。。比较两种情情况可得：：提前执行行无收益资资产美式看看涨期权是是不明智的的。因此，，同一种无无收益标的的资产的美美式看涨期期权和欧式式看涨期权权的价值是是相同的，，即：C=c（（13.8）根据（13.4），，我们可以以得到无收收益资产美美式看涨期期权价格的的下限：（13.9）2．看跌期期权为考察提前前执行无收收益资产美美式看跌期期权是否合合理，我们们考察如下下两种组合合：组合A：一一份美式看看跌期权加加上一单位位标的资产产组合B：金金额为的的现金若不提前执执行，则到到T时刻，，组合A的的价值为max（X，ST），组合B的价值为为X，组合合A的价值值大于等于于组合B。。若在t时刻刻提前执行行，则组合合A的价值值为X，组组合B的价价值为Xe-(T-ττ)，因此组合合A的价值值也高于组组合B。故：是否提提前执行无无收益资产产的美式看看跌期权，，主要取决决于期权的的实值额（（X-S））、无风险险利率水平平等因素。。一般来说说，只有当当S相对于于X来说较较低，或者者r较高时时，提前执执行无收益益资产美式式看跌期权权才可能是是有利的。。由于美式期期权可提前前执行，因因此其下限限比（13.6）更更严格：（13.10）（二）提提前执行有有收益资产产美式期权权的合理性性1．看涨期期权由于在无收收益的情况况下，不应应提前执行行美式看涨涨期权，据据此可知：：在有收益益情况下，，只有在除除权前的瞬瞬时时刻提提前执行美美式看涨期期权方有可可能是最优优的。我们先来考考察在最后后一个除权权日（tn）提前执行行的条件。。如果在tn时刻提前执执行，则期期权多方获获得Sn-X的收益益。若不提提前执行，，则标的资资产价格将将由于除权权降到Sn-Dn。根据式（13.5）），在tn时刻期权的的价值（Cn）因此，如果果：即：（13.11）则在tn提前执行是是不明智的的。相反，如果果（13.12）则在tn提前执行有有可能是合合理的。实实际上，只只有当tn时刻标的资资产价格足足够大时，，提前执行行美式看涨涨期权才是是合理的。。同样，在ti时刻不能提提前执行有有收益资产产的美式看看涨期权条条件是：（13.13）由于存在提提前执行更更有利的可可能性，有有收益资产产的美式看看涨期权价价值大于等等于欧式看看涨期权，，其下限为为：（13.14）2．看跌期期权由于提前执执行有收益益资产的美美式期权意意味着自己己放弃收益益权，因此此收益使美美式看跌期期权提前执执行的可能能性变小，，但还不能能排除提前前执行的可可能性。通过同样的的分析，我我们可以得得出美式看看跌期权不不能提前执执行的条件件是：由于美式看看跌期权有有提前执行行的可能性性，因此其其下限为：：（13.15）五、期权价价格曲线的的形状（一）看涨涨期权价格格曲线无收益资产产看涨期权权价格曲线线如图13-2所示示。有收益资产产看涨期权权价格曲线线与图13.2类似，只是是把Xe-r(T-t)换成Xe-r(T-t)+D。（二）看跌跌期权价格格曲线1．欧式看看跌期权价价格曲线无收益资产产欧式看跌跌期权价格格曲线如图图13-3所示。图13.3无收收益资产欧欧式看跌期期权价格曲曲线有收益资产产期权价格格曲线与图图13.3相似，只只是把换为2．美式看看跌期权价价格曲线无收益资产产美式看跌跌期权价格格曲线如图图13-4所示。有收益美式式看跌期权权价格曲线线与图13.4相似似，只是把把X换成D+X。六、看涨期期权与看跌跌期权之间间的平价关关系（一）欧式式看涨期权权与看跌期期权之间的的平价关系系1．无收益益资产的欧欧式期权考虑如下两两个组合：：组合A：一一份欧式看看涨期权加加上金额为为的的现金组合B：一一份有效期期和协议价价格与看涨涨期权相同同的欧式看看跌期权加加上一单位位标的资产产在期权到期期时，两个个组合的价价值均为max(ST,X)。由由于欧式期期权不能提提前执行，，因此两组组合在时刻刻t必须具具有相等的的价值，即即：（13.16）这就是无收收益资产欧欧式看涨期期权与看跌跌期权之间间的平价关关系。它表表明欧式看看涨期权的的价值可根根据相同协协议价格和和到期日的的欧式看跌跌期权的价价值推导出出来，反之之亦然。如果式（13.16）不成立立，则存在在无风险套套利机会。。套利活动动将最终促促使式（13.16）成立。。2．有收益益资产欧式式期权在标的资产产有收益的的情况下，，我们只要要把前面的的组合A中中的现金改改为+D，我我们就可推推导有收益益资产欧式式看涨期权权和看跌期期权的平价价关系：（13.17）（二）美式式看涨期权权和看跌期期权之间的的关系1．无收益益资产美式式期权。由于P>p,从式（（13.16）中我我们可得：：对于无收益益资产看涨涨期权来说说，由于c=C，因因此：（13.18）为了推出C和P更严密的关关系，我们们考虑以下下两个组合合：组合A：一一份欧式看看涨期权加加上金额为为X的现金金组合B：一一份美式看看跌期权加加上一单位位标的资产产如果美式期期权没有提提前执行，，则在T时时刻组合B的价值为为max(ST,X)，而而此时组合合A的价值值为。因此此组合A的的价值大于于组合B。。如果美式期期权在τ时刻提前执执行，则在在τ时刻，组合合B的价值值为X，而而此时组合合A的价值值大于等于于X。因此此组合A的的价值也大大于组合B。这就是说，，无论美式式组合是否否提前执行行，组合A的价值都都高于组合合B，因此此在t时刻刻，组合A的价值也也应高于组组合B，即即：C+X>P+S由于c=C，因此，，C+X>P+SC-P>S-X结合式（13.18），我们们可得：（13.19）由于美式期期权可能提提前执行，，因此我们们得不到美美式看涨期期权和看跌跌期权的精精确平价关关系，但我我们可以得得出结论：：无收益美美式期权必必须符合式式（13.19）的的不等式。。2．有收益益资产美式式期权同样，我们们只要把组组合A的现现金改为D+X，就就可得到有有收益资产产美式期权权必须遵守守的不等式式：S-D-XC-PS-D-Xe-r（T-t）（13.20）第二二节节期期权权组组合合的的盈盈亏亏分分布布期权交易的精精妙之处在于于可以通过不不同的期权品品种构成众多多具有不同盈盈亏分布特征征的组合。投资者可以根根据各自对未未来标的资产产现货价格概概率分布的预预期，以及各各自的风险--收益偏好，选选择最适合自自己的期权组组合。在以下的分析析中同组合中中的期权标的的资产均相同同。一、标的资产产与期权组合合通过组建标的的资产与各种种期权头寸的的组合，我们们可以得到与与各种期权头头寸本身的盈盈亏图形状相相似但位置不不同的盈亏图图，如图13.5表示。。图13.5（（a）反映了了标的资产多多头与看涨期期权空头组合合的盈亏图，，该组合称为为有担保的看看涨期权（CoveredCall）空头。。标的资产空空头与看涨期期权多头组合合的盈亏图，，与有担保的的看涨期权空空头刚好相反反。图13.5（b）反映了标的的资产多头与与看跌期权多多头组合的盈盈亏图，标的的资产空头与与看跌期权空空头组合的盈盈亏图刚好相相反。从图13.5可以看出,组合的盈亏曲曲线可以直接接由构成这个个组合的各种种资产的盈亏亏曲线叠加而而来。二、差价组合差价（Spreads））组合是指持持有相同期限限、不同协议议价格的两个个或多个同种种期权头寸组组合（即同是是看涨期权，，或者同是看看跌期权），，其主要类型型有牛市差价价组合、熊市市差价组合、、蝶式差价组组合等。1．牛市差价（BullSpreads）组合。。牛市差价组合合是由一份看看涨期权多头头与一份同一一期限较高协协议价格的看看涨期权空头头组成。由于于协议价格越越高，期权价价格越低，因因此构建这个个组合需要初初始投资。牛市差价组合合牛市差价组合合在不同情况况下的盈亏可可用表13.2表示。表13.2牛市差价期权权的盈亏状况况表13.2结果可用图13.6表示，从图可可看出，到期期日现货价格格升高对组合合持有者较有有利，故称牛牛市差价组合合。标的资产价格范围

看涨期权多头的盈亏

看涨期权空头的盈亏

总盈亏

STX2ST―X1―c1X2―ST+c2X2―X1+c2―c1X1<ST<X2ST―X1―c1c2ST―X1+c2―c1STX1-c1c2c2―c1

通过比较标的的资产现价与与协议价格的的关系，我们们可以把牛市市差价期权分分为三类：两虚值期权组组合，指两个个协议价格均均比现货价格格高；多头实值期权权加空头虚值值期权组合，，指多头期权权的协议价格格比现货价格格低，而空头头期权的协议议价格比现货货价格高；两实值期权组组合，指两个个协议价格均均比现货价格格低。此外，一份看看跌期权多头头与一份同一一期限、较高高协议价格的的看跌期权空空头组合也是是牛市差价组组合，如图13.7所示示。比较看涨期权权的牛市差价价与看跌期权权的牛市差价价组合可以看看，前者期初初现金流为负负，后者为正正，但前者的的最终收益可可能大于后者者。2．熊市差价组合合熊市差价（BearSpreads）组合刚好跟跟牛市差价组组合相反，它它可以由一份份看涨期权多多头和一份相相同期限、协协议价格较低低的看涨期权权空头组成（看涨期权的熊市差价组合和看跌期权的熊市差价组合的差别在于，前者在期初有正的现金流，后者在期初则有负的现金流，但后者的最终收益可能大于前者。通过比较牛市和熊市差价组合可以看出，对于同类期权而言，凡“买低卖高”的即为牛市差价策略，而“买高卖低”的即为熊市差价策略，这里的“低”和“高”是指协议价格。两者的图形刚好与X轴对称。3．蝶式差价组合合蝶式差价（ButterflySpreads）组合是是由四份具有有相同期限、、不同协议价价格的同种期期权头寸组成成。若X1<X2<X3，且X2=（X1+X3）/2，则蝶蝶式差价组合合有如下四种种：看涨期权的正正向蝶式差价价组合，它由由协议价格分分别为X1和X3的看涨期权多多头和两份协协议价格为X2的看涨期权空空头组成，其其盈亏分布图图如图13.10所示；；看涨期权的反反向蝶式差价价组合，它由由协议价格分分别为X1和X3的看涨期权空空头和两份协协议价格为X2的看涨期权多多头组成，其其盈亏图刚好好与图13.10相反反；看跌期权的正正向蝶式差价价组合，它由由协议价格分分别为X1和X3的看跌期权多多头和两份协协议价格为X2的看跌期权空空头组成，其其盈亏图如图图13.11所示。看跌期权的反反向蝶式差价价组合，它由由协议价格分分别为X1和X3的看跌期权空空头和两份协协议价格为X2的看跌期权多多头组成，其其盈亏图与图图13.11刚好相反。。图13.10看涨期权权的正向蝶式式差价组合图图13.11看跌期期权的正向蝶蝶式差价组合合三、差期组合差期（CalendarSpreads）组组合是由两份份相同协议价价格、不同期期限的同种期期权的不同头头寸组成的组组合。它有四四种类型：一份看涨期权权多头与一份份期限较短的的看涨期权空空头的组合，，称看涨期权权的正向差期期组合。一份看涨期权权多头与一份份期限较长的的看涨期权空空头的组合，，称看涨期权权的反向差期期组合。一份看跌期权权多头与一份份期限较短的的看跌期权空空头的组合，，称看跌期权权的正向差期期组合。一份看跌期权权多头与一份份期限较长的的看跌期权空空头的组合，，称看跌期权权的反向差期期组合。看涨期权的正正向差期组合合的盈亏分布布情况见表13.3。表13.3看看涨期权的正正向差期组合合的盈亏状况况根据表13.3，我们可以画画出看涨期权权正向差期组组合的盈亏分分布图如图13.12所示。ST的范围

看涨期权多头的盈亏

看涨期权空头的盈亏

总盈亏

ST趋近ST―X―c1X―ST+c2趋近c2―c1ST=Xc1T―c1c2c2―c1+c1TST0趋近-c1c2

趋近c2―c1

用同样的分析析法我们可以以画出看跌期期权正向差期期组合的盈亏亏分布图如图图13.13所示。看跌期期权反向差期期组合的盈亏亏分布图正好好与图13.13相反，也从略略。四、对角组合合对角组合（DiagonalSpreads）是指由两两份协议价格格不同（X1和X2，且X1<X2）、期限也不不同（T和T*，且T<T*）的同种期权权的不同头寸寸组成。它有有八种类型：：1．看涨期权的（（X1，T*）多头加（X2，T）空头组组合。表13.4看看涨期权权的正向差价价和差期组合合根据表13.4，我们可可以画出看涨涨期权的正向向差价和差期期组合的盈亏亏分布图如图图13.14所示。2.看涨期权权的（X1，T*）空头加（X2，T）多头组合。。其盈亏图与与图13.14刚好相反ST的范围(X1,T*)多头的盈亏(X2,T)空头的盈亏

总盈亏

ST趋近于ST―X1―c1X2―ST+c2趋近X2―X1+c2－c1ST=X2X2―X1+c1T―c1c2X2―X1+c2―c1+c1TST0趋近-c1c2

趋近c2―c1

3.看涨期权的（（X2，T*）多头加（X1，T）空头组合。。4.看涨涨期权的（X2，T*）空头头加（X1，T）多头组组合，其盈亏亏分布图与图图13.15刚好相反。。5.看跌期权的（（X1，T*）多头头加（X2，T）空头组组合，其盈亏亏图如图13.16所示示。6.看跌期权的（（X1，T*）空头头加（X2，T）多头组组合，其盈亏亏图与图13.16刚好好相反。7.看跌期权的（（X2，T*）多头头加（X1，T）空头组组合，其盈亏亏图如图13.17所示示。8.看跌期权的（（X2，T*）空头加（X1，T）多头组合，，其盈亏图与与图13.17刚好相反。五、混合期权权1．跨式组合（Straddle）：由由具有相同协协议价格、相相同期限的一一份看涨期权权和一份看跌跌期权组成。。跨式组合分分为两种：底底部跨式组合合和顶部跨式式组合。前者者由两份多头头组成，后者者由两份空头头组成。底部跨式组合合的盈亏图如如图13.18所示，顶顶部跨式组合合的盈亏图与与图13.18刚好相反反。2．条式组合和带带式组合条式组合（Strip））由具有相同同协议价格、、相同期限的的一份看涨期期权和两份看看跌期权组成成。条式组合合也分底部和和顶部两种，，前者由多头头构成，后者者由空头构成成。底部条式组合合的盈亏图如如图13.19所示，顶顶部条式组合合的盈亏图刚刚好相反。带式组合（Strap））由具有相同同协议价格、、相同期限的的资产的两份份看涨期权和和一份看跌期期权组成，带带式组合也分分底部和预部部两种，前者者由多头构成成，后者由空空头构成。底部带式组合合的盈亏图如如图13.20所示，顶顶部带式组合合的盈亏图刚刚好相反。3．宽跨式组合。。宽跨式组合（（Strangle）由由相同到期日日但协议价格格不同的一份份看涨期权和和一份看跌期期权组成，其其中看涨期权权的协议价格格高于看跌期期权。宽跨式式组合也分底底部和顶部，，前者由多头头组成，后者者由空头组成成。前者的盈盈亏图如图13.21所所示。后者的的盈亏图刚好好相反。第三节期权定价的理理论基础一、弱式效率率市场假说与与马尔可夫过过程1965年，，法玛（EFFama）提提出了著名的的效率市场假假说。该假说说认为，投资资者都力图利利用可获得的的信息获得更更高的报酬；；证券价格对对新的市场信信息的反应是是迅速而准确确的，证券价价格能完全反反映全部信息息；市场竞争争使证券价格格从一个均衡衡水平过渡到到另一个均衡衡水平，而与与新信息相应应的价格变动动是相互独立立的，或称随随机的，因此此效率市场假假说又称随机机漫步理论。。效率市场假说说可分为三类类：弱式、半半强式和强式式。弱式效率市场场假说认为，，证券价格变变动的历史不不包含任何对对预测证券价价格未来变动动有用的信息息，也就是说说不能通过技技术分析获得得超过平均收收益率的收益益。半强式效率市市场假说认为为，证券价格格会迅速、准准确地根据可可获得的所有有公开信息调调整，因此以以往的价格格和成交量等等技术面信息息以及已公布布的基本面信信息都无助于于挑选出价格格被高估或低低估的证券。。强式效率市场场假说认为，，不仅是已公公布的信息，，而且是可能能获得的有关关信息都已反反映在股价中中，因此任何何信息（包括括“内幕信息息”）对挑选选证券都没有有用处。效率市场假说说提出后，许许多学者运用用各种数据对对此进行了实实证分析。结结果发现，发发达国家的证证券市场大体体符合弱式效效率市场假说说。弱式效率市场场假说可用马马尔可夫随机机过程（MarkovStochasticProcess）来来表述。所谓随机过程程是指某变量量的值以某种种不确定的方方式随时间变变化的过程。。根据时间是是否连续，随随机过程可分分为离散时间间随机过程和和连续时间随随机过程，前前者是指变量量只能在某些些分离的时间间点上变化的的过程，后者者指变量可以以在连续的时时间段变化的的过程。根据据变量取值范范围是否连续续划分，随机机过程可分为为离散变量随随机过程和连连续变量随机机过程，前者者指变量只能能取某些离散散值，而后者者指变量可以以在某一范围围内取任意值值。马尔可夫过程程是一种特殊殊类型的随机机过程。在这这个过程中，，只有变量的的当前值才与与未来的预测测有关，变量量过去的历史史和变量从过过去到现在的的演变方式与与未来的预测测无关。（一）标准布布朗运动设代代表一个个小的时间间间隔长度，代代表变量z在在时间内的变化化，遵循标准准布朗运动的的具有两种特特征：特征1：和和的的关系满满足＝（（13.21）特征2：对于于任何两个不不同时间间隔隔，，的值相相互独独立。。从特征征1可可知，，本本身身也具具有正正态分分布特特征，，其均均值为为0，，标准准差为为，，方差差为。。从特征征2可可知，，标准准布朗朗运动动符合合马尔尔可夫夫过程程，因因此是是马尔尔可夫夫过程程的一一种特特殊形形式。。现在我我们来来考察察遵循循标准准布朗朗运动动的变变量z在一一段较较长时时间T中的的变化化情形形。我我们用用z（（T））－z(0)表表示变变量z在T中的的变化化量，，它可可被看看作是是在N个长长度为为的的小时时间间间隔中中z的的变化化总量量，其其中N=T/，，因因此，，（13.22））其中(i=1，2，………N）是是标准准正态态分布布的随随机抽抽样值值。从从特征征2可可知，，是相相互独独立的的，因因此z（T）-z（（0））也具具有正正态分分布特特征，，其均均值为为0，，方差差为Nt=T，，标准准差为为。。由此我我们可可以发发现两两个特特征：：在任意意长度度的时时间间间隔T中，，遵循循标准准布朗朗运动动的变变量的的变化化值具具有均均值为为0，，标准准差为为的正正态分分布。。对于相相互独独立的的正态态分布布，方方差具具有可可加性性，而而标准准差不不具有有可加加性。。当0时，，我们们就可可以得得到极极限的的标准准布朗朗运动动：（13.23））（二））普通通布朗朗运动动为了得得到普普通的的布朗朗运动动，我我们必必须引引入两两个概概念：：漂移移率和和方差差率。。漂移移率（（DriftRate）是指指单位位时间间内变变量z均值的的变化化值。。方差差率（（VarianceRate）是指指单位位时间间的方方差。。标准布布朗运运动的的漂移移率为为0，方差差率为为1.0。漂移移率为为0意味着着在未未来任任意时时刻z的均值值都等等于它它的当当前值值。方方差率率为1.0意味着着在一一段长长度为为T的时间间段后后，z的方差差为1.0T。我们们令漂漂移率率的期期望值值为a,方差率率的期期望值值为b2，就可可得到到变量量x的普通通布朗朗运动动：从式（（13.21））和（（13.24））可知知，在在短时时间后后，x值的的变化化值为为：因此，，Δx也具有有正态态分布布特征征，其其均值值为，，标准准差为为，，方差差为。。同样样，在在任意意时间间长度度T后x值的变变化也也具有有正态态分布布特征征，其其均值值为aT，标准准差为为，，方方差为为b2T。三、证证券价价格的的变化化过程程证券价价格的的变化化过程程可以以用普普遍布布朗运运动来来描述述。但但由于于投资资者关关心的的是证证券价价格的的变动动幅度度而不不是变变动的的绝对对值，，因此此我们们可以以用证证券价价格比比例的的方式式来定定义证证券价价格的的布朗朗运动动：（13.25））其中S表示示证券券价格格，μμ表示示证券券在单单位时时间内内以连连续复复利计计算的的期望望收益益率（（又称称预期期收益益率）），表表示示证券券收益益率单单位时时间的的方差差，表表示示证券券收益益率单单位时时间的的标准准差，，简称称证券券价格格的波波动率率（Volatility）），dz遵遵循标标准布布朗运运动。。从（13.21）和和上式式可知知，在在短时时间后后，，证券券价格格比率率的变变化值值为：：则可得得（13.26）我们将将在下下文证证明，，衍生生证券券的定定价与与标的的资产产的预预期收收益率率是无无关的的。相相反，，证券券价格格的波波动率率对于于衍生生证券券的定定价则则是相相当重重要的的。应该注注意的的是，，由于于比例例变化化不具具有可可加性性，因此此我们们并不不能象象以前前一样样推导导出在在任意意时间间长度度T后后证券券价格格比例例变化化的标标准差差为。。四、伊伊藤过过程和和伊藤藤引理理普通布布朗运运动假假定漂漂移率率和方方差率率为常常数，，若把把变量量x的漂移移率和和方差差率当当作变变量x和时间间t的函数数，我我们可可以从从公式式（13.24）得到到伊藤藤过程程（ItoProcess）：（13.27）其中，，dz是一个个标准准布朗朗运动动，a、b是变量量x和t的函数数，变变量x的漂移移率为为a，方差差率为为b2。在伊藤藤过程程的基基础上上，伊伊藤进进一步步推导导出：：若变变量x遵循循伊藤藤过程程，则则变量量x和和t的的函数数G将将遵循循如下下过程程：（13.28）公式（（13.28））就是是著名名的伊伊藤引引理。。从式（（13.25））中，，我们们可得得：（13.29）我们知知道，，衍生生证券券的价价格是是标的的证券券价格格S和和时间间t的的函数数。根根据伊伊藤引引理，，衍生生证券券的价价格G应遵遵循如如下过过程：：（13.30）比较式式（13.29）和(13.30)可看出出，衍衍生证证券价价格G和标的的证券券价格格S都受受同同一一个个基基本本的的不不确确定定性性来来源源dz的影影响响，，这这点点对对于于以以后后推推导导衍衍生生证证券券的的定定价价公公式式很很重重要要。。五、、证证券券价价格格自自然然对对数数变变化化过过程程我们们可可用用伊伊藤藤引引理理来来推推导导证证券券价价格格自自然然对对数数lnS变化化所所遵遵循循的的随随机机过过程程。。令我们们就就可可得得出出证证券券价价格格对对数数G所遵遵循循的的随随机机过过程程为为：：令t时刻刻G的值值为为lnS，T时刻刻G的值值为为lnST，其其中中S表示示t时刻刻（（当当前前时时刻刻））的的证证券券价价格格，，ST表示T时刻（将将来时刻刻）的证证券价格格，则在在T－t期间G的变化为为：lnST-lnS这意味着着：（13.31）根据正态态分布的的特性，，从式（（13.31））可以得得到：（13.32）这表明ST服从对数数正态分分布。lnST的标准差差与成比比例，这这说明证证券价格格对数的的不确定定性（用用标准差差表示））与我们们考虑的的未来时时间的长长度的平平方根成成正比。。这就解解决了前前面所说说的证券券价格比比例变化化的标准准差与时时间不成成正比的的问题。。根据式（（13.32））和对数数正态分分布的特特性,可可知ST的期望值值E(ST)为：这与作为为预期收收益率的的定义相相符。ST的方差var(ST)为:第四节布布莱莱克———舒尔斯斯期权定定价模型型一、布莱莱克———舒尔斯斯微分方方程推导布莱莱克———舒尔斯斯微分方方程需要要用到如如下假设设：证券价格格遵循几几何布朗朗过程，，即和为为常数；；允许卖空空标的证证券；没有交易易费用和和税收，，所有证证券都是是完全可可分的；；在衍生证证券有效效期内标标的证券券没有现现金收益益支付；；不存在无无风险套套利机会会；证券交易易是连续续的，价价格变动动也是连连续的；；在衍生证证券有效效期内，，无风险险利率r为常数数。实际上，，有些假假设条件件我们可可以放松松，如、、和r可以是t的函数。。（一）布布莱克———舒尔尔斯微分分方程的的推导（13.35）（13.36）我们可以以构建一一个包括括一单位位衍生证证券空头头和单单位位标的证证券多头头的组合合。令代表该投投资组合合的价值值，则：：（13.37））在时间后后，该投投资组合合的价值值变化为为：在没有套套利机会会的条件件下：：我们代入入和和，，则则可得著著名的布布莱克———舒尔尔斯微分分分程：：布莱克———舒尔尔斯微分分分程适适用于其其价格取取决于标标的证券券价格S的所有有衍生证证券的定定价。应该注意意的是，，当S和t变化时，，的值也会会变化，，因此上上述投资资组合的的价值并并不是永永远无风风险的，，它只是是在一个个很短的的时间间间隔中才才是无风风险的。。在一个个较长时时间中，，要保持持该投资资组合无无风险，，必须根根据的的变变化而相相应调整整标的证证券的数数量。当当然，推推导布莱莱克———舒尔斯斯微分方方程并不不要求调调整标的的证券的的数量，，因为它它只关心心中中的变变化。（二）风风险中性性定价原原理从上可以以看出受受制于主主观的风风险收益益偏好的的标的证证券预期期收益率率并未包包括在衍衍生证券券的价值值决定公公式中。。这意味着着，无论论风险收收益偏好好状态如如何，都都不会对对f的值值产生影影响。于是，我我们就可可以利用用布莱克克——舒舒尔斯微微分方程程所揭示示的这一一特性，，作出一一个可以以大大简简化我们们工作的的简单假假设：在对衍生生证券定定价时，，所有投投资者都都是风险险中性的的。这就就是风险险中性定定价原理理。为了更好好地理解解风险中中性定价价原理，，我们可可以举一一个简单单的例子子来说明明。（见书））二、布莱莱克———舒尔斯斯期权定定价公式式在风险中中性的条条件下，，欧式看看涨期权权到期时时（T时刻）的的期望值值为：根据风险险中性定定价原理理，欧式式看涨期期权的价价格c等等于将此此期望值值按无风风险利率率进行贴贴现后的的现值，，即：（13.41）对式（13.41）右右边求值值是一种种积分过过程，结结果为：：其中，由于欧式式看涨期期权和看看跌期权权之间存存在平价价关系,可得SN(d1)是Asset-or-notingcalloption的价价值,-e-rTXN(d2)是X份份cash-or-nothing看涨期期权空头头的价值值。N(d2)是在风风险中性性世界中中期权被被执行的的概率，，或者说说ST大于X的的概率，，e-rTXN(d2)是X的的风险中中性期望望值的现现值。SN(d1)是得到到ST的风险中中性期望望值的现现值。是复制交交易策略略中股票票的数量量，SN（d1)就是股股票的市市值,-e-rTXN(d2)则是复复制交易易策略中中负债的的价值。。三、有收收益资产产的期权权定价公公式（一）有有收益资资产欧式式期权的的定价公公式在收益已已知情况况下，我我们可以以把标的的证券价价格分解解成两部部分：期期权有效效期内已已知现金金收益的的现值部部分和一一个有风风险部分分。当标的证证券已知知收益的的现值为为I时，我们们只要用用（S－I）代替S即可求出出固定收收益证券券欧式看看涨和看看跌期权权的价格格。当标的证证券的收收益为按按连续复复利计算算的固定定收益率率q（单位为为年）时时，我们们只要将将代替S就可求出出支付连连续复利利收益率率证券的的欧式看看涨和看看跌期权权的价格格，从而而使布莱莱克———舒尔斯斯的欧式式期权定定价公式式适用欧欧式货币币期权和和股价指指数期权权的定价价。对于欧式期货货期权，布莱莱克教授也给给出了定价公公式：其中，例子见书.（二）有收益益资产美式期期权的定价1．美式看涨涨期权当标的资产有有收益时，美美式看涨期权权就有提前执执行的可能，，因此有收益益资产美式期期权的定价较较为复杂，布布莱克提出了了一种近似处处理方法。该该方法是先确确定提前执行行美式看涨期期权是否合理理，其方法我我们在本章第第一节已论述述过。若不合合理，则按欧欧式期权处理理；若在tn提前执行有可可能是合理的的，则要分别别计算在T时时刻和tn时刻到期的欧欧式看涨期权权的价格，然然后将二者之之中的较大者者作为美式期期权的价格。。在大多数情情况下，这种种近似效果都都不错。2．美式看跌期期权由于收益虽然然使美式看跌跌期权提前执执行的可能性性减小，但仍仍不排除提前前执行的可能能性，因此有有收益美式看看跌期权的价价值仍不同于于欧式看跌期期权，它也只只能通过较复复杂的数值方方法来求出。。第五节二二叉树期权定定价摸型由于美式看跌跌期权无法用用布莱克———舒尔斯期权权定价公式进进行精确定价价，因此要用用其它替代方方法，如二叉叉树期权定价价模型，该模模型是由科克克斯（J.Cox）、罗斯(S.Ross)和鲁宾斯坦(M.Rubinstein)于1979年首先提出的的。一、无收益资资产期权的定定价二叉树模型首首先把期权的的有效期分为为很多很小的的时间间隔，，并假设在每每一个时间间间隔内证券价价格从开始的的S运动到两个新新值Su和Sd中的一个，如如图13.22所示。其中，，u>1，d<1，且u=1/d图13.22T时间内证券价价格的变动为了对期权进进行定价，二二叉树模型也也应用风险中中性定价原理理并假定：（1）所有可可交易证券的的期望收益都都是无风险利利率；（2）未来现金流流可以用其期期望值按无风风险利率贴现现来计算现值值。S0u

ƒuS0d

ƒdS0

ƒp(1

–p)（一）参数p、u和d的确定参数p、u和和d的值必须须满足这个要要求，即：根据本章第2节的讨论，，在一个小时时间段内证券券价格变化的的方差是。。根据方差的的定义，变量量X的方差等等于X2的期望值与X期望值平方方之差，因此此：由上可得，（二）证券价价格的树型结结构应用二叉树模模型来表示证证券价格变化化的完整树型型结构如图13.23所示。图13.23证券价格的树树型结构当时间为0时时，证券价格格为S。时时间为t时，证券价格格要么上涨到到Su，要么么下降到Sd；时间为2t时，证券价格格就有三种可可能：Su2、Sud（等等于S）和Sd2，以此类推。。一般而言，，在时刻it，证券价格有有i+1种可可能，它们可可用符号表示示为：其中j=0，，1，2，………，i（三）倒推定定价法由于在T时刻的期权价价值是已知的的。所以在二叉树模型型中，期权定定价从树型结结构图的末端端T时刻开始，采采用倒推法定定价。例：S0=50;X=50;r=10%;s=40%;T=5months=0.4167;Dt=1month=0.0833则可得：u=1.1224;d=0.8909;a=1.0084;p=0.5076据此我们可以以画出该股票票在期权有效效期内的树型型图，如下图图：在时刻，股票票在第j个结点（j=0，1，2，……i）的价格等于于。例如，F结点（i=4，j=1）的股价等于于。在最后那那些结点处，，期权价值等等于。例如，，G结点的期期权价格等于于50－35.36=14.64。。从最后一列结结点处的期权权价值可以计计算出倒数第第二列结点的的期权价值。。首先，我们们假定在这些些结点处期权权没被提前执执行。这意味味着所计算的的期权价值是是时间内期权权价值期望值值的现值。如E结点处的期权权价值等于：：而F结点处的期权权价值等于：：然后，我们要要检查提前执执行期权是否否较有利。在在E结点，提前执执行将使期权权价值为0，所以不应提提前执行。而在F结点，如果提提前执行，期期权价值等于于50.00－39.69元，等于10.31元，大于上述述的9.90元。因此，若若股价到达F结点，就应提提前执行。用相同的方法法我们可以算算出各结点处处的期权价值值，并最终倒倒推算出初始始结点处的期期权价值为4.48元。（四）美式看看跌期权的定定价公式其中j=0，1，2，……，N假定期权不被被提前执行，，则在风险中中性条件下：：如果考虑提前前执行的可能能性的话，式式中的必须与与期权的内在在价值比较，，由此可得：：按这种倒推法法计算，当时时间区间的划划分趋于无穷穷大，或者说说当每一区间间Dt趋于0时，就可以求求出美式看跌跌期权的准确确价值。根据据实践经验，，一般将时间间区间分成30个就可得到较较为理想的结结果。二、有收益资资产期权的定定价（一）支付连连续复利收益益率资产的期期权定价当标的资产支支付连续复利利收益率q的收益时，，在风险中中性条件下下，证券价价格的增长长率应该为为r－q，因此可得：：对于股价指指数期权来来说，q为股票组合合的红利收收益率；对对于外汇期期来说，q为国外无风风险利率，，因此上式式也可用于于股价指数数和外汇的的美式看跌跌期权的定定价。对于期货期期权来说，，布莱克曾曾证明，在在对期货期期权定价时时期货的价价格可以和和支付连续续红利率r的证券同样样对待，因因此对于期期货期权而而言，q=r，即：因此，也就可用于美美式期货看看跌期权的的定价。（二）支付付已知收益益资产的期期权定价1．已知红利利率若标的资产产在未来某某一确定时时间将支付付已知收益益率，我们只要要调整在各各个结点上上的证券价价格就可算算出期权价价格。调整整方法如下下：如果时刻iDt在除权日之之前，则结结点处证券券价格仍为为：如果时刻iDt在除权日之之后，则结点处证证券价格相相应调整为为：j=0，1，……,i对在期权有有效期内有有多个已知知红利率的的情况，也也可进行同同样处理。。若δi为0时刻到到时刻之间间所有除权权日的红利利支付率，，则时刻结结点的相应应的证券价价格为：2．已知红利利额若标的资产产在未来某某一确定日日期将支付付已知数额额的收益，，则除权后后树枝将不不再重合，，这意味着着所要估算算的结点的的数量可能能变得很大大，特别是是如果支付付多次已知知数额收益益的话。为了简化起起见，我们们仍可以把把证券价格格分为两个个部分：一一部分是不不确定的，，而另一部部分是期权权有效期内内所有未来来红利的现现值。假设设在期权有有效期内只只有一个除除息日，而且x时刻不确定定部分的价价值S*为：当x>时当x<=时其中D表示收益金金额。设为为S*的标准差，，假设是是常数数，这样就就可用通常常的方法构构造出模拟拟S*的二叉树了了。通过把未