一元线性回归的基本问题

第七章相关与回来分析

第一节相关与回来的基本概念其次节一元线性回来分析睡眠时间同学习成果之间的关系学习成果同收入之间的关系学历同收入之间的关系国内探讨：学历、年龄、收入关系国外探讨：学历、年龄、收入关系第一节相关与回来的基本概念函数关系与相关关系相关关系的种类相关关系的推断方法1.1函数关系与相关关系(一)函数关系1.定义当一个或几个变量取确定的值时，另一个变量有确定值与之相对应，我们称这种关系为确定性的函数关系。2.函数关系特点（1）是一一对应的确定关系；（2）设有两个变量x和y，变量y随变量x一起变更，并完全依靠于x，当变量x取某个数值时，y依确定的关系取相应的值，则称y是x的函数，记为y=f(x)，其中x称为自变量，y称为因变量（3）各观测点(x,y)落在一条线上xy3.函数关系举例函数关系的例子某种商品的销售额(y)与销售量(x)之间的关系可表示为y=p

x(p为单价)圆的面积与半径之间的关系可表示为S=r2

企业的原材料消耗额(y)与产量(x1)

、单位产量消耗(x2)

、原材料价格(x3)之间的关系可表示为y=x1x2x3

1.定义：当一个或几个相互联系的变量取确定数值时，与之相对应的另一变量的值虽然不确定，但它仍按某种规律在确定的范围内变更。变量间的这种关系称为具有不确定性的相关关系。现象之间客观存在的不严格、不确定的数量依存关系。（二）相关关系2.相关关系特点（1）变量间关系不能用函数关系精确表达；（2）一个变量的取值不能由另一个变量唯一确定；当变量x取某个值的时候，变量y的取值可能有几个；（3）各观测点（x，y）分布在某条线的四周。xy相关关系的例子商品的消费量(y)与居民收入(x)之间的关系商品的消费量(y)与物价(x)之间的关系商品销售额(y)与广告费支出(x)之间的关系粮食亩产量(y)与施肥量(x1)、降雨量(x2)、温度(x3)之间的关系收入水平(y)与受教化程度(x)之间的关系3.相关关系举例1.2相关关系的种类相关关系按相关程度分类按相关方向分类按相关形式分类按所研究变量多少分类（1）完全相关：当一种现象的数量变更完全由另一种现象的数量变更所确定时，称这两种现象间的关系为完全相关。（2）不相关：当两种现象互不影响，其数量变更各自独立时，称为不相关现象。（3）两种现象之间的关系介于完全相关和不相关之间，称为不完全相关。1.按相关的程度可划分为:完全相关，不完全相关和不相关（1）当两种相关现象之间的关系大致呈现为线性关系时，称之为线性相关。（2）当两种相关现象之间的关系不表现为直线关系，而是近似于某种曲线方程的关系，则这种相关关系称为非线性相关。2.按相关的形式可划分为:

线性相关，非线性相关（1）正相关：两个相关现象间，当一个变量的数值增加（或削减）时，另一个变量的数值也随之增加（或削减），即同方向变更。例如收入与消费的关系。（2）负相关：当一个变量的数值增加（或削减）时，而另一个变量的数值相反地呈削减（或增加）趋势变更，即反方向变更。例如物价与消费的关系。3.按相关的方向可划分为:

正相关，负相关（1）当只探讨两个变量时，它们之间的相关，称为单相关。（2）当所探讨的是一个变量对两个或两个以上其他变量的相关关系时，称为复相关。例如，某种商品的需求与其价格水平以及收入水平之间的相关关系便是一种复相关。（3）在某一现象与多种现象相关的场合，假定其他变量不变，只考察其中两个变量的相关关系称为偏相关。例如，在假定人们的收入水平不变的条件下，某种商品的需求与其价格水平的关系就是一种偏相关。4.按相关关系涉及的变量多少可划分为:

单相关，复相关和偏相关相关关系的图示不相关负线性相关正线性相关非线性相关完全负线性相关完全正线性相关定性分析是依据探讨者的理论学问和实践阅历，对客观现象之间是否存在相关关系，以及何种关系作出推断。定量分析在定性分析的基础上，通过编制相关表、绘制相关图、计算相关系数等方法，来推断现象之间相关的方向、形态及亲密程度。1.3相关关系的推断（一）相关表相关表是一种反映变量之间相关关系的统计表。将自变量x的数值依据从小到大的依次排列，然后再将与其相关的因变量y的对应数值平行排列，便可形成简洁的相关表。

例：为了探讨分析某种产品完成量与其单位产品成本之间的关系，调查30个同类公司得到的原始数据如表。 整理后有（二）相关图相关图也称散点图，是在平面直角坐标系中，以横轴表示变量x，纵轴表示变量y，将两者对应的数值形成的坐标点（x,y）在图中标出，即可看出变量之间关系亲密程度。如下图（销售收入与广告费相关图）销售收入与广告费相关图相关图的相关检定分别作x、y中值线数各象限和中值线上的点计算判定：将N和相关检定表界限值比较，判定相关性（三）相关系数及其计算1.相关系数早在1890年，英国统计学家皮尔生（Pearson）便提出了一个测定两个变量线性关系的计算公式，通常称为积距相关系数。计算公式：式中：分子是两个变量x和y的协方差；分母是两个变量的标准差。2.相关关系的测度

（相关系数）

样本相关系数的计算公式或化简为计算相关系数的“积差法”例1.某企业10名工人的工龄和年工资资料如下：职工编号12345678910工龄X(年)44567889910工资Y（百元）42465060646874728084要求：计算相关系数，已知条件如下例2.某企业200名工人的工龄和年工资资料如下，计算两者的相关系数，已知条件如下：

表1我国人均国民收入与人均消费金额数据

单位:元年份人均国民收入人均消费金额年份人均国民收入人均消费金额1981198219831984198519861987393.8419.14460.86544.11668.29737.73859.972492672893294064515131988198919901991199219931068.81169.21250.71429.51725.92099.56436907138039471148【例】在探讨我国人均消费水平的问题中，把全国人均消费额记为y，把人均国民收入记为x。收集到1981～1993年的样本数据(xi，yi)，i=1,2,…，13，计算相关系数。解：依据样本相关系数的计算公式有

人均国民收入与人均消费金额之间的相关系数为0.99873.相关系数取值及其意义（1）r的取值范围是[-1,1]（2）|r|=1，为完全相关r=1，为完全正相关r=-1，为完全负正相关（3）r=0，不存在线性相关关系（4）-1r<0，为负相关；0<r1，为正相关（5）|r|越趋于1表示关系越亲密；|r|越趋于0表示关系越不亲密4.相关程度评价标准0<|r|≤0.3为微弱相关0.3<|r|≤0.5为低度相关0.5<|r|≤0.8为显著相关0.8<|r|≤1为高度相关相关系数检定表其次节一元线性回来分析一、一元线性回来的基本问题（一）回来的来源“回来”这个统计学术语，最早接受者是英国遗传学家高尔登，他把这种统计分析方法应用于探讨生物学的遗传问题，指诞生物后代有回复或回来到其上代原有特性的倾向。高尔登的学生皮尔逊接着探讨，把回来与数学方法联系起来，把代表现象之间一般数量关系的直线或曲线称为回来直线或回来曲线。（二）什么是回来分析？从一组样本数据动身，确定变量之间的数学关系式；对这些关系式的可信程度进行各种统计检验，并从影响某一特定变量的诸多变量中找出哪些变量的影响显著，哪些不显著；利用所求的关系式，依据一个或几个变量的取值来预料或限制另一个特定变量的取值，并给出这种预料或限制的精确程度。（三）回来模型的类型一个自变量两个及两个以上自变量回来模型多元回来一元回来线性回来非线性回来线性回来非线性回来1.一元线性回来模型（1）当只涉及一个自变量时称为一元回来，若因变量y与自变量x之间为线性关系时称为一元线性回来。（2）对于具有线性相关关系的两个变量，可以用一个线性方程来近似表示它们之间的关系。（3）描述因变量y如何依靠于自变量x和误差项μ的方程称为回来模型。二、一元线性回来模型的估计（一）回来方程1.描述y的平均值或期望值如何依靠于x的方程称为回来方程。2.简洁线性回来方程的形式：a是回来直线在y轴上的截距，是当x=0时y的期望值；b是直线的斜率，称为回来系数，表示当x每变动一个单位时，y的平均变动值。最小二乘法（图示）xy(xn,yn)(x1,y1)(x2,y2)(xi,yi)123哪条线最能够表达x和y之间的关系？？最小二乘法（图示）xy(xn,yn)(x1,y1)(x2,y2)(xi,yi)ei=yi-yi＾2e1e2e3e4e6e7e8e9e53、回来系数的估计的最小二乘法公式设