期权定价理论二

期权定价理论欧阳良宜北京大学经济学院Dr.Ouyang1内容提要7.1 影响期权价格的因素7.2 期权价格的上下限7.3 美式看涨期权价格的下限7.4 美式看跌期权价格的下限7.5 期权平价公式7.6 红利的影响Dr.Ouyang27.1 影响股票期权价格的因素现货价格指交割品在现货市场上的价格。施权价指期权约定的交割价格。期权的期限指当期到期权失效时点的时间长度。股票价格的波动性指股票价格变动的剧烈程度，可以用方差来衡量。无风险利率一般用3月期国债利率来代替，指无风险投资的收益或者借贷的成本。期权有效期内的股票红利作为交割品的现金流入，红利会引起股票价格下跌。Dr.Ouyang3现货价格与施权价期权到期时的利润：看涨期权＝Max（现货价格－施权价，0）看跌期权＝Max（施权价－现货价格，0）现货价格对于看涨期权来说，现货价格越高，到期时盈利的可能与数额也就越高，因而期权价格就越高。对于看跌期权来说，现货价格越高，到期时盈利的可能与数额也就越低，因而期权价格越低。施权价对于看涨期权来说，施权价越高，到期时的盈利空间越低，从而期权价格越低。对于看跌期权来说，施权价越高，到期时的盈利空间越高，从而期权价格越高。Dr.Ouyang4到期期限与现货价格的波动性到期期限对于欧式期权来说，由于施行期权的时点是唯一的，因此期限越长对期权的拥有者来说不一定越好。对于美式期权来说，在到期之间随时可以执行期权，因此期限越长意味着选择越多，对期权的拥有者越有利。价格的波动性期权的特点在于以较低的价格规避了不利风险，同时保留了有利风险。不管是对于哪一种期权来说，价格波动性越剧烈，盈利的可能性就越高，期权价格也越高。Dr.Ouyang5无风险利率与红利无风险利率无风险利率对于期权的所有者来说是资金的成本，或者说是持有现货的机会成本，因此无风险利率越高，预期的现货价格就越高。但是无风险利率越高，未来利润折现值也越低。两种因素综合，无风险利率越高，看涨期权的价格越高，看跌期权价格越低。红利作为交割品的现金流，派发红利会导致交割品价格下降。预期红利支付越高，看涨期权价格越低，看跌期权价格越高。Dr.Ouyang6套利举例——利率与预期股票价格例：某股票现货市场价格为10元，3个月后到期的该股票远期合约价格为11元，目前市场的借贷利率为每年10％，假设该股票在未来三个月内都不派发红利，问套利者将如何操作？答案：当期：从市场上借入10元，买入该股票，同时卖出一份3个月后到期的该股票远期合约3个月后：交割该股票获得11元，偿还贷款本息。套利者的利润＝11-10-(10×10%×3/12)=0.75元Dr.Ouyang77.1 影响期权价格的因素因素欧式看涨期权欧式看跌期权美式看涨期权美式看跌期权现货价格＋－＋－施权价－＋－＋期限？？＋＋价格波动性+＋＋＋无风险利率+－＋－预期红利－＋－＋Dr.Ouyang8假设与符号假设不存在交易成本。所有交易盈利都适用同一税率。投资者进行无风险借贷或者投资的利率是一样的。符号S:当期股票价格X：施权价格T：期权到期的时点t：当期时点ST：时点T的股票价格r：无风险利率σ：股票价格波动的标准差c,C：欧式及美式看涨期权价值p,P：欧式及美式看跌期权价值Dr.Ouyang97.2 期权价格的上下限看涨期权上限看涨期权给予持有人按照一定价格在将来购买特定股票的权利。看涨期权的价值＝PV（股票价格）－PV（施权价）所以看涨期权的价值小于当期的股票价值，即 c≤S，同时，C≤S看跌期权上限看跌期权给予持有人按照一定价格在将来卖出特定股票的权利。看跌期权的价值＝PV（施权价）－PV（股票价格）所以看跌期权的价值小于施权价的现值。 p≤Xe-r(T-t)，同时，P≤XDr.Ouyang10欧式看涨期期权的下限限考虑两个资资产组合组合A：一一份欧式看看涨期权，，施权价X，加上现现金Xe-r(T-t)组合B：一一份股票。。到期时如果ST≥X，组合合A和组合合B的价值值都是ST如果ST<X，组合合A的价值值为X，组组合B的价价值为ST所以组合A的价值大大于组合Bc+Xe-r(T-t)>S，从而，c>S－Xe-r(T-t)Dr.Ouyang11示例假设股票A现价20元，某欧欧式看涨期期权施权价价为18元元，离到期期还有一年年时间，无无风险利率率为10%，问该看看涨期权的的最低价值值是多少？？假如该期期权目前报报价3.00元，你你将如何操操作进行套套利？答案：该看涨期权权的价值下下限为S－Xe-r(T-t)＝20－18e-0.1××1＝3.71该期权报价价低于价值值下限，因因此可以采采用下列策策略套利：：卖空该股股票，获得得20元，，买入看涨涨期权，支支出3.00元，并并将17元元按无风险险利率借贷贷出去到期时如果股票价价格超过18元，以以18元的的价格施行行期权，回回补空头，，利润为17e0.1－18＝0.79；；如果股票票价格低于于18元，，则以市价价回补空头头，利润为为17e0.1－股股票票市市价价>0.79。。Dr.Ouyang12欧式式看看跌跌期期权权的的下下限限考虑虑两两个个资资产产组组合合组合合A：：一一份份欧欧式式看看跌跌期期权权，，施施权权价价为为X，，加加上上一一份份股股票票组合合B：：现现金金Xe-r(T-t)。到期期时时如果果ST<X，，组组合合A和和组组合合B的的价价值值都都是是X如果果ST≥X，，组组合合A的的价价值值为为ST，组组合合B的的价价值值为为X所以以组组合合A的的价价值值大大于于组组合合Bp+S>Xe-r(T-t)，从而而，，p>Xe-r(T-t)－SDr.Ouyang13示例例假设设股股票票A现现价价20元元，，某某欧欧式式看看跌跌期期权权施施权权价价为为24元元，，离离到到期期还还有有一一年年时时间间，，无无风风险险利利率率为为10%，，问问该该看看跌跌期期权权的的最最低低价价值值是是多多少少？？假假如如该该期期权权目目前前报报价价1.00元元，，你你将将如如何何操操作作进进行行套套利利？？答案案：：该看看跌跌期期权权的的价价值值下下限限为为：：Xe-r(T-t)－S＝＝24e-0.1－20＝＝1.71该期期权权目目前前报报价价为为1.00元元，，低低于于价价值值下下限限，，因因此此可可用用下下列列策策略略套套利利：：从市市场场上上借借入入21元元，，以以1.0元元买买入入该该期期权权，，以以20元元购购买买股股票票A。。一年年后后，，如如果果股股价价低低于于24元元，，则则执执行行期期权权获获得得24元元，，并并偿偿还还贷贷款款本本息息，，利利润润为为：：24－－21e0.1＝0.79；；如如果果股股票票价价格格高高过过24元元，，则则不不执执行行期期权权，，将将股股票票卖卖掉掉并并偿偿还还本本息息，，利利润润为为：：股股价价－－21e0.1>0.79。。Dr.Ouyang147.3美美式式看看涨涨期期权权价价格格的的下下限限考虑虑两两个个资资产产组组合合组合合A：：一一份份美美式式看看涨涨期期权权，，施施权权价价X，，加加上上现现金金Xe-r(T-t)组合合B：：一一份份股股票票假设设在在时时点点τ，，该该期期权权被被执执行行组合合A的的价价值值为为Sτ－X＋＋Xe-r(T-τ)组合合B的的价价值值为为Sτ如果果是是在在时时点点T，，期期权权才才被被执执行行组合合A的的价价值值为为Max(ST,X)组合合B的的价价值值为为ST因此美式看涨涨期权的最佳佳执行时间为为到期时点。。Dr.Ouyang15美式看涨期权权的价值在股票不支付付红利的情况况下美式看涨期权权的最佳执行行时间是到期期日一份美式看涨涨期权的价值值与一份欧式式看涨期权价价值相等解释看涨期权提供供了价值保障障，而一旦提提早施行期权权，这份保障障的价值就变变为0。越晚施行期权权，施权所需需的现金越晚晚付出，从而而节省了资金金成本。Dr.Ouyang16看涨期权价值值与股票价格格看涨期权价值值股票现货价格格施权价Dr.Ouyang177.4 美式式看跌期权的的下限考虑两个资产产组合组合A：一份份美式看跌期期权，施权价价为X，加上上一份股票组合B：现金金Xe-r(T-t)。假设在时点τ，该期权被被执行组合A的价值值为X组合B的价值值为Xe-r(T-τ)此时执行期权权可能是合理理的。对于一个美式式看跌期权来来说，P≥X－S≥≥Xe-r(T-t)－SDr.Ouyang18美式看跌期权权价值与股票票价格看跌期权价值值股票现货价格格施权价施权价ADr.Ouyang19欧式看跌期权权价值与股票票价格看跌期权价值值股票现货价格格施权价施权价BXe-r(T-t)Dr.Ouyang207.5 期权权平价公式考虑两个资产产组合组合A：一份份欧式看涨期期权，施权价价X，加上现现金Xe-r(T-t)组合B：一份份欧式看跌期期权，加上一一份股票到期时如果ST>X，则组合合A和组合B的价值均为为ST如果ST≤X，则组合合A和组合B的价值均为为X所以组合A与与组合B的价价值相等，即即c＋Xe-r(T-t)＝p＋SDr.Ouyang21示例某股票现价为为20元，施施权价为20元，离到期期尚有一年的的欧式看涨和和看跌期权价价格分别为3.00元和和1.00元元，无风险利利率为10%，问以上数数据是否符合合期权平价公公式，如果不不是，你将如如何进行套利利？答案：c＋Xe-r(T-t)＝3.00＋＋20e-0.1＝21.10；p＋S＝＝20＋1.00＝21.00显然上述数据据不符合期权权平价公式。。Dr.Ouyang22示例（续）套利策略卖出一份看涨涨期权获得3.00元，，同时借入资资金18.00元以20元买入入一份股票，，同时以1元元买入一份看看跌期权。到期时：如果股票价格格低于20元元，看涨期权权不会被执行行，执行看跌跌期权获得20元，偿还还贷款本息，，利润＝20－18e0.1＝0.11元元；如果股票价格格高于20元元，看跌期权权不被执行，，将所持股票票用于施权，，获得20元元，偿还贷款款本息，利润润＝20－18e0.1＝0.11元元。Dr.Ouyang23美式看涨与看看跌期权价格格关系条件美式与欧式看看涨期权价值值相等，c=C美式看跌期权权价值高于欧欧式看跌期权权价值，P>p欧式期权平价价公式：c+Xe-r(T-t)＝p＋S推论P>p＝＝c+Xe-r(T-t)－S＝C+Xe-r(T-t)－SC－P<S－Xe-r(T-t)Dr.Ouyang24美式看涨与看看跌期权价格格关系考虑两个资产产组合组合A：一份份欧式看涨期期权，施权价价X，加上现现金X组合B：一份份美式看跌期期权，施权价价X，加上一一份股票时点τ如果组合B执执行了看跌期期权，那么价价值为X组合A的价值值为现金Xer(τ-t)加上看涨期权权价值到期时T如果ST≤X，组合A的价值为Xer(T-t)，组合B的价价值为X如果ST>X，组合A的价值为ST－X+Xer(T-t)，组合B的价价值为ST因此组合A的的价值大于组组合BC+X>P+S，从从而，S－X<C－－PDr.Ouyang257.6 红利利的影响期权价格上限限对于看涨期权权来说，上限限仍然是S对于欧式看跌跌期权来说，，上限仍然是是Xe-r(T-t)对于美式看跌跌期权来说，，上限是X期权价格下限限欧式看涨期权权的下限变为为S－D－Xe-r(T-t)欧式看跌期权权的下限变为为D＋Xe-r(T-t)－S美式看涨期权权的下限变为为不确定，但但高于欧式期期权美式看跌期权权的下限也是是不确定，高高于欧式期权权Dr.Ouyang267.6 红利利的影响考虑两个资产产组合组合A：一份份欧式看涨期期权，加上现现金D+Xe-r(T-t)组合B：一份份股票。到期时如果ST≥X，组合A和组合B的的价值都是Der(T-t)＋ST如果ST<X，组合A的价值为Der(T-t)＋X，组合B的价值为Der(T-t)＋ST所以组合A的的价值大于组组合Bc+D+Xe-r(T-t)>S，从而，c>S－D－Xe-r(T-t)Dr.Ouyang27欧式看跌期权权的下限考虑两个资产产组合组合A：一份份欧式看跌期期权，施权价价为X，加上上一份股票组合B：现金金D+Xe-r(T-t)。到期时如果ST<X，组合A和组合B的的价值都是X+Der(T-t)如果ST≥X，组合合A的价值为为ST+Der(T-t)，组合B的价价值为X+Der(T-t)所以组合A的的价值大于组组合Bp+S>D+Xe-r(T-t)，从而，p>D+Xe-r(T-t)－SDr.Ouyang28欧式期权平价价公式考虑两个资产产组合组合A：一份份欧式看涨期期权，加上现现金D+Xe-r(T-t)组合B：一份份欧式看跌期期权，加上一一份股票到期时如果ST>X，则组合合A和组合B的价值均为为Der(T-t)+ST如果ST≤X，则组合合A和组合B的价值均为为Der(T-t)+X所以组合A与与组合B的价价值相等，即即c＋D＋Xe-r(T-t)＝p＋SDr.Ouyang29美式期权价格格关系上限仍然是C－P<S－－Xe-r(T-t)考虑下列资产产组合组合A：一份份欧式看涨期期权加上现金金D+X组合B：一份份美式看跌期期权加上一份份股票组合A的价值值总是高于组组合B，即：：S－D－X<C－P综上S－D－X<C－P<S－－Xe-r(T-t)Dr.Ouyang30谢谢1月-2301:28:5401:2801:281月-231月-2301:2801:2801:28:541月-231月-2301:28:542023/1/61:28:549、静静夜夜四四无无邻邻，，荒荒居居旧旧业业贫贫。。。。1月-231月-23Friday,January6,202310、雨雨中中黄黄叶叶树树，，灯灯下下白白头头人人。。。。01:28:5501:28:5501:281/6/20231:28:55AM11、以我独沈沈久，愧君君相见频。。。1月-2301:28:5501:28Jan-2306-Jan-2312、故人人江海海别，，几度度隔山山川。。。01:28:5501:28:5501:28Friday,January6,202313、乍见翻疑疑梦，相悲悲各问年。。。1月-231月-2301:28:5501:28:55January6,202314、他乡生白发发，旧国见青青山。。06一月20231:28:55上午01:28:551月-2315、比不了了得就不不比，得得不到的的就不要要。。。一月231:28上午午1月-2301:28January6,202316、行动出成成果，工作作出财富。。。2023/1/61:28:5501:28:5506January202317、做前前，能能够环环视四四周；；做时时，你你只能能或者者最好好沿着着以脚脚为起起点的的射线线向前前。。。1:28:55上上午1:28上上午午01:28:551月-239、没有失败，，只有暂时停停止成功！。。1月-231月-23Friday,January6,202310、很多事情情努力了未未必有结果果，但是不不努力却什什么改变也也没有。。。01:28:5501:28:5501:281/6/20231:28:55AM11、成功功就是是日复复一日日那一一点点点小小小努力力的积积累。。。1月-2301:28:5501:28Jan-2306-Jan-2312、世间成成事，不不求其绝绝对圆满满，留一一份不足足，可得得无限完完美。。。01:28:5501:28:5501:28Friday,January6,202313、不不知知香香积积寺寺，，数数里里入入云云峰峰。。。。1月月-231月月-2301:28:5501:28:55January6,202314、意志坚强强的人能把把世界放在在手中像泥泥块一样任任意揉捏。。06一月月20231:28:55上上午01:28:551月-2315、楚楚塞塞三三湘湘接接，，荆荆门门九九派派通通。。。。。一月月231:28上上午午1月月-2301:28January6,202316、少年十十五二十十时，步步行夺得得胡马骑骑。。2023/1/61:28:5501:28:5506January202317、空山新雨雨后，天气气晚来秋。。。1:28:55上上午1:28上上午01:28:551月-239、杨柳柳散和和风，，青山山澹吾吾虑。。。1月-231月-23Friday,January6,202310、阅阅读读一一切切好好书书如如同同和和过过去