岩体工程中的反方法概述

5岩体工程中的反分析方法

绪论有限元法正分析简要线弹性位移反分析粘弹性位移反分析工程应用主要内容：5.1绪论

随着上世纪六十年代，电子计算机的问世和快速发展，数值方法成为岩体工程问题分析的主要手段，如何确定本构模型和输入参数就成为这种手段能否成功应用的关键，在通过试验手段获得参数比较困难的背景下，通过现场测定位移反求地应力和岩体力学参数的“反分析方法”被提出，经过多年的研究，目前已成为岩石力学一个独立分支。5.1.1问题产生及发展历史

岩石力学中的反分析最早由Kavangh（1973）、Gioda和Maier（1980）等人提出，Sakurai（1983）完成了岩体弹性模量和初始地应力的线弹性有限元位移反分析，此后又发展了弹塑性、粘弹性、粘塑性等非线性位移反分析，并引入了误差分析、优化技术等一些手段，以求获得非线性反分析中的最佳值。5.1.2正分析与反分析1正分析2反分析①②岩石力学中的反分析主要有以下几种类型：已知岩体的本构模型、初始地应力和位移量测值，求岩体物理力学参数;已知岩体的本构模型、物理力学参数和位移量测值，求初始地应力;已知岩体的本构模型、物理力学参数、初始地应力和位移量测值，求开挖空间最佳几何形状；已知初始地应力和位移量测值，求岩体的本构模型及模型参数，即系统辨识。3反分析问题的特点多解性、无解性、不稳定性。5.1.3反分析中的几个要素1模型

模型是“原型”的一种“类似”，任何模型都不能反映出原型的一切特征。模型的表达形式可以是概念的、物理的或数学的，用数学描述形式建立的模型为数学模型。2参数和状态

参数是系统的内部状态变量，反映了系统的本质，是不可测量的；状态是系统的外部表现，是可以测量的。

在岩石力学数学模型中，因变量，如位移、应力、应变均为外部状态变量，弹性模量、泊松比、内粘结力等均为参数。3准则函数

由于模型的近似性和量测误差的存在，在已知量和待求量之间对等的情况下，求出的结果往往不能很好地反映系统的本质。可行的方法就是增加已知量的数量，求待求量的最优值，为此需要引入一个准则函数。准则函数有两类：以量测值为基础的第一类准则函数；以量测误差及其统计特性为基础的第二类准则函数。常用准则函数。①常规最小二乘法（OLS法）②高斯——马尔可夫估计（GM法）③最大似然估计（ML法）④贝叶斯估计（MAP法）5.1.4反分析求解方法1逆法

将模型输出表达成待求量的显函数，与量测值构成准则函数直接求解。2正法

当模型输出不能表达成待求量的显函数时，先给出待求量的初值，计算出模型的输出，与量测值一起代入准则函数求出准则函数值，按一定的路径待求量的值，可计算出一系列准则函数值，使得准则函数值达到最小的待求量值即为最优值。该方法是由一系列正算过程构成，故名正法。其适用范围较逆法更广。

正法中要用到最优化方法，最常用的有模式搜索法、变量轮换法、单纯形法、鲍威尔法。5.2.1有限单元法的基本思路

将连续求解域离散为有限个、按一定方式相互连接在一起的单元组合体，在每个单元内用一假设的位移函数来表示待求的未知位移场函数，而假设的位移函数用单元节点上的未知位移来表示，以此可导出单元内以未知节点位移所表示的应力、应变，最后通过最小势能原5.2有限元法正分析简要理导导出出单单元元每每个个节节点点上上以以未未知知节节点点位位移移表表示示的的平平衡衡方方程程，，整整个个求求解解域域所所有有节节点点平平衡衡方方程程将将构构成成一一方方程程组组，，通通过过求求解解该该方方程程组组可可求求得得各各节节点点上上的的位位移移，，从从而而求求得得单单元元内内的的位位移移、、应应力力、、应应变变。。总之之，，有有限限单单元元法法就就是是将将连连续续无无限限自自由由度度问问题题转转变变为为求求离离散散的的有有限限自自由由度度问问题题，，将将偏偏微微分分方方程程组组的的求求解解转转化化为为代代数数方方程程组组的的求求解解。。对求求解解连连续续体体的的边边值值问问题题，，有有限限单单元元法法是是一一种种近近似似方方法法，，近近似似的的程程度度随随单单元元划划分分加加密密而而提提高高，，但但会会带带来来计计算算工工作作量量的的增增加加。。有限限单单元元法法求求解解的的一一般般过过程程确定定计计算算模模型型，，包包括括计计算算坐坐标标系系、、模模型型整整体体尺尺寸寸、、边边界界条条件件、、计计算算参参数数和和地地应应力力场场；；单元元划划分分，，平平面面三三角角形形（（3、6、7节点点））、、平平面面四四边边形形（（4、8、9节点点））、、四四面面体体、、六六面面体体（（8、20、21节点点））；；选择择位位移移模模式式（（形形函函数数））；；单元元刚刚度度分分析析；；总刚刚度度分分析析；；节点点等等效效载载荷荷分分析析；；整体体平平衡衡方方程程建建立立；；已知知边边界界条条件件引引入入；；求解解平平衡衡方方程程，，获获得得节节点点位位移移；；根据据几几何何和和物物理理方方程程求求单单元元高高斯斯点点应应变变和和应应力力；；计算算结结果果后后处处理理（（绘绘制制位位移移、、应应力力、、塑塑性性区区曲曲线线图图或或等等值值线线图图①位移移模模式式有限限单单元元法法正正分分析析基基本本方方程程以平平面面四四节节点点的的等等参参单单元元为为例例。。等参参数数单单元元解解决决了了矩矩形形复复杂杂性性问问题题，，坐坐标标变变换换与与位位移移变变幻幻的的形形函函数数一一样样。。其中中：：②几何何方方程程其中中：：（i=1、2、3、4）根据据等等参参单单元元的的坐坐标标变变换换式式：：得：：其中中：：用矩矩阵阵表表示示：：③本构构方方程程其中中：：④单元元势势能能分分析析a单元元应应变变能能令则b体积力势能能设体积力则体积力势势能为：c表面力势能能设面力则面力势能能为：d集中力势能能设集中力则集中力势势能为：e单元总势能能将所有单元元势能叠加加得系统总总势能根据最小势势能原理，，真实解应应使系统势势能最小即由此得系统统总平衡方方程引入位移边边界条件，，得最终求求解方程：：5.3线弹性位移移反分析反分析基本本公式以隧道开挖挖平面应变变问题为例例。设开挖挖边界上的的初始地应应力为：将该初始地地应力转化化开挖边界界上的等效效节点力：：或写成：在整个求解解域上：根据有限元元求解基本本方程：令：则：假定量测点点与有限元元网格节点点重合，则则可把节点点位移分成成已知和待待求量部分分：相应的平衡衡方程写为为：将未知位移移消去：其中：上式式可可简简写写为为：：其中中：：因为为测测量量都都是是两两点点相相对对位位移移，，绝绝对对位位移移与与相相对对位位移移之之间间转转化化关关系系：：[T]为转转换换矩矩阵阵：：则：：其中中上式式中中待待求求量量为为3个，，若若量量测测值值刚刚好好为为3个，，则则可可从从上上式式中中求求出出唯唯一一的的若量量测测值值多多于于3个，，则则通通过过最最小小二二乘乘法法求求得得，，构构造造以以下下目目标标函函数数令得的的最最小小二二乘乘估估计计为为：：实例例根据据围围岩岩内内部部位位移移求求得得：：根据据围围岩岩收收敛敛变变形形求求得得：：隧道道埋埋深深400m，可可求求得得：：则：：5.4粘弹弹性性位位移移反反分分析析反分分析析基基本本公公式式实际际测测试试的的位位移移是是一一组组随随时时间间变变化化的的值值，，是是由由于于释释放放荷荷载载随随时时间间的的改改变变及及围围岩岩的的蠕蠕变变造造成成，，采采用用粘粘弹弹性性反反分分析析可可以以很很好好反反映映时时间间因因素素。。任意意时时刻刻t的应应变变可可以以看看做做由由瞬瞬时时弹弹性性应应变变和和蠕蠕变变应应变变两两部部分分构构成成：：其中中弹弹性性应应变变：：粘弹弹性性应应变变：：则：：得：：其中中：：为为弹弹性性矩矩阵阵任意意时时刻刻t的有有限限元元平平衡衡方方程程：：将代代入入上上述述平平衡衡方方程程：：其中中：：称称之之为为综综合合模模量量。。常用用流流变变模模型型的的粘粘弹弹性性模模量量和和综综合合模模量量粘弹性模型粘弹性模量综合模量MaxwellKelvinKelvin-VoigtPoynting-ThomsonBurgers将位位移移U(t)分为为已已知知和和未未知知两两部部分分仿照照线线弹弹性性位位移移反反分分析析公公式式推推导导，，得得粘粘弹弹性性反反分分析析基基本本方方程程其中中：：参数数回回归归与与优优化化实际际量量测测过过程程中中，，设设置置测测点点时时间间为为t0，到到t时刻刻量量测测的的位位移移是是t0~t之间间发发生生的的位位移移，，为为此此把把综综合合模模量量也也用用t0~t之间间的的变变化化来来代代替替设置测点时间t0时间t设从从t0~t之间间共共进进行行了了n次量量，，每每次次量量测测有有m个测测点点，，量量测测结结果果为为：：则利利用用每每次次量量测测的的m个测测点点已已知知位位移移，，可可反反求求该该时时刻刻的的综综合合模模量量，，n次量量测测可可以以反反求求出出不不同同时时刻刻的的综综合合模模量量：：根据据综综合合模模量量与与模模型型参参数数之之间间的的关关系系，，比比如如P-T模型型：：式中中：：将上上式式变变换换为为以以下下形形式式：：两边边取取对对数数：：令：：得：：用矩矩阵阵表表示示：：其中中：：最小小二二乘乘法法解解为为：：根据据求求得得的的a、b、yi再求求E0、E1、E2、设时时刻刻的的量量测测值值为为：：5.5工程程应应用用量测测数数据据预预处处理理量测测数数据据带带有有误误差差，，甚甚至至有有奇奇异异数数据据，，为为此此需需对对其其进进行行一一定定的的数数学学处处理理，，改改善善其其规规律律性性。。最最常常用用的的就就是是多多项项式式拟拟合合。。令：：建立立如如下下目目标标函函数数：：求解解方方程程组组得ai从而而得得到到：：利用用回回归归公公式式求求得得任任意意时时刻刻的的u(ti)进行行反反分分析析。。反分分析析结结果果检检验验方法法一一：：将将反反分分析析得得到到的的参参数数作作为为输输入入，，在在相相同同模模型型下下进进行行计计算算，，通通过过计计算算结