天津林亭口高级中学2023年高三数学理联考试题含解析

天津林亭口高级中学2023年高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知集合，，则=（

）A．

B．

C．

D．参考答案：试题分析：由知,故选.考点：1.集合的概念；2.集合的基本运算.2.对于定义在R上的奇函数 A．0 B．—1 C．3 D．2参考答案：A3.执行如图2所示的程序框图，若输入的值为6，则输出的值为

A.105

B.16

C.15

D.1参考答案：C第一步：；第二步：；第三步：，结束，输出，即。4.设函数f(x)＝，g(x)＝－x2＋bx，若y＝f(x)的图像与y＝g(x)的图像有且仅有两个不同的公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则下列判断正确的是()A．x1＋x2>0，y1＋y2>0

B．x1＋x2>0，y1＋y2<0C．x1＋x2<0，y1＋y2>0

D．x1＋x2<0，y1＋y2<0参考答案：B5.如图在展览厅有一展台，展台是边长为1米的正方体，面紧靠墙面，一移动光源在竖直旗杆上移动，其中点在地面上且点在面上的投影恰好是的中点，，设，在光源的照射下，正方体在面紧靠墙面的投影（包括面）的面积为，则函数的大致图像是。参考答案：D6.设复数等于

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D略7.若函数的图象上任意点处切线的倾斜角为，则的最小值是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D略8.已知,则(

)A.

B.2

C.

D.参考答案：D9.已知定义在上的函数满足，且，

，若有穷数列（）的前项和等于，则n等于

A．4

B．5

C．6

D．7参考答案：B10.如图是导函数的图像，则下列命题错误的是

（

）A．导函数在处有极小值B．导函数在处有极大值C．函数处有极小值D．函数处有极小值参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为

．参考答案：由三视图可得，．12.已知函数与都是定义在R上的奇函数，当时，，则（4）的值为____．参考答案：2【分析】根据题意，由f（x﹣1）是定义在R上的奇函数可得f（x）＝﹣f（﹣2﹣x），结合函数为奇函数，分析可得f（x）＝f（x﹣2），则函数是周期为2的周期函数，据此可得f（）＝f（）＝﹣f（），结合函数的解析式可得f（）的值，结合函数的奇偶性与周期性可得f（0）的值，相加即可得答案．【详解】根据题意，f（x﹣1）是定义在R上的奇函数，则f（x）的图象关于点（﹣1，0）对称，则有f（x）＝﹣f（﹣2﹣x），又由f（x）也R上的为奇函数，则f（x）＝﹣f（﹣x），且f（0）＝0；则有f（﹣2﹣x）＝f（﹣x），即f（x）＝f（x﹣2），则函数是周期为2的周期函数，则f（）＝f（）＝﹣f（），又由f（）＝log2（）＝﹣2，则f（）＝2，f（4）＝f（0）＝0，故f（）+f（4）＝2+0＝2；故答案为：2．【点睛】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数的对称性的判定，属于难题.13.如图，正四棱柱的体积为27，点，分别为棱，上的点（异于端点），且，则四棱锥的体积为

．参考答案：9连接，易得，又，所以；易得14.已知a，b为正实数，向量=（a，4），向量=（b，b﹣1），若∥，则a+b最小值为．参考答案：9【考点】平行向量与共线向量．【分析】由∥，可得4b﹣a（b﹣1）=0，（b≠1），而a=＞0，解得b＞1．变形再利用基本不等式的性质即可得出a+b的最小值．【解答】解：∵∥，∴4b﹣a（b﹣1）=0，（b≠1）∴a=＞0，解得b＞1．∴a+b=+b=5++b﹣1．b＞1时，a+b≥5+2=9，当且仅当b=3时，取等号，∴a+b最小值为9．故答案为：9．15.已知等差数列满足，公差为，，当且仅当时，取得最小值，则公差的取值范围是________________。参考答案：16.已知定义在R上的函数f（x），g（x）满足，且f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），，若有穷数列的前n项和为，则n=

．参考答案：8【考点】函数的单调性与导数的关系．【专题】计算题；函数思想；综合法；导数的概念及应用．【分析】由f′（x）g（x）＜f（x）g′（x）可知y=ax时减函数，结合可解出a，从而得出数列的通项公式，带入求和公式即可解出n的值．【解答】解：令F（x）=，则F′（x）=＜0，∴F（x）=是减函数，∴0＜a＜1∵，∴a+=，∴a=．∴{}=（）n．其前n项和为Sn=1﹣（）n．∴1﹣（）n=，解得n=8．故答案为：8．【点评】本题考查了函数单调性与导数的关系及数列求和，属于综合题．17.已知圆的方程为．设该圆过点(3，5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分10分）已知{an}是等差数列，满足a1=3，a4=12，数列{bn}满足b1=4，b4=20，且{bn-an}为等比数列．

（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；

（2）求数列{bn}的前n项和．参考答案：解：（1）设等差数列{an}的公差为d，由题意得:d==3．∴an=a1+（n-1）d=3n（n=1，2，…）．

∴数列{an}的通项公式为：an=3n；

设等比数列{bn-an}的公比为q，由题意得：q3==8，解得q=2．

∴bn-an=（b1-a1）qn-1=2n-1．从而bn=3n+2n-1（n=1，2，…）．

∴数列{bn}的通项公式为：bn=3n+2n-1；

（2）由（1）知bn=3n+2n-1（n=1，2，…）．

数列{3n}的前n项和为,数列{2n-1}的前n项和为.

∴数列{bn}的前n项和为+2n-1．

19.已知函数．（1）若，求函数的单调区间；（2）若，则当时，函数的图象是否总在不等式所表示的平面区域内，请写出判断过程．参考答案：（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）首先求得导函数的解析式，然后分类讨论确定函数的单调性即可；（2）将原问题进行等价转化，分别考查所构造函数的最大值和最小值即可判定题中的结果是否成立.【详解】（1）解：∵，∴，∴恒成立，∴函数定义域为,，①当时，即，此时，在上单调递增，②当时，即，时，，单调递增，时，，单调递减，时，，单调递增；③时，即时，，，单调递增，时，，单调递减，，，单调递增，综上所述，①时，在上递增，②时，在和上递增，在上递减；③时，在和上递增，在上递减.（2）当时，由（1）知在递增，在递减，令，则在上为增函数，函数的图象总在不等式所表示的平面区域内，等价于函数图象总在图象的上方，①当时，，，所以函数图象在图象上方；②当时，函数单调递减，所以最小值为，最大值为，所以下面判断与的大小，即判断与的大小，因为，所以即判断与的大小，令，∵，.∴，即判断与的大小，作差比较如下：令，，则，令，则，因为，所以恒成立，在上单调递增；又因为，，所以存在，使得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，因为二次函数的图象开口向下，其对称轴为，所以在上单调递减..因为时，，所以，即，也即，所以函数的图象总在直线上方，所以函数的图象总在不等式所表示的平面区域内【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．20.（12分）（2012?武昌区模拟）已知函数f（x）=2．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值，并写出f（x）取最大值时x的取值集合；（Ⅱ）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（A）=，b+c=2，求实数a的最小值．参考答案：考点： 余弦定理的应用；两角和与差的正弦函数；二倍角的余弦．专题： 综合题；解三角形．分析： （Ⅰ）利用二倍角公式及辅助角公式，化简函数，即可求得函数的最大值，从而可得f（x）取最大值时x的取值集合；（Ⅱ）利用f（A）=sin（2A+）+1=，求得A，在△ABC中，根据余弦定理，利用b+c=2，及，即可求得实数a的最小值．解答： 解：（Ⅰ）函数f（x）=2=（1+cos2x）﹣（sin2xcos﹣cos2xsin）=1+sin2x+=1+sin（2x+）．∴函数f（x）的最大值为2．要使f（x）取最大值，则sin（2x+）=1，∴2x+=2kπ+（k∈Z）∴x=kπ+（k∈Z）．故x的取值集合为{x|x=kπ+（k∈Z）}．（Ⅱ）由题意，f（A）=sin（2A+）+1=，化简得sin（2A+）=，∵A∈（0，π），∴2A+∈，∴2A+=，∴A=在△ABC中，根据余弦定理，得=（b+c）2﹣3bc．由b+c=2，知，即a2≥1．∴当b=c=1时，实数a取最小值1．点评： 本题考查三角函数的化简，考查函数的最值，考查余弦定理的运用，考查基本不等式，综合性强．21.提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)参考答案：略22.已知函数f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0，x∈R）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）若f（α）=，α∈（0，），求co