精品解析：河北省唐山市2022届高三下学期第一次模拟数学试题（解析版）

唐山市2022年普通高等学校招生统一考试第一次模拟演练数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数在复平面内对应的点为，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由复数对应点可得，根据复数除法运算可计算得到结果.【详解】对应的点为，，.故选：B.2.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】计算出A区间，按照交并补的定义求解即可.【详解】解不等式，解得，即，，故选：C.3.圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的表面积与圆柱的侧面积的比值为（）A.1∶1 B.1∶2 C.2∶1 D.2∶3【答案】A【解析】【分析】按圆柱侧面积和球的表面积公式计算即可.【详解】设球的半径的r，依题意圆柱的底面半径也是r，高是2r，圆柱的侧面积=，球的表面积为，其比例为1:1，故选：A.4.已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，点在角的终边上，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用三角函数定义求出和，再利用二倍角公式求解即可.【详解】根据三角函数定义，，由二倍角公式.故选：D5.已知向量，，，则与的夹角为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据，利用向量数量积的定义和运算律可构造方程求得，结合向量夹角范围可得结果.【详解】，，，解得：，又，，即与的夹角为.故选：D.6.已知F为双曲线的右焦点，A为双曲线C上一点，直线轴，与双曲线C的一条渐近线交于B，若，则C的离心率（）A. B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】由题意求出，，再由可求得，从而可求表示出，进而可求得离心率【详解】由题意得，双曲线的渐近线方程为，由双曲线的对称性，不妨设均为第一象限点，当时，，得，所以，当时，，所以，因为，所以，所以，得，所以，所以双曲线的离心率为，故选：B7.已知函数的图象关于点对称，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据对称性可得，由此可构造方程求得结果.【详解】图象关于点对称，，又，，，解得：，.故选：C.8.在正方体中，M为棱的中点，平面将该正方体分成两部分，其体积分别为，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】如图，取的中点，连接，则可得梯形为平面所在的截面，则为三棱台的体积，设正方体的棱长为2，先求出，从而可求出，进而可求出的值【详解】如图，取的中点，连接，因为M为棱的中点，所以∥，，因为∥,，所以四边形为平行四边形，所以∥，，所以∥，，所以梯形为平面所在的截面，则为三棱台的体积，不妨设正方体的棱长为2，则正方体的体积为8，因为，所以,所以，所以，故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.有一组互不相等的数组成的样本数据、、、，其平均数为（，、、、），若插入一个数，得到一组新的数据，则（）A.两组样本数据的平均数相同B.两组样本数据的中位数相同C.两组样本数据方差相同D.两组样本数据的极差相同【答案】AD【解析】【分析】利用平均数公式可判断A选项；利用中位数的定义可判断B选项；利用方差公式可判断C选项；利用极差的定义可判断D选项.【详解】由已知可得.对于A选项，新数据的平均数为，与原数据的平均数相等，A对；对于B选项，不妨设，则原数据的中位数为，若，则中位数为，若，则中位数为，B错；对于C选项，新数据的方差为，C错；对于D选项，不妨设，则，故新数据的极差仍为，D对.故选：AD.10.设函数，则（）A.在上单调递增B.在内有个极值点C.的图象关于直线对称D.将的图象向右平移个单位，可得的图象【答案】BC【解析】【分析】利用代入检验法可知AC正误；利用整体对应的方式可确定当时，的极值点位置，知B正确；根据三角函数平移变换知D错误.【详解】对于A，当时，，则在上单调递减，在上单调递增，A错误；对于B，当时，，则当或或或或或时，取得极值，在内有个极值点，B正确；对于C，当时，，图象关于对称，C正确；对于D，将向右平移个单位可得：，D错误.故选：BC.11.已知直线与抛物线交于，两点，为坐标原点，直线，的斜率分别记为，，则（）A.为定值 B.为定值C.为定值 D.为定值【答案】ABD【解析】【分析】直线与抛物线方程联立可得韦达定理的形式，利用韦达定理依次验证四个选项即可得结果.【详解】由得：，则；对于A，为定值，A正确；对于B，，B正确；对于C，，不为定值，C错误；对于D，，则为定值，D正确.故选：ABD.12.已知，，，为函数的零点，，下列结论中正确的是（）A.B.C.若，则D.a的取值范围是【答案】ACD【解析】【分析】对于A，只要利用函数零点的判断定理即可；对于B，由于有了A的结论，只要判断的范围即可；对于C，利用函数表达式，将所给的条件带入，联立方程即可；对于D，需要将原函数转换成容易求导的解析式，再构造函数即可.【详解】，，故A正确；当时，，必无零点，故，，故B错误；当时，即，两边取对数得，，，联立方程解得，由于，，故C正确；考虑在第一象限有两个零点：即方程有两个不同的解，两边取自然对数得有两个不同的解，设函数，，则时，，当时，，当时，，所以，要使得有两个零点，则必须，即，解得，故D正确；故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设函数若，则________.【答案】1【解析】【分析】令求出值，再根据分段函数定义域判断即可.【详解】由题，当时，无解,当时，，解得，成立.故答案为：114.记是公差不为的等差数列的前项和，若，，则________.【答案】##【解析】【分析】利用表示出已知的等量关系，解方程组求得后，利用等差数列通项公式求解即可.【详解】设等差数列的公差为，由得：，解得：，.故答案为：.15.为了监控某种食品的生产包装过程，检验员每天从生产线上随机抽取包食品，并测量其质量（单位：g）.根据长期的生产经验，这条生产线正常状态下每包食品质量服从正态分布.假设生产状态正常，记表示每天抽取的k包食品中其质量在之外的包数，若的数学期望，则k的最小值为________.附：若随机变量X服从正态分布，则.【答案】19【解析】【分析】根据正态分布的性质求出在之外的概率，从而得到，根据二项分布的期望公式得到不等式，解得即可；【详解】解：依题意，所以在之外的概率，则，则，因为，所以，解得，因为，所以的最小值为；故答案为：1916.已知、，是圆上的动点，当最大时，________；的最大值为________.【答案】①.②.【解析】【分析】求得，利用基本不等式可求得当取最大值时对应的的值，推导出，利用三角换元结合正弦型函数的有界性可求得的最大值.【详解】由已知可得，则，得，且有，所以，，当且仅当时，即当时，取得最大值.因，，所以，，设，，其中，所以，，因为，则，当时，即当时，取得最大值，此时，可得，合乎题意.故答案为：；.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列的各项均不为零，为其前n项和，且.（1）证明：；（2）若，数列为等比数列，，.求数列的前2022项和.【答案】（1）证明见解析；（2）4044.【解析】【分析】（1）由题设递推式可得，结合已知条件即可证结论.（2）由（1）及等比数列定义写出通项公式，进而有，根据奇偶项的正负性，应用分组求和法及（1）的结论求即可.【小问1详解】因为①，则②，②-①得：，又，所以.【小问2详解】由得：，于是，由得：的公比.所以，.由得：由得：，因此.18.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，.（1）若，求b；（2）若D为的中点，且，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出，然后按照正弦定理计算即可；（2）利用，以及AD是中线的特点列方程即可.【小问1详解】因为，所以在中，由正弦定理得，即.【小问2详解】在中，由余弦定理得……①因为D为的中点，所以.在中，由余弦定理得.在中，由余弦定理得.由得……②联立①②可得，即，故答案为：，.19.甲、乙两支队伍进行某项比赛，赛制分为两种，一种是五局三胜制，另一种是三局两胜制.根据以往数据，在决胜局（在五局三胜制中指的是第五局比赛，在三局两胜制中指的是第三局比赛）中，甲、乙两队获胜的概率均为0.5；而在非决胜局中，甲队获胜的概率为0.6，乙队获胜的概率为0.4.（1）若采用五局三胜制，直到比赛结束，共进行了局比赛，求随机变量的分布列，并指出进行几局比赛的可能性最大；（2）如果你是甲队的领队，你希望举办方采用五局三胜制还是三局两胜制?【答案】（1）分布列见解析；进行四局比赛的可能性最大；（2）希望采用五局三胜制.【解析】【分析】（1）确定所有可能的取值，根据独立事件概率计算公式分别求得每个取值对应的概率，由此可得分布列；比较每个取值对应概率大小即可得到结论；（2）分别计算五局三胜和三局两胜制时，甲队获胜的概率，比较概率大小可得结果.【小问1详解】由题意知：的可能取值为，，.则；；；则的分布列为，进行四局比赛的可能性最大.【小问2详解】作为甲队领队，希望甲队最终获胜；若采用五局三胜制，甲队获胜的概率为；若采用三局两胜制，甲队获胜的概率为；，作为甲队领队，希望采用五局三胜制.20.如图，直三棱柱中，，为的中点，为棱上一点，.（1）求证：平面；（2）若二面角大小为，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由直棱柱特征和线面垂直的判定和性质可证得、，由线面垂直的判定可证得结论；（2）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，设，利用二面角的向量求法可构造方程求得，进而利用线面角的向量求法求得结果.【小问1详解】在直三棱柱中，底面，底面，；又，，平面，平面，平面，又平面，.由直三棱柱知：底面，底面，，又，平面，平面，平面.【小问2详解】由（1）知：，又为中点，.以为坐标原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.则，，，，，设，则.由（1）知：平面的法向量可取；设平面的法向量，，，，令，解得：，，；，解得：，此时，设与平面所成角为，，，即直线与平面所成角的正弦值为.21.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）证明：.【答案】（1）在和上单调递减，在上单调递增（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用导函数求得的单调区间.（2）首先利用导数证得，然后利用差比较法证得，从而证得结论成立.【小问1详解】的定义域为，.当时，，单调递减；当时，，单调递减；当时，，单调递增.故在和上单调递减，在上单调递增.【小问2详解】令，，则，所以时，，单调递增；时，，单调递减，所以的最大值为，即，从而，所以.又，所以，等号当且仅当时成立故.22.已知椭圆经过点，离心率为.（1）求椭圆C方程；（2）如图，椭圆C的左、右顶点为，，不与坐标轴垂直且不过原点的直线l与C交于M，N两点（异于，），点M关于原点O的对称点为点P，直线与直线交于点Q，直线与直线l交于点R.证明：点R在定直线上.【答案】（1）；