2023年内蒙古自治区赤峰市普通高校对口单招高等数学一自考模拟考试(含答案)

2023年内蒙古自治区赤峰市普通高校对口单招高等数学一自考模拟考试(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(20题)1.设Y=x2-2x+a，贝0点x=1()。A.为y的极大值点B.为y的极小值点C.不为y的极值点D.是否为y的极值点与a有关

2.方程y"+3y'=x2的待定特解y*应取()．A.A.AxB.Ax2+Bx+CC.Ax2D.x(Ax2+Bx+C)

3.

4.A.A.椭球面B.圆锥面C.旋转抛物面D.柱面

5.A.0B.1C.2D.4

6.当x→0时，x是ln(1+x2)的

A.高阶无穷小B.同阶但不等价无穷小C.等价无穷小D.低阶无穷小

7.

8.过点(1，0，O)，(0，1，O)，(0，0，1)的平面方程为（）A.A.x＋y＋z=1

B.2x＋y＋z=1

C.x＋2y＋z=1

D.x＋y＋2z=1

9.

10.已知y=ksin2x的一个原函数为y=cos2x，则k等于()。A.2B.1C.-1D.-211.二次积分等于()A.A.

B.

C.

D.

12.

13.A.x2+C

B.x2-x+C

C.2x2+x+C

D.2x2+C

14.等于()．A.A.0

B.

C.

D.∞

15.方程y'-3y'+2y=xe2x的待定特解y*应取()．A.A.Axe2x

B.(Ax+B)e2x

C.Ax2e2x

D.x(Ax+B)e2x

16.

17.设曲线y=x-ex在点(0，-1)处与直线l相切，则直线l的斜率为()．A.A.∞B.1C.0D.-1

18.

A.

B.1

C.2

D.＋∞

19.

20.

二、填空题(20题)21.ylnxdx+xlnydy=0的通解是______.

22.23.

24.

25.幂级数的收敛半径为______．

26.设x=f(x，y)在点p0(x0，y0)可微分，且p0(x0，y0)为z的极大值点，则______．

27.

28.过点M0(2，0，-1)且平行于的直线方程为______．

29.

30.

31.

32.

33.34.设y＝3＋cosx，则y＝．

35.设y=lnx，则y'=_________。

36.

37.

38.

39.

40.

三、计算题(20题)41.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．42.43.证明：44.

45.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

46.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．

47.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

48.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．49.求微分方程的通解．50.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．

51.

52.

53.求曲线在点(1，3)处的切线方程．54.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则

55.

56.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

57.58.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．59.60.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．四、解答题(10题)61.设

62.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解。

63.求y=xex的极值及曲线的凹凸区间与拐点．

64.

65.设

66.

67.

68.

69.

70.

五、高等数学(0题)71.

=()。

A.0B.1C.2D.4六、解答题(0题)72.

参考答案

1.B本题考查的知识点为一元函数的极值。求解的一般步骤为：先求出函数的一阶导数，令偏导数等于零，确定函数的驻点．再依极值的充分条件来判定所求驻点是否为极值点。由于y=x2-2x+a，可由y'=2x-2=0，解得y有唯一驻点x=1．又由于y"=2，可得知y"|x=1=2＞0。由极值的充分条件可知x=1为y的极小值点，故应选B。如果利用配方法，可得y=(x-1)2+a-1≥a-1，且y|x=1=a-1，由极值的定义可知x=1为y的极小值点，因此选B。

2.D本题考查的知识点为二阶常系数线性微分方程特解y*的取法．

由于相应齐次方程为y"+3y'0，

其特征方程为r2+3r=0，

特征根为r1=0，r2=-3，

自由项f(x)=x2，相应于Pn(x)eαx中α=0为单特征根，因此应设

故应选D．

3.A解析：

4.C本题考查的知识点为二次曲面的方程．

5.A本题考查了二重积分的知识点。

6.D解析：

7.B

8.A

9.D解析：

10.D本题考查的知识点为可变限积分求导。由原函数的定义可知(cos2x)'=ksin2x，而(cos2x)'=(-sin2x)·2，可知k=-2。

11.A本题考查的知识点为交换二次积分的积分次序．

由所给二次积分限可知积分区域D的不等式表达式为：

0≤x≤1，0≤y≤1-x，

其图形如图1-1所示．

交换积分次序，D可以表示为

0≤y≤1，0≤x≤1-y，

因此

可知应选A．

12.C

13.B本题考查的知识点为不定积分运算．

因此选B．

14.A

15.D本题考查的知识点为二阶常系数线性非齐次微分方程特解y*的取法：

若自由项f(x)=Pn(x)eαx，当α不为特征根时，可设特解为

y*=Qn(x)eαx，

Qn(x)为x的待定n次多项式．

当α为单特征根时，可设特解为

y*=xQn(x)eαx，

当α为二重特征根时，可设特解为

y*=x2Qn(x)eαx．

所给方程对应齐次方程的特征方程为

r2-3r+2=0．

特征根为r1=1，r2=2．

自由项f(x)=xe2x，相当于α=2为单特征根．又因为Pn(x)为一次式，因此应选D．

16.A

17.C本题考查的知识点为导数的几何意义．

由于y=x-ex，y'=1-ex，y'|x=0=0．由导数的几何意义可知，曲线y=x-ex在点(0，-1)处切线斜率为0，因此选C．

18.C

19.D

20.C

21.(lnx)2+(lny)2=C22.F(sinx)+C

23.

24.2cos(x2+y2)(xdx+ydy)2cos(x2+y2)(xdx+ydy)解析：

25.

解析：本题考查的知识点为幂级数的收敛半径．

注意此处幂级数为缺项情形．

26.0本题考查的知识点为二元函数极值的必要条件．

由于z=f(x，y)在点P0(x0，y0)可微分，P(x0，y0)为z的极值点，由极值的必要条件可知

27.y=0

28.

29.

解析：

30.[*]

31.22解析：

32.

33.

34.－sinX．

本题考查的知识点为导数运算．

35.1/x

36.解析：

37.

38.3x+y-5z+1=03x+y-5z+1=0解析：

39.2本题考查了定积分的知识点。

40.41.函数的定义域为

注意

42.

43.

44.由一阶线性微分方程通解公式有

45.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％

46.

47.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，

48.

49.

50.

51.

52.

则

53.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为

54.由等价无穷小量的定义可知

55.

56.

57.

58.

列表：

说明

59.60.由二重积分物理意义知

61.

解析：本题考查的知识点为偏导数运算．

62.63.y=xex

的定义域为(-∞，+∞)，y'=(1+x)ex，y"=(2+x)ex