初二数学秋季课讲义教师版

第一讲与三角形有关的线段和角多边形及其内角 第二讲全等三角形的性 第三讲全等三角形的判 第四讲角分线的性 第五讲等腰三角 第六讲等边三角 第七讲垂直平分线的性 轴对 第八讲本章复习与测 三角 第九讲整式的乘 第十讲乘法公 第十一讲因式分 第十二讲本章复习与检 第十三讲分式的基本性 第十四讲分式的运 第十五讲分式方 第十六讲分式方程的应用 第十七讲分式复习与检 第十八讲综合内容与测 【答案】 ACDGF BACDGFBC．3 D．4E【答案】 【答案】

（AD∥BC，∠DEF=20BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是FBGCBED FBGCBEDC 图 图 图【答案】CD∥AF，CDEBAF，ABBC，C124，E80，求 E【答案】解：过BBG∥AF,EB求出 第一讲与三角形有关的线段和角多边形及其内角【例1】一个三角形的两边长分别是2，5则第三边x的取值范围 【答案】 C. D.【答案】 B.3C.4 D.5【答案】)A.1B2C3D.4【答案】【例2（1）如图，P是△ABC内一点，请想一个办法说明【答案】BPAC【练习2.1】如图，D，E是△ABC内的两点，求证【例3】能把一个三角形分成两个面积相等的三角形的是( 【答案】 【答案】 【答案】【练习4.1】△ABC中BC边上的高作法正确的是 【答案】【例5】如图,AD是ABC的角平分线,DE∥AC,DEABE,DF∥AB,DFACF,图E4E4F1 【练习5.1】如图所示，BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，过O作EF∥BC，若△AEF的周长12，则AB+AC等 【答案】【例6】在ABC中，A+B=130°，A–B=30°，则 【答案】 A.直角三角 B.锐角三角 C.钝角三角 D.等边三角【答案】7】如图，在△ABC中，DBC延长线上一点，∠B=40°，∠ACD=则∠A等于 【答案】

A 【答案】这个三角形的三个内角为3672727.2】如图，已知A27CBE96C30.求ADE的大小DDECA54272图顶内外一个顶点出发对角线总对角线三角形四边形五边形n；【答案】3，3，600；4，4，812；5，5，1025；n，n，2n，(n－3)，n(n－3)；2【练习8.2】十边形有 【答案】 【答案】【例10】如果一个多边形的内角和是其外角和的2倍，那么这个多边形是( 【答案】 【答案】 【答案】 【答案】 【答案】 B. C. D.【答案】 【答案】【答案】 【答案】 C. D.【答案】3.若一个多边形的内角和等于720 )【答案】4.ABBDACCDA40，则D.【答案】 【答案】【答案】如图在△ABC中，∠A=45°，∠C=75°，BD是△ABC的角平分线则∠BDC的度数为 D D 【答案】 图 图【答案】一个三角形的两边长分别是3，4则第三边x的取值范围 【答案】 A.0cm的木 【答案】 （填锐角三角形‖―直角三角形‖―钝角三角形在△ABC中，∠A=500,∠B=600,则 【答案】求△ABC的面说明△ABC和△ACD的面积的关系1 2 因为AF⊥BC，所以 BD=CD.所以S△ABC=S△ACD，即△ABC和△ACD的面积相等第二讲全等三角形的性 A.△ABE≌△AF 【答案】 △ABC全等的 .与△AOB全等的 【答案】△ADC△ADC、△DAB、△DCB△AOD、△DOC、ABC三角形全等.其中正确的有()A.1 B.2 C.3 D.4【答案】 B.周长相等的三角 【答案】 【答案】3.3】如图，△ABC≌△ADE，其中C和E，B和D是对应顶点，写出这两个三角形【答案】对应边有：ABAD，ACAE，BCAC＝32－8－12＝12.所以DE＝AB＝8，EF【例4】1.如图(1),把△ABC沿直线BC翻折180,得 【答案】△DBC, AB和DB、BC和BC、AC和DC ∠1和∠2 、∠A和∠D.【练习4.1】如图(2),将△ABC绕点A旋转180,得 图 图【答案】△AED AB和 、BC和 、AC和 ∠1和 、∠B 、∠C和∠D≌,、、,、、.【答案】△ECD,AB和 、BC和 、AC和 ,∠B和 、∠1和 、∠A和∠E4.3】(1)△ABC和△DBE有什么关系？【练习4.5】(探究题)如图1所示，△ABC绕着点B旋转(顺时针)90°到△DBE(1)△ABC和△DBE是否全等？对应边和对应角ACDE，ABDB，BCBE∴∠AFE＝90°，即 （10（2）12（4）（8（5） 对【答案】【答案】有3种全等三角形，分别是：ABC≌△ADC，△AEF≌△CHG，△A如图所示沿直线AC对折，△ABC与△ADC重合则 AB BC的对应边 【答案】如图，△ABE≌△ACD且∠D与∠E是对应角，顶点C与顶点B对应，若BE=10cm，则 MN MN 如图，长方形ABCD沿AE折叠，使点DBCF点处，若BC＝8【答案】解：由题意知△AFE≌△ADE，所以在长方形ABCD中，AD＝BC＝81所以AF＝82

如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，△CA′B′是由△ABC绕顶点CA，C，B′三点在同一直线上，那么A′B′与AB的关系怎样？试说明理由． A.7 B.5 C.8 【答案】DAE等于 A. 【答案】则∠C的度数是( A. 【答案】（01（43全等，那么点D的坐标是 如图所示，△ABF≌△CDE，∠B=30°，∠BAE=∠DCF=20°，求 的度数EF EF 第三讲全等三角形的判三边三边对应相等的两个三角形全等（可以简写成边边边‖或SSSADABDEEHDH两两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成边角边‖或SAS在△ABC和△ECDABBBC2.1ACBD交于点OOAOCOBODO O求证DC∥AB【答案】证明：∵在△ODC和△OBA中 OD∵DOCOC∴C∴两两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成角边角‖或ASA【答案】在△DCF和△ACBDEA∴DCB∴DCF

BFE FEB B 在△ABD和△CEA中D ADDAB两两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成角角边‖或AAS‖）A、BAC⊥llC，BD⊥llD.求证：AC=OD.又∵OA=OB，在△AOC和△OBDOAACO4.1】C=EEAC=DAB，AB=AD在△ABC和△ADECBACAB斜斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成斜边、直角边‖或HL‖）EC【答案】证明：在△ABCCA 在Rt△EAB和Rt△DCB中 ABBE5.1在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90º,FAB延长线上一点,点EBC上,且AE=CF.在Rt△ABERt△CBF中, (2)∵AB=BC,∴由（1）知

E EAE与CD之间的夹角为

EHFGEHFG得全等.（5）证明方法同上一题.（6）连GF，GBF为等边，所以平行.DEHFGEHFG试判断△BGF的形状，并说明理由【答案（1）证明：∵等边 和等边在△ABE和△DBC

∵∠ABE=∠DBCBE=BC在△MBE和△NBC则△BMN为等边三角作l的垂线AE、BF，E、F为垂足．AECAC∴△EAC≌△FCB（AAS【练习2.1．已知：ABC中,ABAC8，BDEC,DEFB BE5,求FDFDABACB又DEFBBDEBC,BDECEF,BDBDE≌CEFBECFAC8,AF

【答案】

【答案】A、B、C、DAB=CD，AE∥BFAE=BF又∵AB=CD，∴AB＋BCCD＋在△AEC和△BFDAEBFAAC∴△AEC≌△BFD（SAS 在△ABF和△DCE中 已知：如图，点DAB上，点EAC上，AD=AE，∠B=∠C【答案】证明：在△ABE和△ACD

EFBCFEDABDBCECECM1F

CMFEFBC于点CMF△BDM和△EFM BDM BD

使BE=AC，过点E作ED⊥BF交BF的延长线于点D。求证：ED=AB.ABCACBAC∴△ABC已知：如图，C是AE的中点，∠B=∠D，BC∥DE证明：∵CAEC C 在△ABC和△CDE中 BACBAC ∴B、C、F、E12BFEC，要使ABCDEF，证明：∵BFEC∴BFCFECCF即BCE在△ABC和△DEFACDFBCEF∴已知：如图，∠ABC=∠DCB，BD、CA分别是∠ABC、∠DCB的平分【答案】AC平分∠BCD，BC平分∠ABC△ABC△DCB∠ACBBC△ABCAB已知：如图，点B、E、C、F在△ABC与△DEFACBAAB在△ABC中，已知D为直线BC上一点，若ABCx,BADy当D为边BC上一点并且CD=CA，x40，y30时则 AC（填“=”或“A 如果把（1）中的条件CD=CA‖变为CD=AB‖xy的取值不变，那么（1）中的结A 【答案】解法一CDBEBEDE=CDBBAEBEA

A ADE=BEA，AEC在ABD和ACE 解法二如图，作DAEDAB30AEABAEBCF ADFBDCDABFBDC ABAEDB40,ADB在ABD中 B40,BADADEADB110,ADCCDEADEADCCDEAEDFDABCD,ABCDCDFDAE即：FCDFEACBBACBABy903x0x60)（B、D重合2y3x9060x90)（B、D重合2y1803x，(0x902第四讲角分线的性①已知：∠①已知：∠2、分别以D、E为圆心，以大于1DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点2ADC3、作射线OC,OC即为所求OEB②作图原理：利用―SS‖判定三角形全等，两三角形全等其对应角相等以点OOADOB于点2ADCEADCEB A．射线OC是AOB的平分 B．线段DE平分线段 C．点O和点C关于直线DE对 【答案】1.2用三角板可按下面方法画角平分线：在已知∠AOBOM＝ONM、NOA、OB的垂线，交点为POPOP平分∠AOB，OP平分∠AOBPMOAADCB 【答案】【练习2.2】已知：在RtΔABC中，∠C＝90°，沿着过点B的一条直线BE折叠ΔABC，使C点恰好落在AB边的中点D处，则∠A的度数等于 【答案】【练习2.3】已知∠C＝90°，AD平分∠BAC，BD＝2CD，若点D到AB的距离等于5cm，则BC的长为 【答案】3】已知：在ΔABC中，AD是△ABC的角平分线，E、FAB、AC上一点，并且有∠EDF＋∠EAF＝180°．试判断DE和DF的大小关系并说明理由．【答案】相等，过点DAB、AC的垂线，利用角平分线的性质得到全等三角形，得 PM⊥OA,PN⊥OB,OP平分∠AOBABC【例4】如图所示，三条公路两两相交，交点分别为A、B、C，现计划修一个油库，要求ABC B.二 C.三 D.四【答案】【答案】4处，作角平分线FMP AD于M，CN⊥BD于N.【答案】先证△ADO≌△BDO,得到OD平分∠ADB,即可证在RtΔABC中，∠C＝90°，BD是∠ABCAC于D) 1 13C.2【答案】OP⊥BC于P，OM⊥AB于M，ON⊥AC于N，则OP、OM、ON的大小关系 【答案】PC（ABCD．试问：是否存在到至少的面积与△PCD的面积相等．求证：射线OP是∠MON的平分线．【答案】P向OM、ON作垂线在ΔABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，若△BCD与△BCA3∶8，求△ADE与△BCA的面积之比【答案】MBMBDCEN如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∠ABCAC于DCBDBDEBAFBD=FC；②∠ABD=∠FCA；③BC=2CE；④CE=FE．其中正确的结论的个数()A．4个B．3个C．2个D．1【答案】△PAB的面积与△PCD的面 2易证MP=QH.利用ASA证明BPNPBH,BNPH即已知：如图，在ΔABC中，AD是△ABC的角平分线，E、FAB、AC上一点,并且有∠EDF＋∠EAF＝180°．试判断DE和DF的大小关系并说明理由．FGDGFD,DFDG四边形ABCD是正方形，PBC上任意一点，PAD的平分线交CD于Q，求DQAPBP【答案】CBEBE=DQ,SAS得出ABEADQ,EP=BP+DQ,再根据倒角，得出AP=EP.第五讲等腰三角叫做底，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角 A．10或 D．8或【答案】 【答案】10cm求∠B的度数．在△ADE【练习2.1】△ABC中，AB＝AC，D是AC上一点，且AD＝BD＝BC，则∠A等于( 【答案】关于边的讨论：出现时，分和两种情况计算，再根据三角形的关一个长5cm，则腰长是 3【答案】【练习3.2】如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A、B是两个格点，如果点C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则C点的个数是 AAB 【练习4.1】在△ABC中，∠A的外角等于100°△ABC是等腰三角形那么 ．【答案】40°80°，与另一不存在，与另一腰夹角为40°时，顶角为130°.等腰三角形等腰三角形底边上三角形当中，如果一边上的中线、高线和角分线，其中是重合的，那么它也具有第三条线的性质，且该三角形为等腰三角形证明△ADE与△BFD全等，可证DE＝DF∴AE平分∠CAB，即 HEACEBHAE∴△AHE≌△BCE（ASA，中线、高线、角平分线，已知其中的任意两条线重合，可以判定7如图，在△ABC中，D，EAB，AC上的一点，BECD交于点O，给出上述四个条件中，哪两个可以判定 是等腰三角形选择第（1）题中的一种情形为条件，试说明 是等腰三角形【练习7.1】如图，AD平分∠BAC，AD∥EG，试证明△AGF是等腰PC，判定△PBC的形状．形）．过点PPQ⊥BC，垂足为Q，又∵点PAD∴点QBC即△PBC是等腰直角三角形．△PBC为等腰直角三角证明：延长BP,CD交于M,可证△ABP≌△PMD,可得AB=DM,由BC=AB+DC得CB=CM,可证△BCM为等腰直角三角形，PBM中点，由三线合一得PC垂直BM,易证△PBC为等腰长线于F，试说明∠BAF=∠ACF的理由．AE AB，AECDM、N，先证三角形BCM和EDNM=∠N，MC=DN，即 为等腰三角形，由三线合一得 【答案】40°100°如图，∠A=15°，AB=BC=CD=DE=EF，则∠DEF等于( 【答案】已知△ABC是等腰三角形，∠A是顶角，分析如下说法A．4 B．3 C．2 D．1【答案】如图，在△ABC中，AQ=PQ，PN⊥AB于点N，PM⊥AC于点M，PN=PM，则下列结 【答案】若∠B=30°，求∠C的度数．DD 【答案】∠B．求证：△DEF为等腰三角形【答案】解：△AEF是等腰三角形证明：∵BF平分∠ABC 【答案】70,40或者是等腰三角形的两边长分别为25cm和13cm，则它的周长是( C．63cm和 【答案】如图，在三角形ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BCD，∠ABCBFADAAFE 在△ABC中，AB=BC,在BC上取点M,在MC上取点N,使MN=NA,若∠BAM=∠NAC,则∠ BMNMNA【答案】DCDCEBF DE=EFE是DF第六讲等边三角1】lm△ABC的顶点B在直线m1=20°2的度数【答案】1.1】如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α+∠β的度数是 2在△ABC中，AB=BC=CA,AE=CD,ADBE相交PBQ⊥ADQ,【答案】证明：∵AB=BC=CA∴∠BAC=∠∴△ABE≌△BCE（SAS），∴∠ABE=∠BPD=ABE+BAD=CAD+BAD=∠BAC=60°BQADEBQ=30°BP=2PQ【练习2.1】如图，△ABC是边长为3的等边三角形，将△ABC沿直线BC向右平移，使【答案】解：(1) (2)Rt△BFC∴CF=1BC=3∴AF= 3.1】△ABC的各边，使得BF=AC，AE=CD=AB，顺次连接DEF，得到△DEF为等边三角形．求证：△AEF≌△△ABC为等边三角形．【答案】证明：（1）BF=ACAB=AE∵△DEF是等边三角形，∴EF=DEAE=CDAEF≌△CDE（SSS（2）由△AEF≌△CDE，得 ∴∴BF=AC=AE=CD=AB∴△CDE≌△BFD∴AB=AC=BC∴△ABC是等边三角形．4】AB=ACBAC=120°ADABAE⊥AC．求证：△ADE是等边三角形．【答案】证明：∵AB=ACBAC=120°∴∠B=∵AD⊥AB，AE⊥ ∴∠BAE=∠DAE=AED= ADE是等边三角形．AE＝BD，连接CE、DE．求证：CE＝DE. 5】如图，等边三角形ABD和等边三角形CBD的边长均为a，现把它们拼合EAD上异于AD两点的一动点，FCD上一动点，满足AE+CF=a．则△BEF的形状如何？DE=CFBD=BCADB=C=60°BDEBE=BF,EBD=FBC∴∠ 求证：△DEF是等腰三角猜想：当∠A满足什么条件时，△DEF在△DBE和△ECFB＝C∴DE=FE，∴△DEF是等腰三角（2）当∠A=60°时，△DEF是等边三角形，要△DEF是等边三角形所以，当∠A=60度时，∠B=∠DEF=60，则△DEF是等边三角形在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,求△ABC各角的度数ΔABC中，AB＝AC，BE＝CD，BD＝CF，则∠EDF＝( D．90°—【答案ADBACB=EAC，易证得∠FDE=FAEEFAD，利用三线E是等边△ABCAC边上的点，1=2BE=CD，则△ADE的形状【答案】证明：∵△ABC∵∠1=∠2，BE=CD∴△ABE≌△AE=AD,BAC= ADE为等边三角形如图，已知ABC和ADE都是等边三角形,ABBCACAEEDAD，连接CD,BECDBE．【答案】证明：ADC≌AEBCD DE=EB．ECE 所以在凸五边形ABCDEF中，∠B=∠E,∠C=∠D,BC=DE,F为CD的中点，求证AE N,MC=DN,即 为等腰三角形，由三线合一得OAO 【答案】【答案】如图，E是等边△ABC中AC边上的点，∠1=∠2，BE=CD，则△ADE的形状 【答案】证明：∵△ABC为等边三角形，∴∵∠1=∠2， ∴△ABE≌△AE=AD,BAC= ADE为等边三角形如图，CDRt△ABCAB上的高，将△BCDCD折叠，B点恰好落在AB的中处，则∠A等于 D．【答案】合，得到△DCE，连接BD，交AC于F．【答案】解：(1) (2)Rt△BFC12

2

2第七讲垂直平分线的性 【答案】 【答案】【练习1.2】下列轴对称图形中，对称轴条数最少的是( 【答案】 【答案】 【答案】【练习3.1】将一张正方形纸片经两次对折，并剪出一个菱形小洞后展开铺平，得到的图形 【答案】【例4】如图，△ABC与△ABC关于直线l对称，则B的度数 ABC【答案】 度【答案】【答案】 【答案】则∠C的度数是 EAE 【答案】7】如图，在△ABC中，DEAC的垂直平分线AE=6，△ABD的周长18，则 EAE 【答案】EAE 【答案】BC于E，则△ADE的周长等 【答案】ADEF的垂直平分线。证明：因为AD平分△BAC，𝐴𝐸=𝐴𝐷=为圆心，以大于21【答案】如图所示：AB即为所求（MN（（2）连接BQ，PQ．△BPQ“将军饮马BBAPPAPBADCDBCACBDABBCCDCAABBCBA PMMNNQQPAMMNNBBBAPAPBPAPBPAPBPAPBABPB【例11】(1)如图，正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，P是BD上一动点．连结EP，CP，则EP+CP的最小值是 PDP MA组成△ABC，使△ABCMA 55

点点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为(x，-y)点(x,y)关于y轴对称的点的坐标为(-x，y)点(x,y)关于y=n对称的点的坐标为(x，2n-A（2,3，A经过( )的平移到了C.【答案】 【答案】【练习13.1已知点A(a,-2)和B(3,b)，当满足条件 时点A和点B关于y轴对称;当 时，点A和点B关于x=2轴对称.【答案】∴BC=△BDC的周长-（BD+CD）=46-（2yyx CPAB CPAB【答案】 D【答案】D ,AE=3△ADCCDE的周长为9，那么△ABC的周长CDE【答案】 MDNDBC的度数是 MDN【答案】 第八讲【例1】以下列各组线段为边，能组成三角形的是( B.8cm.6cm.4cmC. D.【答案】 D．6,8,【答案】 A. B. C. D.【答案】 A． 【答案】ABCAD7cm,DM5cm,DAM39，，则AN cm，NM cmNAB DM △ADM≌△ANMANAD7cmNMDMNAMDAMBAN135，则2 【答案】三边三边对应相等的两个三角形全等（可以简写成边边边‖或SSS两两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成边角边‖或SAS两两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成角边角‖或ASA两两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成角角边‖或AAS‖）斜斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成斜边、直角边‖或HL‖）BD ∠DEA．在△ABC△DAE中BAC4.1】AOB90OAOBEF经过点OACEF于点CBDEFD．求证:ACOD【答案】证明ACEFBDEFEODCF∴ACOODBEODCF∴AAOC90∵AOB ∴ABOD 在AOC和OBDACOAAO∴AOC≌OBD∴ACOD”中线、高线、角平分线，已知其中的任意两条线重合，可以判定 ．【答案】22 C．12或 OP平分∠AOBPMOA PM⊥OA,PN⊥OB,OP平分∠AOB 【答案】CD3cm，则点D到AB的距离是

A D【答案】 【例8】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=15°，AB的垂直平分线与AC交于点D，与AB交于点E，连结BD．若AD＝12cm，则BC的长为 【答案】CPABCPAB 【答案】图 图∴ （2）当线段FC=BE时线段BE、FC、EF能构成一个等边三角形，∴ 【练习9.1】已知：△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，点M是 DMNDMDMNDME

E 图 B2 2E【答案】 E 交于点F，连接BF，AN⊥EC于点可证得∠1=∠2,∠3=∠4M是DF则△BMD是等腰直角三角形2 21．DE⊥BE ∠ACB，DE与AB相交于点21 2证明:1CA、BE相交于点∵在△ABC中∴∠ACB=∠ABC=1 2∴∠EBA=22.5°=∠GBA∴∠GBC=∴∠G=∴∠GBC ∴CG= ∴∠BED=90°(∠BEC 且∠ACF ∠ACB=22.5°, ∴∠ACF=在△ABG和△ACF∠GAB=∠FAC=90°AB=AC∠ABG= ∴BG=CF, 2，过点DDH∥CABAMBE的延长线于点H，则∠BMD=∠A=90°,∠MDB=∠C=45°∴∠MDB=∠MBD=45°,∴MD= ∵DE⊥BEBED∴DBDH∵DE⊥BEBED ∴∠HDE ∠HDB, ∴∠HBM=∠FDM在△HMB和△FMD∠BMH=∠DMF= MB=∠HBM=1∴BH=DF 2,AD=DE，按图1放置，使点E在AB上，取CE的中点F，联结DF、BF．探索DF、BF1中△ADE绕A点转动任意角度（旋转角在0到90之间CEDF DFDFDFFD 图 图 图【答案】解：（1）DF=BF且DF证明：如图1ABC=ADE=90°AB=BC∴∠CDE=90°，∠AED=∠FCE∴DF=BF；∴∠DFE=2∠DCF，∠BFE=2∠EFD+EFB=2DCB=90DFB=90°DF（2）证明：如图2，延长DFBC于点ABC=ADE=90°DEBCDEF=GCF，又∵EF=CFDFE=GFC，∴△DEF≌△GCF，DE=CGDF=FGAD=DEAB=BCABC=90°DF=BF且DF（3）证明：如图3，延长BF至点G，使FG=BF，连接DB、DGGE，在△EFG与△CFB∵∵∴△EFG≌△CFB，∴EG=CB，∠EGF=∠CBF，∴EG∥CB，∵AB=BC，CBEG=ABEGABADE=90°EGAB，又∵∠AED=DAE∠DAB=∠在△DAB和△DEG∵∵∴△DAB≌△DEG（SAS），∴DG=DB，∠ADB=∠BDG=ADE=90°BGD为等腰直角三角形，DF=BF且DF 【答案】且PA＝PB．下列确定P点的方法正确的是( 【答案】P如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，在BC上截取BD＝BA，作∠ABC的平分线与AD相交于点P，连结PC，若△ABC的面积为2cm2，则△BPC的面 P

D． 【答案】判断△ABC的形状 保持图1中△ABC固定不变DE绕点C旋转到图2中所在MN的位置（垂线CNECNEMD DM

E 图 图C1NED【答案】解(1)等腰直角三角C1NED M A

B

证明：如图2，在Rt△ADCRt△CEB∵1CAD=90，12=90，(3)3，Rt△ADCRt△CEBDE=BEAD.求证：△ABP是等腰三角形【答案】(1)证明：在△PAB∴AB＝BP，即△ABP是等腰三角形同理点A也在BC的中垂线上.∴EM⊥BCBM12又∵等边△BCE，∴CN⊥BE且BN=1BE.2∴BM=Rt△AMBRt△PNBBM=BN， -即 在△ABE和△PBC中AB=BP，2在△BDC中，∠C=180°-如下图，△ABC中，点P是∠CBD与∠BCE平分线的交点，说明∠P与∠A有怎样大小【答案】P902 A 【答案】AD在△ABD和△AED

AE∴△ABD≌△AED（SAS如图，已知AB>AD,∠BAC=∠FAC,CD=BC.ADBCEEB【答案 CERt△ACERt△ACFAC 第九讲整式的乘amanamn（m、n都是正整数amnaman22 2 33

(2)a2a3a4；(3)xy8yx5x【答案】(1)

2

；(2) ；(3)xy17或y【练习1.1】(1)mn4nmn (2)22009【答案】(1)mn8或n (2)(1)2m2n (2)2m3n (3)a2a3a4【答案】(1)正确(2)不是同底数幂不能直接计算(3)2】x2y403x132y的3x132y3x12y3x2y1341332.1】已知2x3y502xy2x4y2xy2x4y2xyx4y22x3y25即amnamnm、n都是正整数，反amnamnanm也成立【例3】(1)a3 (2)a42a23aa3 (3)a2n12an1【答案】(1) (2)a 【练习3.1】(1)a32 【答案】(1) (2)4】若am3an4，求a3m2na3m2na3ma2nam3an233424.1】若an5bn2，则a3b2n【例5】比较318,5277931833999;5275391259;79527318【练习5.1】比较3555，44445333的大355535111243111;444444111256111;53335311144443555【练习5.2】你能比较813与274的大小吗813343312274334312813即abnanbn（n是正整数anbnabn

abab【答案】(1)8a3b6 【练习6.1】(1)2xy23y35 【答案】(1)8x3 (2)【练习6.2

12【答案】2【例7】(1)6x2 (3)2x2y321xy4z 【答案】(1)18x3 (2)4x5 (3)1x8y224【练习7.1】(1)5a2b3 (2)4x2yx2y21y3 【答案】(1) (2)2x4【练习7.2】若amn3ambn13a8b3，则m ，n【答案】8xn1(x2nxn1x2x3n1x2n28.1】4a312a2b7a2b34a2【答案】16a548a4b8.2】

3xy4xy222 221x3y5x3y61x2 公式为mnabmamban9】已知(xmy)(xny)x22xy6y2，求(mn)mn【答案】x2mnxymny2x22xy6y2∴mn=2，mn6∴mnmn【答案】【练习9.2】已知(53xmx26x3)(12x)的计算结果中不含x3的项，则m的值 【答案】mamanamn（m、n都是正整数amnaman10y2n3【答案】10.1】3a6【答案】11】已知10m3,10n2,求102mn928【例12】(1)6x4y23 (2)amn4ambn2am1bn1【答案】(1)27x9 (2)12.1】若8a3bm28anb22b2m，n7【答案】m4n【例13】(1)3x45x3x22x2 2【答案】(1)3x25x (2)a 【练习13.1】(1)3a8b26a3b41.8a2b3

2

3a 【答案】(1)a7b2a2b3 (2)【例14】将一多项式17x23x4ax2bxc，除以5x6后，得商式为2x1余式为0．求abc 【答案】a7,b20,c2abc【练习14.1】x32x2ax1的除式为bx1x2x2，余式为1【答案】a3,b1ab15】化简求值xy2xyx3y5y22yx2y2 【答案】原式=x y 2(1x24(x21xy2) 25x2)2( 计算：(1)22014

1(2)

2 【答案】(1) (2)2比较910,278,816的大【答案】9103210320;278338324;816346 910278 ，Q ，比较P、Q的大小关系 (1)－－x3·－2x3y4＋2x7x8

12 2n13m2

2ab

3a8b26a3b41.8a2b31ab2

5(xy)2(xy)33(xy)36(y 【答案】(1)18x15y42 (3)9a718a2b2 (4)3xy5x x2n5，求2x3n23xn4的值【答案】若amn3ambn13a8b3，则m ，n【答案】m3,nx4x3x22x2mx1)(x2nx2，求mn的值【答案】m1,n已知(53xmx26x3)(12x)的计算结果中不含x3的项，则m的值 m若amn(3ambn1)3a8b3，则 【答案】M=3若(2x3)(45x)ax2bxc，则 【答案】a10b7c若(x3)与(2xm的积中不含x【答案】m4.下列计算正确的是)【答案】 2a3ab 已知 ab3x1y2，求代数式x2y2x2y)(x2y的值2【答案】解：原式x24xy4y2x24y2x24xy4y2x24xy1当x ，y2时122

43228第十讲乘法公((ab)(ab)a2【例1】如图，从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形，然后将剩余部分拼成 a b【练习1.1】如图，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形(ab)，把剩下的 a （1）xyxy （2）yxxy【答案（1）x2 （2）x2【练习2.1（1）yxyx （2）xyxy （2）y2（1）x3yx12b2b2

（2）2bc2b(4a1)(4a(ambn)(ambn （4）16a2

（2）c2（5）a2m

（3）b4 4x3y3y2x3y2xx2y2y2x2 1m21n31 （1）59.8 （2）16 （3）123462【答案 （2） 【例4】如果(2a2b1)(2a2b1)63，那么ab的值 【练习4.1】下面计算7ab7ab正确的是 A．原式7ab7ab72a5】计算：（1）x1x21x1x4（2） （2）216((ab)2a22abb2；(ab)2a22ab式中两项乘积的2倍写出一个关于a、b的恒等式 (ab)2(ab)2bbaa 【答案】(ab)2a22ab x52 xy2

（2）(4m xy2 （3）x22xyy2（4）x22xy7.1（1）(x12

（2）(x （3）(3x2【答案】（1）x2x1（2）x26xy9y2（3）9x2-12xy44 （2）(ab【答案 （2）a2b2c22ab2ac

12

（2）(ab4

（2） （2）a2b2(ab)2 （3）a2b21 2（4）(ab)2(ab)2 【答案】（1）2ab（2）4ab（3b)2(ab)2【练习9.1】已知a2b216，ab5，求ab 【答案2 9.3】已知ab3ab1，求ab55【9.4】已知ab27，ab23，求ab的值及a2b2【练习9.5】若(x2)2(x3)213，则(x2)(3x) 4y2(x2y)2（2）9a2 121b2(3a )2【练习10.1（1）4m24mn (2m )2 6xy (3xy)2;【例11】如果多项式x2kx1是一个完全平方式，那么k的值 9【答案】k3【练习11.1】如果多项式x2kx4是一个完全平方式，那么k的值 【答案】k【练习11.2】若整式4x2Q1是完全平方式，请你写满足条件的单项式Q 【答案】13.1】(3x2)(3x25x(x1)2x1)2x13 （2）a2b3ca2b【答案】(1)x48x2 (2)a24ab4b2 （2）(2xy2)(y2x【答案(1)a2b2c22bc(2)44x2y2 （3）(a2b)(2b （4）(2xy2)(y2x【答案（1）9x2（3）a24ab

（2）4x2-12xy9（4）44x24xy2(xy)2xy)(x【答案】2y2-3、已知ab3ab12（1）a2b2（2）a2abb2 若x28xyk2是一个完全平方式，则k 若4m2kmnn2是一个完全平方式，则k （2）46

（3）5、求多项式2x24xy5y212y13已知x22x40，求2(x1)2x(x6)3的值【答案】解：原式2x24x2x26x∵x2+2x-4∴x2+2x=

=已知3x22x10，求代数式(x3)22x(2+x7【答案】解3x22x103x22x∵(x3)22x(2+x)7=x26x94x2x27=3x22x2∴当3x22x1时，原式 x2y2(xy)(x B.(x+2)(x+3)=x25xC.x23x5x(x3) D.m2n22(mn)(mn)【答案】 ①x24x4 ②6m23m ③4x24x1④a24ab4b2 ⑤4x216y28xy 【答案】 a2b2(aC.x2x3x3(1x

xyxzxx(yD.a22abb2(a【答案】已知a24a30，求代数式2a(a1)(a1)2的值【答案】解：∵24a30a24a2a(a1)(a1)2=2a22a(a22a=2a22aa22a=3－1

=a24a第十一讲因式分 A．(x1)(x1)x2C．abab1(a1)(b

B．(ab)(mn)(ba)(nD．m22m3m(m23m【答案】 A．x2y5xyyy(x2B．a(abc)b(cab)c(bac)(abC．x2(2a)x(a2)x(2a)(xD．2ab24ab3ab2ab(b22b2【练习1.2】下列各式从左到右的变化中属于因式分解的是( A（m2－4n2）=（m+2n（m－2n） B（m+1（m－1）=m2－1 【答案】（1）6a33a2=3a2（2a－b； （2）－x2+x3=－x2（1－x2（4（－3）2=2－ab9b2；（5）x2－25=（x+5（x－5； （6（a－b）2－2（a－b）=（a－b（a－b－2【答案（1）A（2）A （5）A【例2】因式分解：x2x2 x2x2x(12.1】x2【练习2.2】因式分解：2a24a 【答案（1）46 【答案 （2）999【练习3.2】算式22+22+22+22可化为 【答案】 （2m+n） （1）20032- （2532

【练习5.1（1）652×7－352× （2）1001×2004－2 1A. m² C. 【答案】【练习6.1】把多项式3x3－6x²y+3xy²分解因式结果正确的是 A. B. C. D.【答案】+²

y²④1－x4 【答案】xy2y212xyy236y2【答案】解：原式=y2[(x+y)2-12(x+y)+36]-=y2(x+y-6)2-=y2[(x+y-6)2-=y2(x+y-6+y)(x+y-6-x2xy212xxy236xy2x=(x+y)2[(x-6)2-=(x+y)2(x-6+x+y)(x-6-x-=(x+y)2(2x+y-6)(-6-=-(x+y)2(2x+y-=(x2+5x+4)(x2+5x=a,【练习8.1】(x2+3x+2)(x2+7x+12)-x2+5x=m,代入上式,原式=(m+6)(m+4)-120=m2+10m-【练习9.1】把多项式5x2―6xy―8y2分解因式【答案】解：∵x2+y2-(x-2)2+(y+3)2=0(x-22≥0,y+32≥0.x-2=0且y+3=09x9xkxy16 是一个完全平方式，则实数k的值为 【答案】分解因式amam1为 A.am(1 B.am(1 C.a(1am D.

m1(a

1)【答案】计算(2)100(2)101的结果是 【答案】若ab=3，则b22aba2的值为 【答案】4a5b2c2、8a2b3c4、12a3b4c的公因式为 分解因式x24x4 【答案】(x分解因式a3b9ab3 分解因式：4(3x)2 （x+3（x- 【答案】-若ab3，则2a24ab2b26【答案】（1）a39a （2）n214n49 （3）a24ab4b2（2）(n（3）(a2b1)(a2b1)2100 2972100

299(2

29623（2）297296=296(2

=（x+3（3x-【答案】因为（x+3（3x-5）3x25x9x153x24x)2试用a、b表示出剩余部分的面积【答案】（1）剩余部分的面积(a24b2cm2【答案】【答案】 【答案】 【答案】把多项式3a3b12ab3分解因式【答案】原式3ab(a24b2)3ab(a2b)(a第十二讲本章复习与检【例1】已知：am2，an3，则amn C、 D、【答案】【练习1.1】若xa3，xb5，则xab的值为 【答案】【例2】计算：(a)3(a)2(a5) B、 C、 D、【答案】【练习2.1】计算a2a5【答案】-3】已知n为正整数，试计算a2n1a3n23.1】n为正整数，试计算(x)2n(x4】已知42a2a1292ab8ab的值【答案】4.1】若am3an4，求a3m2n【答案】 A．(23)4= B．(−2a)3=− C．(2mn2)4= D．(3ab)2=【答案】(A．(m6)6= B．(a4)m=(a

C．x2n= D．x2n=【答案】【例6】计算2xy(1x2y2z)(3x3y3)的结果是 2A.3x6y6 3x6y6 C.3x5y5 D.3x5y5【答案】【练习6.1】计算(3x2)(2x3myn)(ym)的结果是 3A.3x4my 11x2m23

C.2x3m2 D.11(x3【答案】7】计算5a3b3b)26ab)2abab3【答案】-【练习7.1】计算(a2b)32a2b(3a2b)2的结果为 A. B. C. D.【答案】8】若(xax2)x25xb，求ab的值【答案】a7b【答案】a9】x25x14，求x12x1x121的值【答案】9.1】已知2x30,x(x2xx25x9的值【答案】10】计算2a3b2c2a2bc2a2c 【答案】ab23510.1】计算8x46x34x210x【答案】4x33x22xA.(x3)(x3)x2)B.(2x3)(2x3)2x2C.(2x3)(x3)2x2D.(5ab1)(5ab1)25a2b2【答案】)【答案】12】计算:(（x-y)(x (2)（xy1)(xy-(3)(2a3b)(3b )【练习12.1】计算:(a3b)(a 【答案】a29b24a2【例13】在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b如图甲把余下， (ab)2a22ab(ab)2a22aba2b2(ab)(a(a2b)(ab)a2ab

a b图 图【答案】【练习 运用此公式计算:(x3)2 (x2y)2 （1）（ab)2a22abb2；（2）x26x9x24xy4【例14】如果25x2kxy49y2是一个完全平方式，那么k的值是 C、70 D、【答案】k【例15】若a的值使得x24xa(x2)21成立，则a的值 【答案】【练习15.1】要使x26xa成为形如xb2的完全平方式，则a，b的值 A.a9,bC.a3,b

B.a9,bD.a3,b【答案】16】(ab)(abab)22a2，其中a3，b3(ab)(abab)22a2a2b2a22abb22a2a3b12ab231 3 3【练习16.1】(ab)2(ab)(2ab)3a2，其中a2 23【答案(ab)2ab)(2ab3a2a22abb22a2abb23a2ab3当a23，b 3原式23)(322)2(3)2【例17已知xy10，xy24则xy2的值 ；x23xyy2的值 【练习17.1若ab7，ab12（ab) ；a23abb2 【答案】【例18】分解因式a3b9ab3 【练习18.1】分解因式：a39a ;（x2+y2）2- 【答案】a(a+3)(a-3);（x+y）2（x-【例19】分解因式amam1为 A.am(1 B.am(1 C.a(1am D.

m1(a

【答案】【练习19.1】计算（-1）1999-（-1）2000的结果是( 【答案】 A、x2x3 B、x2x3 C、x3x4x5 D、x2x3【答案】2、下列各式中,计算结果是x27x18的是 A、(x1)(x B、(x2)(x C、(x3)(x D、(x2)(x【答案】3.（1）2x23.（1）2x2y24y3（2）x3（3）x34x2（1）=2y2（4）ab2（2）=2y2x2（3）=xx （4）=ab计算：ama1的结果中不含关于a的一次项，那么m的值为 2 C、1

D2【答案】 x24x 2 2x

x2 )x2，其中x 22d2ad求ac（2a，=-如果

1a2b2n1是五次单项式，则n的值为 2 【答案】

m3a2bc与bca2不是同类 B． 5C．单项式x3y2的系数是 D．3x2y5xy2是二次三项【答案】 2m2n8n32nm24n2 x24x2x4 2 4x x2x1x2111 D.9a29b2(3a4 2 4x 【答案】（1）(a1)(a22a3) （2）5y2(y2)(3y1)2(y1)(y5) 先化简，再求值(3a2b)(2a3b(a2b)(2ab，其中a1.5,b14【答案】已知a24a10，求（1）a1;(2)(a1 第十三讲分式的基本性 BA【例 3b2

2a3

x2y

mnm

3(a m xx3

3b2 x2y2a，3

m

3(a（1）某村有n个人，耕地40hm2，则人均耕地面积 (2)△ABC的面积为S，BCaAD一辆汽车bh行驶了akm则它的平均速度 a a【答案】 b【练习1.2】有理式①2，②xy，③

2 A．①②B．③④ 【答案】

1

xx5 x3【练习 2

x 3m 2a x

（5）3ab （6）x2−4）5）ab（）x3

x3x

【答案】 m2A．m2

m2m

mC．m2

m2m【答案】22 x x

x（1：x2 （1）2x与 2y

9a

与2c （： A．xy=xy;B．xy=xy;

x

xy;D．x

x=x

x

x

x

．xy=x

x

x A．am B．ab C．ab1b D．xb a ac c x2 xx26x212xy6yx26x3x

xx

（x

（2）(xy)xy

x2(x

x2y(x【答案】a

x

（3）x

xx-

x26xx2 ；

m23mm2

xx-

mm24a12x318a6

x2，x26x

4a63

x和xm2【练习5.1】化简m2mn的结果是 m

mm

mm

mm a

2a

x

x5（1）2a2b2c

2a22ab

2x210xx225

3x2， x2 与

与a(x 2xy 与(x

b(x2)xx2y

（2）4b2d， ， ab(x ab(x2x2y-2xy x2(4）(xy)2(xy)，(xy)2(x a ；

3ac，(a

6(a（2）(a1)2(a1)

(a

(a

和 8ab2c2xx(x1)

x21

x22x(x1)(x x2(x 2x(xx(x1)(x1)2x(x1)(x1)2x(x1)(x31，x1，，b，3

a，

3(x，

x22x

m a m 【答案】

a

m a m1

3

x3x

x2【答案】(1)x≠0,(2) (3)x≠− (4)3 x x（x

x2【答案】(1)x≠0且

9ab26abc

9ab26ab3a

x22x1【答案】

3ba

x（3）3ab2x3

2y

a

c与 ， （2） 6y 6y 速度比第一天快了10字/min，两天打完全部文件，第二天她打字用了多长时间？

12000w2qkg。写出表示玉米和水稻的单位面积产量的式子。n ，水m

2nqm

xx

a【答案】

x12

（2）x＞1或 333 2x

【答案】x≠2分式 x

xx2

的值为0，则x的值为 【答案】x如果分式 的值是零，那么x的取值 x 3x

aba aba b a【答案】 b2a2 a a

a

a2 a 【答案】第十四讲分式的运①分式的乘法法则①分式的乘法法则:两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积:两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘（m26m9m a22ab ab

m2

3

ab

÷a22ab

mm

(ab)(ab)

5a2b

x2y

x2 （2）x22x1xa2 2a 16 m4m（3）a22ab ab （4）168m 2m8m x22x x x21x2 x2 x2 x x（7）a1a22a x2 4y2a 2a 2x2 x22xyy

（2）x2

(3)2

x

4m （6）x a 2x(x2 2.1】计算下列各式:（1）

2y2 x （2）

4y

6xx同分母分式的加减法法则同分母分式的加减法法则:同分母的分式相加减,不变,同分母的分式相加减法则:,异分母的分式相加减,先,化为同分母的分式,然后再按同 b2

3（1）a

b （2）x2

x

x x（1） m2

2m

（2）x2x2

xx24x

x22x1x2

2x

x

8x2(a（5）a2

a2b2

x2（6）x22x

x（7）x2

x

x2

x

1x m2x

x（2）x(x 1（5）1（6） x

x x3x22x x2 x24x

(x4a 【练4.1】(a1 ) a a a2【答案】x

x x22x

12 2 x(x2)45x 22a3b a222

a22ab

b222 22y

x22xy求 x2xy76.1】xyzxyyzzx x2y27】x25x10x2

的值【答案】x42x【练7.1】已知x2-x-1=0，则 【答案】 2x AB

(x24x x xB的值依次是 【答案】 2x A

B恒成立，则 (x1)(x x

x【答案】已知ab5ab，则2a3ab2b的值 ab3

m2 【答案】解：原式=m m2mm2=m2m =m计算： m2

m【答案】解： m2

2m=(m3)(m=(m3)(m122(m=(m3)(m122m=(m3)(m

m 2(m3)6=(m3)(m2(m=(m3)(m2=2(m计算： a

a2

【答案】解：原式=1 aa a1a a a

(a1)(a1)a

a1a1aa2

a aa(a

a(a a(a m2计算：(1) 【答案】解：原式=m1(m1)(m

m2x约分（1）x2

m22mnn2m2n2

x

mnm m2

n2

m2 m2-m

m(mm

n2(mn)mn(mn)(mn)m2(m【答案 n2- n(n

mn(mn)(m1m2-

(mn)(m

mn(mn)(ma21a

（2） a a2x2xx

1

x29

3x3（5）(y4

x2（6）(y5

)

)2aa2b2a2

a

5a5

3

(y1

y)y26y)

（10）

)a y a a2 a 4 4y2 4x2 8xyxyxyxyxy3xyxy a（a+1（ （4）

a

x

y2（5）- （6）y3