课件：直线与圆的位置关系

2.3.3直线与圆的位置关系

一．直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有三种：如图所示.（1）直线与圆相交：有两个公共点；（2）直线与圆相切：有一个公共点；（3）直线与圆相离：没有公共点.二．直线与圆的位置关系的判定

如果直线l和圆C的方程分别为：Ax+By+C=0，x2+y2+Dx+Ey+F=0.则直线与圆的位置关系的判定有两种方法：（1）代数法判断直线与圆的位置关系：由l和C的方程联立方程组

可以用消元法将方程组转化为一个关于x（或y）的一元二次方程，

若△>0，则直线与圆相交；若△=0，则直线与圆相切；若△<0，则直线与圆相离.（2）几何法判断直线与圆的位置关系：如果直线l和圆C的方程分别为：Ax+By+C=0，(x－a)2+(y－b)2=r2.可以用圆心C(a，b)到直线的距离

d=与圆C的半径r的大小关系来判断直线与圆的位置关系。若d<r时，直线l和圆C相交；若d=r

时，直线l和圆C相切；若d>r时，直线l和圆C相离.例1．已知圆的方程是x2+y2=2，直线方程是y=x+b，当b为何值时，圆与直线有两个公共点？只有一个公共点？没有公共点？解法1：②①②代入①，整理得2x2+2bx+b2－2=0，③判别式△=(2b)2－4×2(b－2)=－4(b+2)(b－2)，当－2<b<2时，△>0，方程组有两组不同的实数解，因此直线与圆有两个公共点；当b=2或b=－2时，△=0，方程组有两组相同的实数解，因此直线与圆只有一个公共点；当b<－2或b>2时，△<0，方程组没有实数解，因此直线与圆没有公共点；解法2：转化为b为何值时，圆心到直线的距离小于半径、等于半径、大于半径的问题。圆的半径r=，圆心(0，0)到直线y=x+b的距离为，当d<r时，即－2<b<2时，圆与直线相交，有两个公共点；

当d=r时，即b=2或b=－2时，圆与直线相切，直线与圆有一个公共点；当d>r时，即b<－2或b>2时，圆与直线相离，直线与圆没有公共点。例2．已知圆的方程是x2+y2=r2，求过圆上一点M(x0，y0)的切线方程。解：如果x0≠0且y0≠0，则直线OM的方程为y=，从而过M点的圆的切线的斜率为，因此所求的圆的切线方程为

化简得x0x+y0y=x02+y02.

因为点(x0，y0)在圆上，所以x02+y02=r2.所以过圆x2+y2=r2上一点(x0，y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2.

如果x0=0，或y0=0，我们容易验证，过点M(x0，y0)的切线方程也可以表示为x0x+y0y=r2的形式。因此，所求的切线方程为x0x+y0y=r2.三.圆的切线的求法：直线与圆相切，切线的求法：（1）当点(x0，y0)在圆x2+y2=r2上时，切线方程为x0x+y0y=r2；（2）若点(x0，y0)在圆(x－a)2+(y－b)2=r2上时，切线方程为(x0－a)(x－a)+(y0－b)(y－b)=r2；

（3）斜率为k且与圆(x－a)2+(y－b)2=r2相切的切线方程的求法：

先设切线方程为y=kx+m，然后变成一般式kx－y+m=0，利用圆心到切线的距离等于半径来列出方程求m；（4）点(x0，y0)在圆外面，则切线方程为y－y0=k(x－x0)，再变成一般式，因为与圆相切，利用圆心到直线距离等于半径，解出k.

注意若此方程只有一个实根，则还有一条斜率不存在的直线，务必要补上四．直线与圆相交的弦长公式平面几何法求弦长公式：

如图所示，直线l与圆相交于两点A、B，线段AB的长即为直线l与圆相交的弦长.设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为AB，则有即AB=

例3．直线l经过点P(5，5)，且和圆C：x2+y2=25相交，截得弦长为4，求l的方程.x－2y+5=0，或2x－y－5=0.练习题：1．直线x+y=m与圆x2+y2=m(m>0)相切，则m=（）（A）（B）（C）（D）2D2．曲线与直线y=k(x－2)+4有两个交点，则实数k的取值范围是（

）（A）（B）（C）（D）D3．圆心为(1，－2)、半径为2的圆在x轴上截得的弦长为（

）（A）8（B）6

（C）6（D）4A4．直线x+y=1被圆x2+y2－2x－2y－7=0所截得线段的中点是（

）（A）（B）(0，0)（C）（D）A5．以点P(－4，3)为圆心的圆与直线2x+y－5=0相离，则圆P的半径r的取值范围是（

）（A）(0，2)（B）(0，)

（C）(0，2)（D）(0，10)C6．已知曲线5x2－y2+5=0与直线2x－y+m=0无交点，则m的取值范围是

.－1<m<17．由点P(1，－2)向圆x2+y2+2x－2y－2=0引的切线方程是