株洲市重点中学2022年九年级数学第一学期期末统考试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题(每小题3分,共30分)1．如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20°，则∠BOD等于（）A．20° B．30° C．40° D．60°2．一元二次方程中至少有一个根是零的条件是()A．且 B． C．且 D．3．（2015重庆市）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为3，1．反比例函数的图象经过A，B两点，则菱形ABCD的面积为（）A．2 B．4 C． D．4．若两个相似三角形的周长之比为1∶4，则它们的面积之比为（）A．1∶2 B．1∶4 C．1∶8 D．1∶165．如图，、是的两条弦，若，则的度数为（）A． B． C． D．6．若双曲线经过第二、四象限，则直线经过的象限是（）A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限7．若一个扇形的圆心角是45°，面积为，则这个扇形的半径是()A．4 B． C． D．8．已知3x＝4y，则＝()A． B． C． D．以上都不对9．如图，AB是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B出发，先沿水平方向向右行走20米到达点C，再经过一段坡度（或坡比）为i=1：0.75、坡长为10米的斜坡CD到达点D，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E（A，B，C，D，E均在同一平面内）．在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°，则建筑物AB的高度约为（参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°=0.45）（）A．21.7米 B．22.4米 C．27.4米 D．28.8米10．如图，函数的图象与轴的一个交点坐标为(3,0)，则另一交点的横坐标为（）A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1二、填空题(每小题3分,共24分)11．如图，圆心都在x轴正半轴上的半圆O1，半圆O2，…，半圆On与直线l相切．设半圆O1，半圆O2，…，半圆On的半径分别是r1，r2，…，rn，则当直线l与x轴所成锐角为30°，且r1＝1时，r2018＝________.12．已知一次函数y＝ax＋b与反比例函数y＝的图象相交于A(4，2)，B(－2，m)两点，则一次函数的表达式为____________．13．如图，圆锥的表面展开图由一扇形和一个圆组成，已知圆的面积为100π，扇形的圆心角为120°，这个扇形的面积为．14．已知矩形ABCD，AB=3,AD=5,以点A为圆心，4为半径作圆，则点C与圆A的位置关系为__________.15．中国“一带一路”给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2016年人均年收入20000元，到2018年人均年收入达到39200元．则该地区居民年人均收入平均增长率为_____．(用百分数表示)16．等腰三角形的底角为15°，腰长为20cm，则此三角形的面积为．17．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，以原点为位似中心，把线段放大，点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为__________．18．如图，一个宽为2cm的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”（单位：cm），那么该光盘的直径是_____________cm．三、解答题(共66分)19．（10分）如图，为正方形对角线上一点，以为圆心，长为半径的与相切于点.（1）求证：与相切.（2）若正方形的边长为1，求半径的长.20．（6分）如图，AB=AC，CD⊥AB于点D，点O是∠BAC的平分线上一点⊙O与AB相切于点M，与CD相切于点N（1）求证：∠AOC=135°（2）若NC=3，BC=，求DM的长21．（6分）用适当的方法解方程（1）（2）22．（8分）如图，抛物线（）与双曲线相交于点、，已知点坐标，点在第三象限内，且的面积为3（为坐标原点）.（1）求实数、、的值；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点使得为等腰三角形？若存在请求出所有的点的坐标，若不存在请说明理由.（3）在坐标系内有一个点，恰使得，现要求在轴上找出点使得的周长最小，请求出的坐标和周长的最小值.23．（8分）如图，直线y＝1x+1与y轴交于A点，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点M，过M作MH⊥x轴于点H，且tan∠AHO＝1．（1）求H点的坐标及k的值；（1）点P在y轴上，使△AMP是以AM为腰的等腰三角形，请直接写出所有满足条件的P点坐标；（3）点N（a，1）是反比例函数y＝（x＞0）图象上的点，点Q（m，0）是x轴上的动点，当△MNQ的面积为3时，请求出所有满足条件的m的值．24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠DAB=45°，BC∥AD，CD∥AB．（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．25．（10分）某商店销售一种商品，每件成本8元，规定每件商品售价不低于成本，且不高于20元，经市场调查每天的销售量y（件）与每件售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：售价x（元件）1011121314x销售量y（件）100908070（1）将上面的表格填充完整；（2）设该商品每天的总利润为w元，求w与x之间的函数表达式；（3）计算（2）中售价为多少元时，获得最大利润，最大利润是多少？26．（10分）在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板（△ABC）按如图所示放置，若AO＝2，OC＝1，∠ACB＝90°．（1）直接写出点B的坐标是；（2）如果抛物线l：y＝ax2﹣ax﹣2经过点B，试求抛物线l的解析式；（3）把△ABC绕着点C逆时针旋转90°后，顶点A的对应点A1是否在抛物线l上？为什么？（4）在x轴上方，抛物线l上是否存在一点P，使由点A，C，B，P构成的四边形为中心对称图形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、C【解析】试题分析：由线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，根据垂径定理的即可求得：，然后由圆周角定理可得∠BOD=2∠CAB=2×20°=40°．故选C．考点：圆周角定理；垂径定理．2、D【分析】代入，求得一元二次方程需满足的条件．【详解】由题意得，一元二次方程存在一个根代入到中解得故答案为：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．3、D【解析】试题解析：过点A作x轴的垂线，与CB的延长线交于点E，∵A，B两点在反比例函数y=的图象上且纵坐标分别为3，1，∴A，B横坐标分别为1，3，∴AE=2，BE=2，∴AB=2，S菱形ABCD=底×高=2×2=4，故选D．考点：1.菱形的性质；2.反比例函数图象上点的坐标特征．4、D【分析】相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.【详解】∵两个相似三角形的周长之比为1∶4∴它们的面积之比为1∶16故选D.【点睛】本题考查相似三角形的性质，本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握相似三角形的性质，即可完成.5、C【分析】根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可求出结论．【详解】解：∵∴∠BOC=2∠A=60°故选C．【点睛】此题考查的是圆周角定理，掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解决此题的关键．6、C【分析】根据反比例函数的性质得出k﹣1＜0，再由一次函数的性质判断函数所经过的象限．【详解】∵双曲线y经过第二、四象限，∴k﹣1＜0，则直线y=2x+k﹣1一定经过一、三、四象限．故选：C．【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的性质，属于函数的基础知识，难度不大．7、A【分析】根据扇形面积公式计算即可．【详解】解：设扇形的半径为为R，由题意得,解得R=4.故选A.【点睛】本题考查了扇形的面积公式，R是扇形半径，n是弧所对圆心角度数，π是圆周率，L是扇形对应的弧长.那么扇形的面积为：.8、A【分析】根据3x＝4y得出x＝y，再代入要求的式子进行计算即可．【详解】∵3x＝4y，∴x＝y，∴＝＝；故选：A．【点睛】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质即两内项之积等于两外项之积是解题的关键．9、A【解析】作BM⊥ED交ED的延长线于M，CN⊥DM于N．首先解直角三角形Rt△CDN，求出CN，DN，再根据tan24°=，构建方程即可解决问题.【详解】作BM⊥ED交ED的延长线于M，CN⊥DM于N．在Rt△CDN中，∵，设CN=4k，DN=3k，∴CD=10，∴（3k）2+（4k）2=100，∴k=2，∴CN=8，DN=6，∵四边形BMNC是矩形，∴BM=CN=8，BC=MN=20，EM=MN+DN+DE=66，在Rt△AEM中，tan24°=，∴0.45=，∴AB=21.7（米），故选A．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．10、D【分析】根据到函数对称轴距离相等的两个点所表示的函数值相等可求解．【详解】根据题意可得：函数的对称轴直线x=1，则函数图像与x轴的另一个交点坐标为(－1，0)．故横坐标为-1,故选D考点：二次函数的性质二、填空题(每小题3分,共24分)11、1【解析】分别作O1A⊥l，O2B⊥l，O3C⊥l，如图，

∵半圆O1，半圆O2，…，半圆On与直线L相切，

∴O1A=r1，O2B=r2，O3C=r3，

∵∠AOO1=30°，

∴OO1=2O1A=2r1=2，

在Rt△OO2B中，OO2=2O2B，即2+1+r2=2r2，

∴r2=3，

在Rt△OO2C中，OO3=2O2C，即2+1+2×3++r3=2r3，

∴r3=9=32，

同理可得r4=27=33，

所以r2018=1．

故答案为1．点睛：找规律题需要记忆常见数列1,2,3,4……n1,3,5,7……2n-12,4,6,8……2n2,4,8,16,32……1,4,9,16,25……2,6,12,20……n(n+1)一般题目中的数列是利用常见数列变形而来，其中后一项比前一项多一个常数，是等差数列，列举找规律.后一项是前一项的固定倍数，则是等比数列，列举找规律.12、y＝x－1【详解】解：把（4，1）代入，得k＝8，∴反比例函数的表达式为，把（－1，m）代入，得m＝－4，∴B点的坐标为（－1，－4），把（4，1），（－1，－4）分别代入y＝ax＋b，得解得，∴直线的表达式为y＝x－1．故答案为：y＝x－1．13、300π【解析】试题分析：首先根据底面圆的面积求得底面的半径，然后结合弧长公式求得扇形的半径，然后利用扇形的面积公式求得侧面积即可．∵底面圆的面积为100π，∴底面圆的半径为10，∴扇形的弧长等于圆的周长为20π，设扇形的母线长为r，则=20π，解得：母线长为30，∴扇形的面积为πrl=π×10×30=300π考点：（1）、圆锥的计算；（2）、扇形面积的计算14、点C在圆外【分析】由r和CA，AB、DA的大小关系即可判断各点与⊙A的位置关系．【详解】解：∵AB＝3厘米，AD＝5厘米，∴AC＝厘米，∵半径为4厘米，∴点C在圆A外【点睛】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．15、40%【解析】设该地区居民年人均收入平均增长率为，根据到2018年人均年收入达到39200元列方程求解即可.【详解】设该地区居民年人均收入平均增长率为，，解得，，(舍去)，∴该地区居民年人均收入平均增长率为，故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用---增长率问题；本题的关键是掌握增长率问题中的一般公式为a(1+x)n

=b，其中n为共增长了几年，a为第一年的原始数据，b是增长后的数据，x是增长率．16、100【解析】试题分析：先作出图象，根据含30°角的直角三角形的性质求出腰上的高，再根据三角形的面积公式即可求解．如图，∵∠B=∠C=15°∴∠CAD=30°∴CD=AC=10∴三角形的面积考点：本题考查的是三角形外角的性质，含30°角的直角三角形的性质点评：解答本题的关键是熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；30°角的所对的直角边等于斜边的一半．17、【分析】由题意可知：OA=2，AB=1，，△OAB∽△，根据相似三角形的性质列出比例式即可求出，从而求出点的坐标．【详解】由题意可知：OA=2，AB=1，，△OAB∽△∴即解得：∴点的坐标为（4,2）故答案为：．【点睛】此题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边成比例是解决此题的关键．18、10【分析】本题先根据垂径定理构造出直角三角形，然后在直角三角形中已知弦长和弓形高，根据勾股定理求出半径，从而得解．【详解】如图，设圆心为O，弦为AB，切点为C．如图所示．则AB＝8cm，CD＝2cm．连接OC，交AB于D点．连接OA．∵尺的对边平行，光盘与外边缘相切，∴OC⊥AB．∴AD＝4cm．设半径为Rcm，则R2＝42＋（R−2）2，解得R＝5，∴该光盘的直径是10cm．故答案为：10.【点睛】此题考查了切线的性质及垂径定理，建立数学模型是关键．三、解答题(共66分)19、（1）见解析；（2）【分析】（1）根据正方形的性质可知，AC是角平分线，再根据角平分线的性质进行证明即可；（2）根据正方形的边长求出AC的长，再根据等腰直角三角形的性质得出即可求出.【详解】解：（1）如图，连接，过点作于点，∵与相切，∴∵四边形是正方形，∴平分，∴，∴与相切.（2）∵四边形为正方形，∴，∴，∴，∴.又，∴，解得.【点睛】本题主要考查了正方形的性质和圆的切线的性质和判定，还运用了数量关系来证明圆的切线的方法.20、（1）见解析；（2）DM=1．【分析】(1)只要证明OC平分∠ACD，即可解决问题；(2)由切线长定理可知：AM=AE，DM=DN，CN=CE=3，设DM=DN=x，在Rt△BDC中，根据，构建方程即可解决问题．【详解】（1）证明：连接OM，ON，过O点做OE⊥AC，交AC于E，如图所示，∵⊙O与AB相切于点M，与CD相切于点N∴OM⊥AB，ON⊥CD，∵OA平分∠BAC，OE⊥AC，OM⊥AB∴OM=OE即：E为⊙O的切点；∴OE=ON，又∵OE⊥AC，ON⊥CD∴OC平分∠ACD∵CD⊥AB∴∠ADC=90°∴∠DAC+∠ACD=90°∴∠OAC+∠OCA=45°∴∠AOC=180°-（∠OAC+∠OCA）=180°-45°=135°，即：∠AOC=135°（2）由（1）得，AM=AE，DM=DN，CN=CE=3，设DM=DN=x，∵AB=AC∴BD=AB-AD=AC-AE-DM=CE=DM=3-x∵CD=3+x在Rt∆BCD中，由勾股定理得：即：解得：x=1或x=-1（舍去）即DM=1．【点睛】本题考查切线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用参数构建方程．21、（1）；（2）．【分析】（1）利用因式分解法解方程即可；（2）利用直接开方法解方程即可．【详解】（1），，，或，；（2），，，．【点睛】本题考查了解一元二次方程，主要解法包括：直接开方法、配方法、公式法、因式分解法、换元法等，熟练掌握各解法是解题关键．22、（1），；（1）存在，，，，，；（3）【分析】（1）由点A在双曲线上，可得k的值，进而得出双曲线的解析式．设()，过A作AP⊥x轴于P，BQ⊥y轴于Q，直线BQ和直线AP相交于点M．根据=3解方程即可得出k的值，从而得出点B的坐标，把A、B的坐标代入抛物线的解析式即可得到结论；（1）抛物线对称轴为，设，则可得出；；．然后分三种情况讨论即可；（3）设M(x，y)．由MO=MA=MB，可求出M的坐标．作B关于y轴的对称点B'．连接B'M交y轴于Q．此时△BQM的周长最小．用两点间的距离公式计算即可．【详解】（1）由知：k=xy=1×4=4，∴．设()．过A作AP⊥x轴于P，BQ⊥y轴于Q，直线BQ和直线AP相交于点M，则S△AOP=S△BOQ=1．令：，整理得：，解得：，．∵m＜0，∴m=-1，故．把A、B带入解出：，∴．（1）∴抛物线的对称轴为．设，则，，．∵△POB为等腰三角形，∴分三种情况讨论：①，即，解得：，∴，；②，即，解得：，∴，；③，即，解得：∴；（3）设．∵，，，∴，，．∵，∴解得：，∴．作B关于y轴的对称点B'坐标为：(1，-1)．连接B'M交y轴于Q．此时△BQM的周长最小．=MB'+MB．【点睛】本题是二次函数综合题．考查了用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质、轴对称-最值问题等．第（1）问的关键是割补法；第（1）问的关键是分类讨论；第（3）问的关键是求出M的坐标．23、（1）k＝4；（1）点P的坐标为（0，6）或（0，1+），或（0，1﹣）；（2）m＝7或2．【解析】（1）先求出OA=1，结合tan∠AHO=1可得OH的长，即可得知点M的横坐标，代入直线解析式可得点M坐标，代入反比例解析式可得k的值；

（1）分AM=AP和AM=PM两种情况分别求解可得；

（2）先求出点N（4，1），延长MN交x轴于点C，待定系数法求出直线MN解析式为y=-x+3．据此求得OC=3，再由S△MNQ=S△MQC-S△NQC=2知QC=1，再进一步求解可得．【详解】（1）由y＝1x+1可知A（0，1），即OA＝1，∵tan∠AHO＝1，∴OH＝1，∴H（1，0），∵MH⊥x轴，∴点M的横坐标为1，∵点M在直线y＝1x+1上，∴点M的纵坐标为4，即M（1，4），∵点M在y＝上，∴k＝1×4＝4；（1）①当AM＝AP时，∵A（0，1），M（1，4），∴AM＝，则AP＝AM＝，∴此时点P的坐标为（0，1﹣）或（0，1+）；②若AM＝PM时，设P（0，y），则PM＝，∴＝，解得y＝1（舍）或y＝6，此时点P的坐标为（0，6），综上所述，点P的坐标为（0，6）或（0，1+），或（0，1﹣）；（2）∵点N（a，1）在反比例函数y＝（x＞0）图象上，∴a＝4，∴点N（4，1），延长MN交x轴于点C，设直线MN的解析式为y＝mx+n，则有解得，∴直线MN的解析式为y＝﹣x+3．∵点C是直线y＝﹣x+3与x轴的交点，∴点C的坐标为（3，0），OC＝3，∵S△MNQ＝2，∴S△MNQ＝S△MQC﹣S△NQC＝×QC×4﹣×QC×1＝QC＝2，∴QC＝1，∵C（3，0），Q（m，0），∴|m﹣3|＝1，∴m＝7或2，故答案为7或2．【点睛】本题是反比例函数综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求一次函数和反比例函数解析式、等腰三角形的判定与性质、两点之间的距离公式及三角形的面积计算．24、（1）直线CD与⊙O相切（1）【解析】（1）直线CD与⊙O相切．如图，连接OD．∵OA=OD，∠DAB=45°，∴∠ODA=45°，∴∠AOD=90°．∵CD∥AB，∴∠ODC=∠AOD=90°，即OD⊥CD．又∵点D在⊙O上，直线CD与⊙O相切．（1）∵BC∥AD，CD∥AB，∴四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=1．∴S梯形OBCD=，∴图中阴影部分的面积为S梯形OBCD-S扇形OBD=25、（1）见解析；（2）w＝﹣10x2+280x﹣1600；（3）售价为14元时，获得最大利润，最大利润是360元．【分析】（1）设y=kx+b，由待定系数法可列出方程组：，解得：则y=﹣10x+200，当x=14时，y=60.（2）由题意得，w与x之间的函数表达式为：w＝（x﹣8）（﹣10x+200）＝﹣10x2+280x﹣1600；（3）∵w＝﹣10x2+280x﹣1600＝﹣10（x﹣14）2+360，故售价为14元时，获得最大利润，最大利润是360元．【详解】解：（1）设销售量y（件）与每件售价x（元）满足一次函数关系为y＝kx+b，∴，解得：，∴销售量y（件）与每件售价x（元）满足一次函数关系为y＝﹣10x+200，当x＝14时，y＝60，故答案为：60，﹣10x+200；（2）由题意得，w与x之间的函数表达式为：w＝（x﹣8）（﹣10x+200）＝﹣10x2+280x﹣1600；（3）∵w＝﹣10x2+280x﹣1600＝﹣10（x﹣14）2+360，故售价为14元时，获得