两条直线的位置关系、距离公式（课时训练） 【含答案】 高二数学上学期对点训练（人教A版2019选择性必修第一册）

两条直线的位置关系、距离公式A组基础巩固1．（2022·全国·高二单元测试）直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点M，则直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为（

）A．2x＋3y－12＝0 B．2x＋3y＋12＝0 C．3x－2y－6＝0 D．2x＋3y＋6＝0【答案】B【分析】先求出定点M的坐标，再设出与直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程，利用点到直线距离公式求出答案.【详解】由ax＋y＋3a－1＝0得，由，得，∴M（－3，1）．设直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为，∴，解得:C＝12或C＝－6（舍去），∴直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为2x＋3y＋12＝0．故选：B．2．（2022·全国·高二课时练习）已知，两点到直线的距离相等，则实数a的值为（

）A．－3 B．3 C．－1 D．－3或3【答案】D【分析】方法一：根据点到线的距离公式求解即可，方法二：数形结合分析可得直线或AB的中点在直线l上，再分别计算即可.【详解】方法一

由题意得，即，所以或，解得或．方法二

因为A，B两点到直线l的距离相等，则直线或AB的中点在直线l上，则或，得或3．故选：D3．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系内，一束光线从点A（1，2）出发，被直线反射后到达点B（3，6），则这束光线从A到B所经过的距离为（

）A． B． C．4 D．5【答案】B【分析】作出点A关于直线的对称点，连接，利用光线关于直线对称得到即为光线经过路程的最小值，再利用两点间的距离公式进行求解.【详解】作出点A关于直线的对称点，连接，交直线于点，则即为光线经过路程的最小值，且，此即光线从A到B所经过的距离为.故选：B．4．（2022·天津市第九十五中学益中学校高二期末）与直线关于轴对称的直线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数，据此即可求解.【详解】设(x，y)是与直线关于轴对称的直线上任意一点，则(x，－y)在上，故，∴与直线关于轴对称的直线的方程为.故选：D.5．（2022·全国·高二专题练习）若点到直线：的距离为3，则（

）A．3 B．2 C． D．1【答案】B【分析】利用距离公式可求的值.【详解】由题设可得，结合可得，故选：B.6．（2022·全国·高二专题练习）已知点，点Q是直线l：上的动点，则的最小值为（

）A． B． C．2 D．3【答案】B【分析】由点到直线的距离公式即可求解.【详解】解：由题意，的最小值为点到直线l：的距离，故选：B.7．（2022·江苏·高二专题练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线l的方程为，则“将军饮马”的最短总路程是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求点关于直线对称的点，再根据两点之间线段最短，即可得解.【详解】如图，设关于直线对称的点为，则有，可得，可得，依题意可得“将军饮马”的最短总路程为，此时，故选：D.8．（2022·全国·高三专题练习）原点到直线的距离的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出直线过的定点，当时，原点到直线距离最大，则可求出原点到直线距离的最大值；【详解】因为可化为，所以直线过直线与直线交点，联立可得所以直线过定点，当时，原点到直线距离最大，最大距离即为，此时最大值为，故选：C.9．（2022·青海海东·高二期末（理））数学家歌拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知的三个顶点分别为，，，则的欧拉线方程是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据的三个顶点坐标，先求解出重心的坐标，然后再根据三个点坐标求解任意两条垂直平分线的方程，联立方程，即可算出外心的坐标，最后根据重心和外心的坐标使用点斜式写出直线方程.【详解】由题意可得的重心为．因为，，所以线段的垂直平分线的方程为．因为，，所以直线的斜率，线段的中点坐标为，则线段的垂直平分线的方程为．联立，解得，则的外心坐标为，故的欧拉线方程是，即．故选：B.10．（2021·湖北·高二期中）直线和直线之间的距离为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】直接利用两平行直线的距离公式，即可求解.【详解】所求距离.故选：A.11．（2022·陕西·武功县普集高级中学高一期末）已知x，y满足，求的最小值为（

）A．2 B． C．8 D．【答案】C【分析】利用两点间的距离公式结合点到直线的距离公式即可求解.【详解】解：表示点与直线上的点的距离的平方所以的最小值为点到直线的距离的平方所以最小值为：故选：C.12．（2022·全国·高二专题练习）已知直线，，则与间的距离为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用平行线间的距离公式可求得结果.【详解】由平行线间的距离公式可知，与间的距离为.故选：A.13．（2021·浙江·绍兴鲁迅中学高二期中）如图，在直角坐标系中，三角形ABC的顶点坐标分别为、、，O为原点，从O点出发的光线先经AC上的点反射到边AB上，再由AB上的点反射回到BC边上的点停止，则光线的斜率的范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】入射角等于反射角，把以为轴进行翻折，使点落到，再以为轴，把进行翻折，使点落到，由光的反射原理得光线的斜率满足，根据为等边三角形得出，利用两点求斜率即可求解.【详解】入射角等于反射角，把以为轴进行翻折，使点落到，再以为轴，把进行翻折，使点落到，如图：由光的反射原理，若或，则光线反射到边后不会反射到边上，光线的斜率满足，，，，，是等边三角形，由翻折可得，直线的斜率，直线的斜率，光线的斜率的范围为.故选：A14．（2021·江苏·高三）在直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点，称为整点．设k为整数，当直线与直线的交点为整点时，k的值可以取（

）个．A．8个 B．9个 C．7个 D．6个【答案】A【分析】联立方程确定k和x满足的关系式，再根据k和x均为整数确定k和x的值从而得出答案.【详解】根据题意，联立两直线方程得化简得，即时，;，即时，；，即时，;，即时，;，即时，；，即时，；，即时，；，即时，.所以k的值可以取8个，选项A正确.故选：A.15．（2022·全国·高二）已知是直线上不同的两点，则关于的方程组的解的情况是（

）A．无论如何，总有解 B．无论如何，总有唯一解C．存在，使之有无穷解 D．存在，使之无解【答案】D【分析】将，代入方程组得，通过讨论与即可判断结果．【详解】由于是直线上不同的两点，所以，则化为两式相减得，因为，则有代入得，所以当时，无解，所以关于的方程组无解；当时，有唯一解，所以关于的方程组有唯一解；故选：D16．（2021·江苏镇江·高二期中）已知直线l：，直线m：，若直线l与m的交点在第一象限，则实数k的取值范围为（

）A． B． C． D．或【答案】A【分析】求出两直线的交点，利用交点在第一象限得出关于k的不等式，解之即可得解.【详解】因为直线l：，直线m：相交，，即联立，解得又直线l与m的交点在第一象限，，解得故选：A17．（2021·湖北·汉阳一中高二阶段练习）若入射光线所在直线的方程为，经直线反射，则反射光线所在直线的方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】首先在直线上取和，分别求其关于的对称点，再利用点斜式求反射光所在直线即可。【详解】对直线，令，解得，设，关于直线的对称点为，则，解得，即，对直线，令，解得，设，关于直线的对称点为，则，解得，即，，直线：，即。故选：C18．（2022·全国·高二课时练习）若直线l经过点，且点，到直线l的距离相等，则直线l的方程为______．【答案】或【分析】讨论直线的斜率是否存在，结合点到直线的距离公式列方程求解即可.【详解】当直线l的斜率不存在时，方程为，显然点，到直线l的距离相等，符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即，根据题意，得，即，可得，解得，∴直线l的方程为．综上，直线l的方程为或．故答案为：或．19．（2022·全国·高二专题练习）若平面内两条平行线：：间的距离为，则实数_____.【答案】-1【分析】根据两直线平行的公式可得或，再代入计算平行线间的距离判断即可【详解】平面内两条平行线：：，或．当时，两条平行直线即：：，它们之间的距离为，不满足条件．当时，两条平行直线即：：，它们之间的距离为，满足条件，故实数．故答案为：20．（2022·全国·高二专题练习）直线与直线的交点在第四象限，则实数的取值范围为____．【答案】【分析】联立方程求两直线的交点坐标，进而根据第四象限的特征即可列不等式求解.【详解】由题意可得，解得，且，故答案为：21．（2022·广西桂林·高一期末）已知的三个顶点是，则的面积为________．【答案】##【分析】利用两点间的距离公式求得的长度，然后根据，的坐标求得直线的方程，进而利用点到直线的求得到直线的距离，即三角形的高，最后利用面积公式求得答案．【详解】设所在直线方程为，把点，的坐标代入可求得，求得，，直线的方程为，即，点到直线的距离．故答案为：22．（2022·上海奉贤·二模）若关于，的方程组有唯一解，则实数a满足的条件是________.【答案】##【分析】由题给方程组有唯一解，可得方程有唯一解，进而得到实数a满足的条件【详解】由，可得，由关于，的方程组有唯一解，可得方程有唯一解，则故答案为：23．（2022·陕西·无高一阶段练习）已知两直线：，：，若，则实数_________．【答案】＃＃＃＃【分析】根据，但注意对结果进行检验，防止出现重合．【详解】若，则，解得或若，则：，：，重合，不合题意，舍去；若，则：，：，不重合，成立故答案为：．24．（2022·山东临沂·三模）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直线上，这条直线后人称之为三角形的欧拉线．已知的顶点，则其欧拉线方程为______．【答案】【分析】分别算出重心坐标和垂心坐标即可求得欧拉线方程.【详解】设的重心为，垂心为由重心坐标公式得，所以由题，的边上的高线所在直线方程为，直线，，所以的边上的高线所在直线方程为所以所以欧拉线的方程为，即.故答案为：25．（2022·江苏·高二）两条平行直线，之间的距离为___________.【答案】【分析】直接利用两平行线间的距离公式计算可得；【详解】解：因为，，所以；故答案为：26．（2023·全国·高三专题练习）若，直线和直线与两坐标轴围成一个四边形，则使这个四边形面积最小的k值中______．【答案】#【分析】分别得出直线和过定点，以及与轴的交点，和与轴的交点，结合三角形和梯形的面积公式，求得四边形的面积的表达式，即可求解.【详解】如图所示，直线，过定点，与轴的交点，直线过定点，与轴的交点，由题意知，四边形的面积等于的面积和梯形的面积之和，所以所求四边形的面积为：，当时，所求四边形的面积最小.故答案为：27．（2022·全国·高三专题练习）两平行线与之间的距离为______．【答案】【分析】首先将直线化为，再根据两平行线之间的距离公式计算可得；【详解】因为直线，即为，所以两平行直线与之间的距离为.故答案为：.28．（2021·安徽·南陵中学高二阶段练习）直线与之间的距离为，则实数a等于________．【答案】0或##-20或0【分析】利用两平行线间的距离公式求解.【详解】解：方程为，因为直线与之间的距离为，所以，解得或．故答案为：0或29．（2022·全国·高二课时练习）若直线不能构成三角形，则的取值集合是________.【答案】【分析】首先解出直线的交点，若三条直线不能构成三角形，则过直线的交点，或者与直线其中一条直线平行，分三种情况讨论，求出的值，得到答案.【详解】由，解得，即直线与的交点为M（1，1），因为直线不能构成三角形，所以过点M或或，若过点M，则，即，若，则，即，若，则，即,综上，m的取值集合为.故答案为：.30．（2022·全国·高二专题练习）若，直线与和坐标轴围成的四边形面积的取值范围是____．【答案】【分析】首先求出两直线的交点坐标，再分别求出两直线与坐标轴的交点坐标，最后根据及二次函数的性质计算可得.【详解】解：由得，即两直线的交点为定点，而直线：与轴交于点，与轴的交点，直线：与轴的交点，与轴的交点，因为，所以，，，，如图所示，，，，则，故时，所求面积的取值范围是．故答案为：

B组能力提升31．（2022·山东青岛·高三开学考试）（多选题）已知直线，则（

）A．直线过定点B．当时，C．当时，D．当时，两直线之间的距离为1【答案】ACD【分析】根据直线过定点的求法，可判断A,根据直线的一般式在垂直平行满足的条件可判断BC,根据两平行线间距离公式即可求解D.【详解】对A;变形为令，则，因此直线过定点，A正确；对于B;当时，，故两直线不垂直，故B错误；对于C;当时，，故两直线平行，C正确；对于D;当时,则满足，此时则两直线距离为，故D正确；故选：ACD32．（2021·黑龙江牡丹江·高二阶段练习）（多选题）已知直线与直线的交点在第三象限，则实数k的值可能为（

）A． B． C． D．2【答案】BC【分析】联立方程求出交点坐标，结合交点在第三象限，得出k的范围，结合选项可求.【详解】联立可得；因为两直线的交点在第三象限，所以且，解得.故选：BC.33．（2021·河北·徐水综合高中高二阶段练习）（多选题）设、为不同的两点，直线，，以下命题中正确的为（

）A．存在实数，使得点在直线上；B．若，则过的直线与直线平行；C．若，则直线经过的中点；D．若，则点在直线l的同侧且直线l与线段的延长线相交；【答案】BCD【分析】对于A，点在直线上，则点的坐标满足直线方程，从而得到，进而可判断A不正确．对于B，当时，若，则，整理得，再结合不在直线上科判断，当时，若，可判断故，进而得到，再综合得答案．对于C，若，即可得到，即可判断C．对于D，若，则，或，根据点与直线的位置关系即可判定D．【详解】解：对于A选项，若点在直线上则，不存在实数，使点在直线上，故A不正确；对于B选项，当时，若，则，整理得，此时直线垂直于轴，直线也垂直于轴，由于不在直线上，故过、两点的直线与直线平行；当时，若，则，整理得，此时若成立，则，与、为不同的两点矛盾，故，所以，即，所以过、两点的直线与直线平行，综合可知，B正确；对于C选项，若，则即，，直线经过线段的中点，即C正确；对于D选项，若，则，或，所以，且，所以点在直线的同一侧且到直线的距离不相等，所以直线与线段不平行．故D正确．故选：BCD．34．（2021·湖南·嘉禾县第一中学高二阶段练习）（多选题）已知直线与交于点，则（

）A．B．C．点到直线的距离为D．点到直线的距离为【答案】ABD【分析】联立直线方程结合其交点坐标求参数a、b，进而应用点线距离公式求到直线的距离即可.【详解】由题意，得：，解得，，故A、B正确，∴到直线的距离，故C错误，D正确.故选：ABD.35．（2022·江苏·高二专题练习）（多选题）已知直线和，若直线到直线的距离与到直线的距离之比为，则直线的方程可能为（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】设的方程为（且），求出直线到，的距离，根据距离之比，列方程求解即可.【详解】直线的方程可化为．设到的距离为，到的距离为，的方程为（且），则，．依题意得，即，化简得或，解得或．因此，直线的方程为或．故选：BD36．（2021·福建宁德·高二期中）（多选题）已知点到直线的距离等于1，则（

）A． B． C． D．3【答案】AB【分析】根据点到直线的距离公式即可得到答案.【详解】依题意有.故选：AB.37．（2022·全国·高二课时练习）（多选题）到直线的距离等于的直线方程可能为（

）A． B．C． D．【答案】CD【分析】利用平行线间的距离公式即可求解.【详解】解：因为所求直线与直线的距离为，所以可得所求直线与已知直线平行，设所求直线方程为：，，，解得：或，故所求直线方程为：或，故选：CD.38．（2021·浙江湖州·高二期中）（多选题）若，分别为，上的动点，且，下面说法正确的有（

）A．直线的斜率为定值 B．当时，的最小值为C．当的最小值为1时， D．【答案】ABD【分析】先利用两直线平行的条件确定和的值，由此判断选项A、D是否正确；当时，利用两平行线间的距离公式求得的最小值，即可判断B选项；由的最小值为，利用两平行线间的距离公式求出的值，即可判断C选项.【详解】解：且，，，故A、D选项正确；分别为上的动点，且∥，的最小值为两平行直线间的距离，当时，的最小值为，故B选项正确；由，得出，则，又可化为，当的最小值为时，，或，故C选项错误；故选：ABD.39．（2021·全国·高二课时练习）（多选题）已知直线与，则（

）A．与的交点坐标为B．过与的交点且平行于直线的直线方程为C．直线与坐标轴围成的三角形面积是直线与坐标轴围成的三角形面积的倍D．过与的交点且垂直于直线的直线方程为【答案】AB【分析】求出两直线的交点坐标可判断A选项的正误；利用两直线平行求出所求直线方程，可判断B选项的正误；利用三角形的面积公式可判断C选项的正误；由两直线垂直求出所求直线的方程，可判断D选项的正误.【详解】对于A，由，解得，所以与的交点坐标是，A正确．对于B，设过与的交点且平行于直线的直线的方程为，把点代入得，得，故所求直线的方程为，B正确；对于C，直线交轴于点，交轴于点，故直线与坐标轴围成的三角形面积为，直线交轴于点，交轴于点，直线与坐标轴围成的三角形面积为，所以C不正确；对于D，设过与的交点且垂直于直线的直线的方程为，把点代入得，得，故所求直线的方程为，D不正确．故选：AB.40．（2021·广东·东莞四中高二期中）（多选题）已知直线，则下列结论正确的是（

）A．直线的倾斜角是B．过与直线平行的直线方程是C．若直线，则D．点到直线的距离是2【答案】BD【分析】A.利用直线的斜率和倾斜角的关系求解判断；B.根据与直线平行，且过，利用点斜式写出方程判断；C.由两直线的斜率之积是否为-1判断；D.利用点到直线的距离公式求解判断.【详解】A.因为，且，则，故错误；B.因为与直线平行，且过，所以直线方程为，即，故正确；C.因为，且，故错误；D.点到直线的距离是，故正确；故选：BD41．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，某县相邻两镇在一平面直角坐标系中的坐标为A（1，2），B（4，0），一条河所在直线的方程为l：x＋2y－10＝0．若在河边l上建一座供水站P，使之到A，B两镇所使用的管道最省，那么供水站P应建在什么地方？并说明理由．【答案】供水站P应建在点处，理由见解析【分析】作点A关于直线l的对称点，连接交l于点P，根据对称性可得供水站建在点P处时，到A，B两镇所使用的管道最省，然后建立方程求解出点的坐标，进而求出直线的方程，联立直线与直线l的方程，求出点P的坐标即可得答案.【详解】解：如图，作点A关于直线l的对