实验用复摆测量刚体的转动惯量课件

实验

用复摆测量刚体的转动惯量

实验用复摆测量刚体的转动惯量1在重力作用下能绕某固定水平轴摆动的刚体称做复摆，

又称物理摆。复摆的摆动中心称为撞击中心。机器中有些必须经受碰撞的转动件，如离合器、冲击摆锤等，为防止巨大瞬时力对轴承的危害，应使碰撞冲击力通过撞击中心。复摆实验是一个传统的实验，

通常用于研究周期与物体摆动中心及摆轴位置的关系，

也用于测定重力加速度。

在重力作用下能绕某固定水平轴摆动的刚体称做复摆，又称物2一、实验目的

(1)学习对长度和时间的较精确的测量。

(2)掌握测量重力加速度的方法,并加深对刚体转动理论的理解。

(3)学习用作图法处理、分析数据。二、实验仪器JD-2物理摆、光电计时器等。

一、实验目的3

1.单摆单摆的工作原理如图3-4-1所示。单摆球的质量为m,当球的半径远小于摆长l时,应用动量矩定理,在直角坐标系下可得小球自由摆动的微分方程为(3-4-1)式中,t为时间,g为重力加速度,l为摆长。

当θ1(rad)很小时,(3-4-2)

则式(3-4-1)可简化为

(3-4-3)1.单摆(3-4-1)式中,t为时间,4图

3-4-1单摆的工作原理

图3-4-1单摆的工作原理5令

(3-4-4)则式(3-4-3)的解为

(3-4-5)式中,θ10、α的值由初始条件所决定。由式(3-4-4)可得单摆周期为

(3-4-6)令(3-4-4)则式(3-4-3)的解为6

2.物理摆一个可绕固定轴摆动的刚体称为复摆或物理摆。如图3-4-2所示,设物理摆的质心为C,质量为M,悬点为O,绕O点在铅直面内转动的转动惯量为J0,OC距离为h。在重力作用下,由刚体绕定轴转动的转动定律可得微分方程为(3-4-7)

令

(3-4-8)2.物理摆(3-4-7)令(3-47仿照单摆,在θ很小时,式(3-4-7)的解为

(3-4-9)(3-4-10)图

3-4-2物理摆(复摆)仿照单摆,在θ很小时,式(3-4-7)的解为(8设摆体沿过质心C的转动惯量为JC,则由平行轴定理可知:(3-4-11)将式(3-4-11)代入式(3-4-10)可得

(3-4-12)式(3-4-12)就是物理摆的自由摆动周期T。

设摆体沿过质心C的转动惯量为JC,则由平行轴定理可知:(9令J=Ma2,a称为回转半径,则有

(3-4-13)因为对任何JC都有JC∝M,所以式(3-4-13)的T与M无关,仅与M的分布(C点)相关。令J=Ma2,a称为回转半径,则有(3-4-101)一次法测重力加速度g由式(3-4-12)可得出

(3-4-14)因此,测出式(3-4-14)右端各量即可得g。摆动周期T用数字计时器可直接测出;M可用天平称出;C点可用杠杆平衡原理等办法求出。对于形状等规则的摆,JC可以通过计算得出。1)一次法测重力加速度g(3-4-14)因此,11

2)二次法测重力加速度g一次法测g虽然简明,但有很大的局限性,特别是对于不规则物理摆,JC就难以确定,为此采用如下“二次法”测g。当M及其分布(C点)确定以后,通过改变h值,作两次测T的实验,运用式(3-4-12)可得2)二次法测重力加速度g12即

(3-4-15)(3-4-16)联立解式(3-4-15)、

式(3-4-16),可得出

(3-4-17)

这样就消去了JC。因此，式(3-4-17)测g就有着广泛的适用性。另外,从式(3-4-17)可十分明确地看到T与M的无关性。即(3-4-15)(3-4-16)联立解式(3-413虽然任意两组(h1,T1)、(h2,T2)实测值都可以由式(3-4－17)算出g,但是对于一个确定的物理摆究竟选取怎样的两组(h,T)数据,才能得出最精确的g的实测结果呢？为此必须研究T(h)关系。将式(3-4-12)平方,可得出(3-4-18)从上式可以看出,T2与h的关系大体为一变形的双曲线型图线。当h→0时,T→∞;当h→∞时,T→∞。可见,在h的某一处一定有一个凹形极小值。为此,对式(3-4-18)作一次求导并令其为0,即由可得(3-4-19)

(3-4-20)虽然任意两组(h1,T1)、(h2,T2)实测值都可以14即移动摆轴所增加的转动惯量恰为质心处的转动惯量。亦即在h=a处所相应的T为极小值。(为什么？)为研究T(h)关系,在0.6m长的扁平摆杆上,每间隔2cm均匀钻出直径为1cm的28个孔,并以此作为O点的Hi值(i=±1,±2,±3,…,±14),于是可得出如图3-4-3所示的曲线。即移动摆轴所增加的转动惯量恰为质心处的转动惯量。亦即在15图3-4-3摆动周期T与摆轴离中心距离h的关系图3-4-3摆动周期T与摆轴离中心距离h的关系16在共轭的A，B二极小T值点以上，沿任一Th画一条直线，交图线于C，D，E，F四点；皆为等T值点，错落的两对等T值间的距离（hD+hE）=hC+hF被称为等值单摆长。为理解这一点，将（4-17）式的T1与TE（或TD）对应，T2与TF（或TC）对应，h1为与T1对应的hE，h2为与T2对应的hF，并将(4-17)式改形为：

(3-4-22)式(3-4-22)与式(3-4-17)的等同性可用代数关系进行验证。从式(3-4-22)可知,当T1=T2=T时,即为单摆的周期公式(3-4-6),故将hE+hF、hC+hD称为等值单摆长。在共轭的A，B二极小T值点以上，沿任一Th画一条直线，17③可倒摆为提高测的精度，历史上在对称结构的物理摆的摆杆上，加两个形体相同而密度不同的两个摆锤对称地放置。于是质心C点随即被改变，图4-3的图线也随之改变，特别是TC（即T1），TF（即T2）所相应的hC（即h1），hF（即h2）也随之改变。但曲线的形状依归。所以，用此时的T（=TF=TC）和h1（=hC），h2（=hF）按（4-22）式来计算出。

当然，由于摆杆孔的非连续性，所以仅能用TC≈TF的实测值，这时（4-22）式的右端的第2项仅具很小的值。所以（T1–T2）很小，而（h1–h2）较大。所以实验须先在重铁锤的摆杆的下端测出T1后，将摆倒置过来，从远端测出大于T1的值然后逐渐减h2直至T2小于T1为止。

③可倒摆18将加有二摆锤的摆叫作可倒摆（或称为开特氏摆）；（4-22）式就称为可倒摆计算式。摆锤用两个而不是用一个，而且形体作成相同，是因为倒置以后在摆动过程中，摆的空气阻尼等对摆的运动的影响可消除。由物理摆的理论可知，可倒摆（开特摆）仅是物理摆的特例。

将加有二摆锤的摆叫作可倒摆（或称为开特氏摆）；（4-22）19四、实验内容与步骤安装、调节好仪器以后，进行如下操作：

(1)测出无锤摆杆的T(H)关系(可只测1/2摆杆)。

(2)测出两个加锤摆的T1(X)、T2(X)关系。两摆锤的形状、尺寸须相同,而质量不同。

(3)按原理所述,进行数据处理。(数据表格自列)四、实验内容与步骤20五、注意事项

(1)摆幅A须小于1°。若按R=0.3m(摆杆)+0.03m(摆针)=330mm计2倍振幅,则

(2)摆的悬挂处的孔和刀口间须密切接触。若不密切接触则调节底脚螺钉,否则会影响实验测量。

(3)周期T的测量建议以t=10T为宜,即

。五、注意事项(2)摆的悬挂处的孔和刀口间须密切接触21六、思考题

(1)试证明二次法测g的公式(3-4-17)等效于卡特公式(3-4-22)。

(2)为什么不能用图3-4-3的C点的(T1,h1)值和F点的(T2,h2)值来计算重力加速度g值,而须用(F,D)或(F,E)来计算g?

(3)试述用摆动法测量任意形状物体对任一指定轴的转动惯量的实验步骤(设当地的重力加速度g已知)。六、思考题22附注

锤移效应

设原摆为一带刻度的摆杆。摆的质量为M,质心为C(设为坐标原点),摆心为O,CO距离为h,质心C处与摆心O处沿OZ轴的转动惯量为JC、J0。以上条件皆固定不变,然后再加一个圆柱形的摆锤,锤的回转半径为r,质量为m,正轴与上述各轴平行。锤移动沿CO方向为+X。置锤于X处,如图3-4-4所示。(3-4-23)

质心变为C′,则由力矩平衡原理可得出

(3-4-24)附注锤移效应设原摆为一带刻度的摆杆。摆的质量为M,质23图3-4-4加锤摆图3-4-4加锤摆24所以新的摆长为

(3-4-25)

由平行轴定理,可得

(3-4-26)

设重力加速度g已知(不变),则由动量矩定理，仿照式(3-4-7)、式(3-4-10)，可知带锤摆的摆动方程式为(3-4-27)所以新的摆长为(3-4-25)由平行轴定理,251.加锤摆的周期公式加锤摆的周期公式Tm为

（4-28）

在研究锤移效应时，令（固定不变）：

(3-4-29)(3-4-30)1.加锤摆的周期公式（4-28）在研究锤移效应时，令（26所以有

(3-4-31)由式(3-4-31)可以看出：①加锤摆的周期公式与无锤摆的周期公式形式相似,即原T(h)关系与现在Tm(X)关系相似(此时h为固定常数)。②由于X的取向等原因,Tm(X)相当于图3-4-3曲线的左叶,Tm(X)的渐近线为,即时,Tm→∞。而X的负向则为X→－∞时,Tm→＋∞。注:若,则Tm为复数(无意义)。所以有(3-4-31)由式(3-4-3127③

加锤摆的周期公式存在着极(小)值。

所以应有

(3-4-32)因为

并令

所以有

③加锤摆的周期公式存在着极(小)值。所以应有(3-428令

代入

可得

(3-4-33)令代入可得(3-4-33)29因此

因此30分子、分母都除以2m(根号内除以4m2),可得

(3-4-34)因此,X一定有解,T有极值T(X)。

分子、分母都除以2m(根号内除以4m2),可得(3-312.零质量摆锤的周期公式Tm=0将m=0代入式(3-4-28)中,可得(3-4-35)2.零质量摆锤的周期公式Tm=0(3-4-3532

3.摆锤周期的特点周期Tm与Th(即m=0时的Tm)的交点,即为Tm=Th。也就是令式(3-4-28)与式(3-4-35)相等,于是有(3-4-36)3.摆锤周期的特点(3-4-36)33所以

解得

(3-4-37)所以解得(3-4-37)34由式(3-4-37)可以看出：①X与m无关。即锤的结构、形状相同(r相同)而密度(即质量)不同的摆锤,在X处摆的周期T相等。②X在r＜a条件下有两个实根。③虽然X与锤的质量无关，但它与质量的分布(回转半径r)相关，且当(3-4-38)时，X无解。

由式(3-4-37)可以看出：(3-4-35④

当

(3-4-39)时,X退化为只有一个解:

(3-4-40)④当(3-4-39)时,X退化为只有一个解:36

4.摆杆质心点处周期的特点结合物理摆的周期公式(3-4-12)或式(3-4-13),可知在摆杆质心点有如下特点：①m≠0而r→0的质点锤置于摆杆的质心C处,即悬挂点于a处。②当m≠0,m变则T变,这与由式(3-4-37)算出的X处r不变T变,m变而T不变是有所不同的。4.摆杆质心点处周期的特点37

5.(钟表摆的)T的微调①远离于C,取两点X1,X2。②调节摆锤(平衡锤,亦可称之为摆的“平衡”锤)的质量或其质量的分布。移动平衡锤,测量相应的周期。

5.(钟表摆的)T的微调38实验

用复摆测量刚体的转动惯量

实验用复摆测量刚体的转动惯量39在重力作用下能绕某固定水平轴摆动的刚体称做复摆，

又称物理摆。复摆的摆动中心称为撞击中心。机器中有些必须经受碰撞的转动件，如离合器、冲击摆锤等，为防止巨大瞬时力对轴承的危害，应使碰撞冲击力通过撞击中心。复摆实验是一个传统的实验，

通常用于研究周期与物体摆动中心及摆轴位置的关系，

也用于测定重力加速度。

在重力作用下能绕某固定水平轴摆动的刚体称做复摆，又称物40一、实验目的

(1)学习对长度和时间的较精确的测量。

(2)掌握测量重力加速度的方法,并加深对刚体转动理论的理解。

(3)学习用作图法处理、分析数据。二、实验仪器JD-2物理摆、光电计时器等。

一、实验目的41

1.单摆单摆的工作原理如图3-4-1所示。单摆球的质量为m,当球的半径远小于摆长l时,应用动量矩定理,在直角坐标系下可得小球自由摆动的微分方程为(3-4-1)式中,t为时间,g为重力加速度,l为摆长。

当θ1(rad)很小时,(3-4-2)

则式(3-4-1)可简化为

(3-4-3)1.单摆(3-4-1)式中,t为时间,42图

3-4-1单摆的工作原理

图3-4-1单摆的工作原理43令

(3-4-4)则式(3-4-3)的解为

(3-4-5)式中,θ10、α的值由初始条件所决定。由式(3-4-4)可得单摆周期为

(3-4-6)令(3-4-4)则式(3-4-3)的解为44

2.物理摆一个可绕固定轴摆动的刚体称为复摆或物理摆。如图3-4-2所示,设物理摆的质心为C,质量为M,悬点为O,绕O点在铅直面内转动的转动惯量为J0,OC距离为h。在重力作用下,由刚体绕定轴转动的转动定律可得微分方程为(3-4-7)

令

(3-4-8)2.物理摆(3-4-7)令(3-445仿照单摆,在θ很小时,式(3-4-7)的解为

(3-4-9)(3-4-10)图

3-4-2物理摆(复摆)仿照单摆,在θ很小时,式(3-4-7)的解为(46设摆体沿过质心C的转动惯量为JC,则由平行轴定理可知:(3-4-11)将式(3-4-11)代入式(3-4-10)可得

(3-4-12)式(3-4-12)就是物理摆的自由摆动周期T。

设摆体沿过质心C的转动惯量为JC,则由平行轴定理可知:(47令J=Ma2,a称为回转半径,则有

(3-4-13)因为对任何JC都有JC∝M,所以式(3-4-13)的T与M无关,仅与M的分布(C点)相关。令J=Ma2,a称为回转半径,则有(3-4-481)一次法测重力加速度g由式(3-4-12)可得出

(3-4-14)因此,测出式(3-4-14)右端各量即可得g。摆动周期T用数字计时器可直接测出;M可用天平称出;C点可用杠杆平衡原理等办法求出。对于形状等规则的摆,JC可以通过计算得出。1)一次法测重力加速度g(3-4-14)因此,49

2)二次法测重力加速度g一次法测g虽然简明,但有很大的局限性,特别是对于不规则物理摆,JC就难以确定,为此采用如下“二次法”测g。当M及其分布(C点)确定以后,通过改变h值,作两次测T的实验,运用式(3-4-12)可得2)二次法测重力加速度g50即

(3-4-15)(3-4-16)联立解式(3-4-15)、

式(3-4-16),可得出

(3-4-17)

这样就消去了JC。因此，式(3-4-17)测g就有着广泛的适用性。另外,从式(3-4-17)可十分明确地看到T与M的无关性。即(3-4-15)(3-4-16)联立解式(3-451虽然任意两组(h1,T1)、(h2,T2)实测值都可以由式(3-4－17)算出g,但是对于一个确定的物理摆究竟选取怎样的两组(h,T)数据,才能得出最精确的g的实测结果呢？为此必须研究T(h)关系。将式(3-4-12)平方,可得出(3-4-18)从上式可以看出,T2与h的关系大体为一变形的双曲线型图线。当h→0时,T→∞;当h→∞时,T→∞。可见,在h的某一处一定有一个凹形极小值。为此,对式(3-4-18)作一次求导并令其为0,即由可得(3-4-19)

(3-4-20)虽然任意两组(h1,T1)、(h2,T2)实测值都可以52即移动摆轴所增加的转动惯量恰为质心处的转动惯量。亦即在h=a处所相应的T为极小值。(为什么？)为研究T(h)关系,在0.6m长的扁平摆杆上,每间隔2cm均匀钻出直径为1cm的28个孔,并以此作为O点的Hi值(i=±1,±2,±3,…,±14),于是可得出如图3-4-3所示的曲线。即移动摆轴所增加的转动惯量恰为质心处的转动惯量。亦即在53图3-4-3摆动周期T与摆轴离中心距离h的关系图3-4-3摆动周期T与摆轴离中心距离h的关系54在共轭的A，B二极小T值点以上，沿任一Th画一条直线，交图线于C，D，E，F四点；皆为等T值点，错落的两对等T值间的距离（hD+hE）=hC+hF被称为等值单摆长。为理解这一点，将（4-17）式的T1与TE（或TD）对应，T2与TF（或TC）对应，h1为与T1对应的hE，h2为与T2对应的hF，并将(4-17)式改形为：

(3-4-22)式(3-4-22)与式(3-4-17)的等同性可用代数关系进行验证。从式(3-4-22)可知,当T1=T2=T时,即为单摆的周期公式(3-4-6),故将hE+hF、hC+hD称为等值单摆长。在共轭的A，B二极小T值点以上，沿任一Th画一条直线，55③可倒摆为提高测的精度，历史上在对称结构的物理摆的摆杆上，加两个形体相同而密度不同的两个摆锤对称地放置。于是质心C点随即被改变，图4-3的图线也随之改变，特别是TC（即T1），TF（即T2）所相应的hC（即h1），hF（即h2）也随之改变。但曲线的形状依归。所以，用此时的T（=TF=TC）和h1（=hC），h2（=hF）按（4-22）式来计算出。

当然，由于摆杆孔的非连续性，所以仅能用TC≈TF的实测值，这时（4-22）式的右端的第2项仅具很小的值。所以（T1–T2）很小，而（h1–h2）较大。所以实验须先在重铁锤的摆杆的下端测出T1后，将摆倒置过来，从远端测出大于T1的值然后逐渐减h2直至T2小于T1为止。

③可倒摆56将加有二摆锤的摆叫作可倒摆（或称为开特氏摆）；（4-22）式就称为可倒摆计算式。摆锤用两个而不是用一个，而且形体作成相同，是因为倒置以后在摆动过程中，摆的空气阻尼等对摆的运动的影响可消除。由物理摆的理论可知，可倒摆（开特摆）仅是物理摆的特例。

将加有二摆锤的摆叫作可倒摆（或称为开特氏摆）；（4-22）57四、实验内容与步骤安装、调节好仪器以后，进行如下操作：

(1)测出无锤摆杆的T(H)关系(可只测1/2摆杆)。

(2)测出两个加锤摆的T1(X)、T2(X)关系。两摆锤的形状、尺寸须相同,而质量不同。

(3)按原理所述,进行数据处理。(数据表格自列)四、实验内容与步骤58五、注意事项

(1)摆幅A须小于1°。若按R=0.3m(摆杆)+0.03m(摆针)=330mm计2倍振幅,则

(2)摆的悬挂处的孔和刀口间须密切接触。若不密切接触则调节底脚螺钉,否则会影响实验测量。

(3)周期T的测量建议以t=10T为宜,即

。五、注意事项(2)摆的悬挂处的孔和刀口间须密切接触59六、思考题

(1)试证明二次法测g的公式(3-4-17)等效于卡特公式(3-4-22)。

(2)为什么不能用图3-4-3的C点的(T1,h1)值和F点的(T2,h2)值来计算重力加速度g值,而须用(F,D)或(F,E)来计算g?

(3)试述用摆动法测量任意形状物体对任一指定轴的转动惯量的实验步骤(设当地的重力加速度g已知)。六、思考题60附注

锤移效应

设原摆为一带刻度的摆杆。摆的质量为M,质心为C(设为坐标原点),摆心为O,CO距离为h,质心C处与摆心O处沿OZ轴的转动惯量为JC、J0。以上条件皆固定不变,然后再加一个圆柱形的摆锤,锤的回转半径为r,质量为m,正轴与上述各轴平行。锤移动沿CO方向为+X。置锤于X处,如图3-4-4所示。(3-4-23)

质心变为C′,则由力矩平衡原理可得出

(3-4-24)附注锤移效应设原摆为一带刻度的摆杆。摆的质量为M,质61图3-4-4加锤摆图3-4-4加锤摆62所以新的摆长为

(3-4-25)

由平行轴定理,可得

(3-4-26)

设重力加速度g已知(不变),则由动量矩定理，仿照式(3-4-7)、式(3-4-10)，可知带锤摆的摆动方程式为(3-4-27)所以新的摆长为(3-4-25)由平行轴定理,631.加锤摆的周期公式加锤摆的周期公式Tm为

（4-28）

在研究锤移效应时，令（固定不变）：

(3-4-29)(3-4-30)1.加锤摆的周期公式（4-28）在研究锤移效应时，令（64所以有

(3-4-31)由式(3-4-31)可以看出：①加锤摆的周期公式与无锤摆的周期公式形式相似,即原T(h)关系与现在Tm(X)关系相似(此时h为固定常数)。②由于X的取向等原因,Tm(X)相当于图3-4-3曲线的左叶,Tm(X)的渐近线为,即时,Tm→∞。而X的负向则为X→－∞时,Tm→＋∞。注:若,则Tm为复数