余弦定理练习 含答案

余弦定理练习含答案余弦定理练习含答案余弦定理练习含答案xxx公司余弦定理练习含答案文件编号：文件日期：修订次数：第1.0次更改批准审核制定方案设计，管理制度课时作业2余弦定理时间：45分钟满分：100分课堂训练1．在△ABC中，已知a＝5，b＝4，∠C＝120°.则c为()\r(41) \r(61)\r(41)或eq\r(61) \r(21)【答案】B【解析】c＝eq\r(a2＋b2－2abcosC)＝eq\r(52＋42－2×5×4×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))))＝eq\r(61).2．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，若a，b，c满足b2＝ac，且c＝2a，则cosB\f(1,4) \f(3,4)\f(\r(2),4) \f(\r(2),3)【答案】B【解析】由b2＝ac，又c＝2acosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(a2＋4a2－a×2a,2a·2a)＝eq\f(3,4).3．在△ABC中，三个角A、B、C的对边边长分别为a＝3、b＝4、c＝6，则bccosA＋cacosB＋abcosC＝________.【答案】eq\f(61,2)【解析】bccosA＋cacosB＋abcosC＝bc·eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＋ca·eq\f(c2＋a2－b2,2ac)＋ab·eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(1,2)(b2＋c2－a2)＋eq\f(1,2)(c2＋a2－b2)＋eq\f(1,2)(a2＋b2－c2)＝eq\f(1,2)(a2＋b2＋c2)＝eq\f(61,2).4．在△ABC中：(1)a＝1，b＝1，∠C＝120°，求c；(2)a＝3，b＝4，c＝eq\r(37)，求最大角；(3)a:b:c＝1:eq\r(3):2，求∠A、∠B、∠C.【分析】(1)直接利用余弦定理即可；(2)在三角形中，大边对大角；(3)可设三边为x，eq\r(3)x,2x.【解析】(1)由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝12＋12－2×1×1×(－eq\f(1,2))＝3，∴c＝eq\r(3).(2)显然∠C最大，∴cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(32＋42－37,2×3×4)＝－eq\f(1,2).∴∠C＝120°.(3)由于a:b:c＝1:eq\r(3):2，可设a＝x，b＝eq\r(3)x，c＝2x(x>0)．由余弦定理，得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(3x2＋4x2－x2,2·\r(3)x·2x)＝eq\f(\r(3),2)，∴∠A＝30°.同理cosB＝eq\f(1,2)，cosC＝0.∴∠B＝60°，∠C＝90°.【规律方法】1．本题为余弦定理的最基本应用，应在此基础上熟练地掌握余弦定理的结构特征．2．对于第(3)小题，根据已知条件，设出三边长，由余弦定理求出∠A，进而求出其余两角，另外也可考虑用正弦定理求∠B，但要注意讨论解的情况．课后作业一、选择题(每小题5分，共40分)1．△ABC中，下列结论：①a2>b2＋c2，则△ABC为钝角三角形；②a2＝b2＋c2＋bc，则∠A为60°；③a2＋b2>c2，则△ABC为锐角三角形；④若∠A:∠B:∠C＝1:2:3，则a:b:c＝1:2:3，其中正确的个数为()A．1 B．2C．3 D．4【答案】A【解析】①cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)<0，∴∠A为钝角，正确；②cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝－eq\f(1,2)，∴∠A＝120°，错误；③cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)>0，∴∠C为锐角，但∠A或∠B不一定为锐角，错误；④∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，a:b:c＝1:eq\r(3):2，错误．故选A.2．△ABC的三内角A、B、C所对边长分别为a、b、c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)．若p∥q，则∠C的大小为()\f(π,6) \f(π,3)\f(π,2) \f(2,3)π【答案】B【解析】∵p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)且p∥q，∴(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0即a2＋b2－c2＝ab，∴cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(ab,2ab)＝eq\f(1,2).∴∠C＝eq\f(π,3).3．△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠A＝eq\f(π,3)，a＝eq\r(7)，b＝1，则c等于()A．2eq\r(2) B．3\r(3)＋1 D．2eq\r(3)【答案】B【解析】由余弦定理得，a2＝b2＋c2－2bccosA，所以(eq\r(7))2＝1＋c2－2×1×c×coseq\f(π,3)，即c2－c－6＝0，解得c＝3或c＝－2(舍)．故选B.4．在不等边三角形ABC中，a为最大边，且a2<b2＋c2，则∠A的取值范围是()A．(eq\f(π,2)，π) B．(eq\f(π,4)，eq\f(π,2))C．(eq\f(π,3)，eq\f(π,2)) D．(0，eq\f(π,2))【答案】C【解析】因为a为最大边，所以∠A为最大角，即∠A>∠B，∠A>∠C，故2∠A>∠B＋∠C.又因为∠B＋∠C＝π－∠A，所以2∠A>π－∠A，即∠A>eq\f(π,3).因为a2<b2＋c2，所以cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)>0，所以0<∠A<eq\f(π,2).综上，eq\f(π,3)<∠A<eq\f(π,2).5．在△ABC中，已知a＝4，b＝6，∠C＝120°，则sinA的值为()\f(\r(57),19) \f(\r(21),7)\f(\r(3),38) D．－eq\f(\r(57),19)【答案】A【解析】由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab·cosC＝42＋62－2×4×6(－eq\f(1,2))＝76，∴c＝eq\r(76).由正弦定理得eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，即eq\f(4,sinA)＝eq\f(\r(76),sin120°)，∴sinA＝eq\f(4sin120°,\r(76))＝eq\f(\r(57),19).6．△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，且2b＝a＋c，∠B＝30°，△ABC的面积为eq\f(3,2)，那么b等于()\f(1＋\r(3),2) B．1＋eq\r(3)\f(2＋\r(3),2) D．2＋eq\r(3)【答案】B【解析】∵2b＝a＋c，又由于∠B＝30°，∴S△ABC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)acsin30°＝eq\f(3,2)，解得ac＝6，由余弦定理：b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－2ac－2ac·cos30°＝4b2－12－6eq\r(3)，即b2＝4＋2eq\r(3)，由b>0解得b＝1＋eq\r(3).7．在△ABC中，若acosA＋bcosB＝ccosC，则这个三角形一定是()A．锐角三角形或钝角三角形B．以a或b为斜边的直角三角形C．以c为斜边的直角三角形D．等边三角形【答案】B【解析】由余弦定理acosA＋bcosB＝ccosC可变为a·eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＋b·eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝c·eq\f(a2＋b2－c2,2ab)，a2(b2＋c2－a2)＋b2(a2＋c2－b2)＝c2(a2＋b2－c2)a2b2＋a2c2－a4＋b2a2＋b2c2－b4＝c2a2＋c2b2a2b2－a4－b4＋c4(c2－a2＋b2)(c2＋a2－b2)＝0，∴c2＋b2＝a2或a2＋c2＝b2，∴以a或b为斜边的直角三角形．8．若△ABC的周长等于20，面积是10eq\r(3)，∠A＝60°，则BC边的长是()A．5 B．6C．7 D．8【答案】C【解析】依题意及面积公式S＝eq\f(1,2)bcsinA，得10eq\r(3)＝eq\f(1,2)bc×sin60°，即bc＝40.又周长为20，故a＋b＋c＝20，b＋c＝20－a.由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2－2bccos60°＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc，故a2＝(20－a)2－120，解得a＝7.二、填空题(每小题10分，共20分)9．在△ABC中，三边长AB＝7，BC＝5，AC＝6，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))的值为________．【答案】－19【解析】由余弦定理可求得cosB＝eq\f(19,35)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(BC,\s\up6(→))|·cos(π－B)＝－|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(BC,\s\up6(→))|·cosB＝－19.10．已知等腰三角形的底边长为a，腰长为2a，【答案】eq\f(\r(6),2)a【解析】如图，AB＝AC＝2a，BC＝a，BD为腰AC的中线，过A作AE⊥BC于E，在△AEC中，cosC＝eq\f(EC,AC)＝eq\f(1,4)，在△BCD中，由余弦定理得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cosC，即BD2＝a2＋a2－2×a×a×eq\f(1,4)＝eq\f(3,2)a2，∴BD＝eq\f(\r(6),2)a.三、解答题(每小题20分，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11．在△ABC中，已知b2sin2C＋c2sin2B＝2bccosB·cosC【分析】解决本题，可分别利用正弦定理或余弦定理，把问题转化成角或边的关系求解．【解析】方法一：由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R，R为△ABC外接圆的半径，将原式化为8R2sin2Bsin2C＝8R2sinBsinCcosBcosC∵sinBsinC≠0，sinBsinC＝cosBcosC，即cos(B＋C)＝0，∴∠B＋∠C＝90°，∠A＝90°，故△ABC为直角三角形．方法二：将已知等式变为b2(1－cos2C)＋c2(1－cos2B)＝2bccosBcosC由余弦定理可得：b2＋c2－b2·(eq\f(a2＋b2－c2,2ab))2－c2(eq\f(a2＋c2－b2,2ac))2＝2bc·eq\f(a2＋b2－c2,2ab)·eq\f(a2＋c2－b2,2ac).即b2＋c2＝eq\f([a2＋b2－c2＋a2＋c2－b2]2,4a2)也即b2＋c2＝a2，故△ABC为直角三角形．【规律方法】在利用正弦定理实施边角转化时，等式两边a，b，c及角的正弦值的次数必须相同，否则不能相互转化．12．(2013·全国新课标Ⅰ，理)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝eq\r(3)，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°.(1)若PB＝eq\f(1,2)，求PA；(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA.【解析】(1)由已