高等数学概率随机变量函数的分布

高等数学概率随机变量函数的分布第1页，共23页，2022年，5月20日，21点29分，星期四一、问题的提出

在实际中，人们常常对随机变量的函数更感兴趣.例如，已知圆轴截面直径

d

的分布，求截面面积A=的分布第2页，共23页，2022年，5月20日，21点29分，星期四又如：已知t=t0

时刻噪声电压

V的分布，

求功率

W=V2/R

(R为电阻）的分布等.定义（课本50页定义2.10）：设f(x)是定义在随机变量的一切可能值x的集合上的函数。如果对于的每一可能取值x，有另一个随机变量的相应取值y=f(x)则称为的函数，记作。第3页，共23页，2022年，5月20日，21点29分，星期四

这个问题无论在实践中还是在理论上都是重要的.

由定义可知，随机变量的函数也是一个随机变量，而且后者的分布由前者的分布完全确定。那么如何从的分布求出它的函数的分布呢？第4页，共23页，2022年，5月20日，21点29分，星期四二、离散型随机变量函数的分布

解：

当

取值－1，0，1，2

时，

取对应值－2，－1，0，1。而且取某值与取其对应值是两个同时发生的事件，两者具有相同的概率.

例1、设r.v.

的分布列如下，求和的分布列。第5页，共23页，2022年，5月20日，21点29分，星期四故的分布列为同理，当

以概率取值－1，0，1，2

时，

以相同概率取对应值4，1，0，1。注意：相当于或者即

第6页，共23页，2022年，5月20日，21点29分，星期四故的分布列为第7页，共23页，2022年，5月20日，21点29分，星期四如果有一些f(xk)是相同的，把它们作适当的并项即可，并项后的概率为它们的相应概率之和.一般，若是离散型

r.v，其分布列为则也是离散型r.v，其分布列为第8页，共23页，2022年，5月20日，21点29分，星期四例2、设r.v.

的分布列如下，求和的分布列。第9页，共23页，2022年，5月20日，21点29分，星期四例3、一个仪器由两个主要部件组成，其总长度为此二部件长度之和。这两个部件的长度、为两个相互独立的随机变量，其分布列如下。求此仪器长度的分布列。解：设仪器的总长度为

，则第10页，共23页，2022年，5月20日，21点29分，星期四而的所有可能取值为15，16，17，18。同理可求得，

，独立第11页，共23页，2022年，5月20日，21点29分，星期四故的分布列为第12页，共23页，2022年，5月20日，21点29分，星期四例4、将两封信随机地往编号为1，2，3，4的邮筒内投，表示第个邮筒内信的数目。求的分布。解：的所有可能取值为0，1，2。第13页，共23页，2022年，5月20日，21点29分，星期四故的分布列为第14页，共23页，2022年，5月20日，21点29分，星期四三、连续型随机变量函数的分布

例5、设r.v.

的概率密度为，求的概率密度。解：分布函数法（1）求的分布函数关键一步第15页，共23页，2022年，5月20日，21点29分，星期四（2）两端对y

求导第16页，共23页，2022年，5月20日，21点29分，星期四例6、设r.v.

的概率密度为，求的概率密度。解：分布函数法（1）求的分布函数注意：因y为任意实数，而，所以当时，。第17页，共23页，2022年，5月20日，21点29分，星期四（2）两端对y

求导第18页，共23页，2022年，5月20日，21点29分，星期四在这几个例子中，我们使用了一种求连续型r.v的函数的分布的常用方法：分法布函数步骤一：求的分布函数。步骤二：两端对y求导得。用的分布函数来表示第19页，共23页，2022年，5月20日，21点29分，星期四例7、设连续型随机变量的概率密度为

求的概率密度。第20页，共23页，2022年，5月20日，21点29分，星期四例8、设连续型随机变量的概率密度为

求的概率密度。第21页，共23页，2022年，5月20日，21点2