广东省惠州市长宁中学2023年高三数学理下学期期末试卷含解析

广东省惠州市长宁中学2023年高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.（04全国卷I）的最小值为

（

）

A．－

B．－

C．－－

D．+参考答案：答案：B2.若三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA=2，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，则球O的表面积为(

) A．64π B．16π C．12π D．4π参考答案：A考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，知BC，∠ABC=90°，可得△ABC截球O所得的圆O′的半径，利用SA⊥平面ABC，SA=2，此能求出球O的半径，从而能求出球O的表面积．解答： 解：如图，三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，∵AB=1，AC=2，∠BAC=60°，∴BC=，∴∠ABC=90°．∴△ABC截球O所得的圆O′的半径r=1，∵SA⊥平面ABC，SA=2∴球O的半径R=4，∴球O的表面积S=4πR2=64π．故选：A．点评：本题考查球的表面积的求法，合理地作出图形，数形结合求出球半径，是解题的关键．3.设F1，F2分别为双曲线（a＞0，b＞0）的左，右焦点．若在双曲线右支上存在一点P，满足|PF2|=|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a与b之间的等量关系，进而求出离心率．【解答】解：依题意|PF2|=|F1F2|，可知三角形PF2F1是一个等腰三角形，F2在直线PF1的投影是其中点，由勾股定理知可知|PF1|=2=4b根据双曲定义可知4b﹣2c=2a，整理得c=2b﹣a，代入c2=a2+b2整理得3b2﹣4ab=0，求得=；∴e====．故选B．4.复数的共轭复数在复平面上对应的点在（

）

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限参考答案：D.

考点：复数的概念及其运算.5.设函数f(x)＝ex+1-ma，g(x)＝aex-x（m，a为实数），若存在实数a，使得f(x)≤g(x)对任意x∈R恒成立，则实数m的取值范围是

A．

B．

C．

D．参考答案：C6. 若实数x,y满足不等式组且z=x+3y的最大值为12，则实数k= A．-12

B．

C．-9

D．参考答案：C略7.多面体MN﹣ABCD的底面ABCD为矩形，其正（主）视图和侧（左）视图如图，其中正（主）视图为等腰梯形，侧（左）视图为等腰三角形，则AM的长（） A． B． C． D． 参考答案：C略8.已知集合，则集合=

（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C9.设为数列的前项和，若满足且则A.5

B.3

C.1

D.－1参考答案：C10.若复数z满足，则复数z为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.由命题“”是假命题，求得实数的取值范围是，则实数的值是

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.参考答案：12.已知，分别是双曲线C：的左，右顶点，F为左焦点，以为直径的圆与双曲线C的两条渐近线在x轴上方，从左至右依次交于M，N两点，若∥，则该双曲线的离心率为（

）A. B.2 C. D.参考答案：A【分析】画出图形，利用已知条件，转化求解a、c关系，然后求解双曲线的离心率即可．【详解】解：，分别是双曲线C：的左，右顶点，F为左焦点，故渐近线方程为，以为直径的圆与双曲线C的两条渐近线在x轴上方，从左至右依次交于M，N两点，如图所示，因为，可知三角形FMO为等腰三角形，腰长为a，底边为c，底角为，在中可得，所以，即，解得．故选：A【点睛】求解离心率问题就是要构造出a与c的等式或不等式，构造a与c的等式或不等式可以从定义、曲线方程、同一量的二次计算等角度构造.13.若某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运行后输出的结果是________.

参考答案：14.在极坐标系（）中，曲线与的交点的极坐标为_____参考答案：

两式相除得，交点的极坐标为15.设f（x）是定义在R上不为零的函数，对任意x，y∈R，都有f（x）?f（y）=f（x+y），若，则数列{an}的前n项和的取值范围是．参考答案：【考点】数列的求和；抽象函数及其应用．【专题】计算题；压轴题．【分析】依题意分别求出f（2），f（3），f（4）进而发现数列{an}是以为首项，以为公比的等比数列，进而可求得Sn的取值范围．【解答】解：由题意可得，f（2）=f2（1），f（3）=f（1）f（2）=f3（1），f（4）=f（1）f（3）=f4（1），a1=f（1）=∴f（n）=∴=∈[，1）．故答案：[，1）【点评】本题主要考查了等比数列的求和问题，解题的关键是根据已知条件确定出等比数列的首项及公比16.已知分别是椭圆（）的左、右焦点，过作垂直于轴的直线交椭圆于A、B两点，若为锐角三角形，则椭圆的离心率的范围是

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.参考答案：

答案：

17.函数的定义域为________．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分13分） 如图，O为坐标原点，点F为抛物线C1：x2=2py（p0）的焦点，且抛物线C1上点P处的切线与圆C2：x2+y2=1相切于点Q． （1）当直线PQ的方程为x-y=0时，求抛物线Cl的方程； （2）当正数p变化时，记S1，S2分别为△FPQ，△FOQ的面积，求的最小值．参考答案：【知识点】抛物线方程直线与抛物线H7

H8（1）；（2）.（Ⅰ）设点P（x，），由x2=2py（p＞0）得，y=，求导y′=，

因为直线PQ的斜率为1，所以=1且x--=0，解得p=2，

所以抛物线C1

的方程为．

（Ⅱ）因为点P处的切线方程为：y-=（x-x），即2xx-2py-=0，

根据切线与圆切，得d=r，即=1，化简得，

由方程组，解得Q（，），

所以|PQ|=|xP-xQ|==，

点F（0，）到切线PQ的距离是d==，

所以=××=，

=，

而由知，4p2=，得|x|＞2，

所以===

==+3≥2+3，当且仅当时取“=”号，即，此时，p=．

所以的最小值为2+3．【思路点拨】（Ⅰ）设点P（x，），代入直线PQ的方程得一方程，再根据抛物线在P处切线斜率为1列一方程，解方程组即可求得p值；

（Ⅱ）易表示出点p处切线方程，据线圆相切得一方程，再与圆联立方程组可表示出Q坐标，据弦长公式可表示出|PQ|，利用点到直线的距离公式可表示出点F到切线PQ的距离d，则S1可表示，又=，所以可表示为关于x的函数，据函数结构特点利用基本不等式即可求得其最小值．19.(本小题满分12分)设数列前项和为，且（1）求的通项公式；（2）若数列满足，求的通项公式；（3）若数列满足且，求数列的通项公式.参考答案：解：（1）∵

∴

两式相减得：

∴

又时，

∴

∴是首项为，公比为的等比数列

∴

4分（2），（）为以-1为公差的等差数列，，.

7分（3）∵

∴

∴

以上各式相加得：∴

12分20.（本小题12分）在某高校自主招生考试中，所有选报II类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A,B,C,D,E五个等级.某考场考生的两科考试成绩数据统计如下图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人.(1)求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数；(2)若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；(3)已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为A.在至少一科成绩为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为A的概率.

参考答案：(1)因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生有10人，所以该考场有人···············································2分所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数为， ······················4分（2）该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为···························7分（3）因为两科考试中，共有6人得分等级为A，又恰有两人的两科成绩等级均为A，所以还有2人只有一个科目得分为A，设这四人为甲，乙，丙，丁，其中甲，乙是两科成绩都是A的同学，则在至少一科成绩等级为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，基本事件空间为{甲，乙}，{甲，丙}，{甲，丁}，{乙，丙}，{乙，丁}，{丙，丁},有6个基本事件设“随机抽取两人进行访谈，这两人的两科成绩等级均为A”为事件B，所以事件B中包含的基本事件有1个，则. 12分21.已知函数f(x)=|x-1|,g(x)=-|x+3|+a(a?R)(1)

解关于的不等式；（2）若函数的图像恒在函数的图像的上方，求实数的取值范围.参考答案：当x<-3时,h(x)>8,当时,,当x1时,,综上h(x