(完整版)排列组合题型归纳

还可用归纳猜想法，奇偶法等方法求和。例5.已知数列ta}a=-2[n-(-1)n],求S。nnn思路分析：a=—2n—2(—1)n，通过分组，对n分奇偶讨论求和。n解：a=—2n+2(—1)n，若n=2m,则S=S=—2(1+2+3HF2m)+2产(—1)knn2mk=1S=—2(1+2+3FF2m)=—(2m+1)2m=—n(n+1)n若n=2m—1,则S=S=S—a=—(2m+1)2m+2[2m—(—1)2m]=—(2m+1)2m+2(2m—1)n2m—12m2m—4m2F2m—2=—(nF1)2F(nF1)—2=—n2—n—2S=<n—n(n+1)(n为正偶数)—n2—n—2(n为正奇数)3n预备：已知f(x)=a1x+a2x2+…+anxn，且ara2,a3,…a成等差数列，n为正偶数,又f(1)=n2,f(—1)=n，试比较f(2)与3的大小。3n解：Vf(1)解：Vf(1)=a+a+aFFa=n2V123nf(—1)=—a+a—a+.…—a+a=n123n—1n(aFa)n1n=n22

n=d=n

2aFa=2n1nd=2aFaF(n—1)d=2n11a=1a=2n—1d=21n1=+2f(x)=x+3x2+5x3FF(2n—1)xn“A+5(2)3+…+(2n—d(2)«可求得f(2)=3-(2)n—2—(21=+2f(x)=x+3x2+5x3FF(2n—1)xn巩固练习：1•求下列数列的前n项和1x1x3,2x4,3x5,…,n(n+2),…；n(1)5,55,555,5555,…，9(】°"—1)，•…1(3)a=/;+、：n+121111⑵1X392^493X5十n(n+2)，…；⑷a,2a2,3a3,…，nan，…；(6)sin21°+sin22°+sin23°++sin289°."个5^个解：(1)S=5+55+555+•••+55•••5=—(9+99+999+•••+99•*9)n9=|[(10=|[(10—1)+(102—1)+(103—1)+…+(10n—1)]=5[10+102+103+…+10n—n]=5O(10n—1)—5n.

98191111(2)・.・=_(——)，n(n+2)2nn+2'c1「门1、」1、」1、」1V,1门11亠、・・S=入[(1—+(入—)+匕—)++(_—)]=(1+——)•”232435nn+222n+1n+21y/n+1-(1-a)2(5)・.・n(n+2)=n2+2n,(3)・a===y■”+1—n”\n+\n+1(*n+\/n+l)(\/n+1—*n)・c-111n0+J1爲+迈时+讦=(迈—1)+(朽-迈)+•••+(7”+T-p”)=\方+1—1.(4)S=a+2a2+3a3+•••+na”，n当a=1时，S=1+2+3+…+n=”(”+»，n2当a丰1时，S=a+2a2+3a3++nan，naS=a2+2a3+3a4+—+na”+1，na(1-an)两式相减得(1—a)S=a+a2+a3+…+an—nan+1=—nan+1，n1-a.nan+2一(n+1)an+1+a…S=n.・・原式=(12+22+32+・・・+n2)+2x(1+2+3+…+n)=+1)(2n+7(6)设S=sin21+sin22°+sin23°++sin289,又S=sin289+sin288°+sin287++sin21,89.I2S=89,S=89.22.已知数列｛a｝的通项a=<nn6n-5("2.已知数列｛a｝的通项a=<nnTOC\o"1-5"\h\z2n(n为偶数)n解：奇数项组成以ai=1为首项，公差为12的等差数列,偶数项组成以a2=4为首项，公比为4的等比数列；n+1n-1当n为奇数时，奇数项有〒项，偶数项有〒项，.s=岑(1+6n-5)+4(1一4罗)=(n+1)⑶-2)+4(2”-1-1)••n2~1-n当n为偶数时，奇数项和偶数项分别有2项，n.S=2(1+6n-5)+4(1-4；)=n(3n—2)+4(2n-1)…n21—4

(n+1)(3n-2)丄4(2n