天津汉沽区大田中学 高三数学理上学期期末试题含解析

1、天津汉沽区大田中学 高三数学理上学期期末试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. （5分）（2013?浙江）设m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列命题正确的是（） A 若m，n，则mn B 若m，m，则 C 若mn，m，则n D 若m，则m参考答案：C【考点】： 空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系【专题】： 空间位置关系与距离【分析】： 用直线与平面平行的性质定理判断A的正误；用直线与平面平行的性质定理判断B的正误；用线面垂直的判定定理判断C的正误；

2、通过面面垂直的判定定理进行判断D的正误解：A、m，n，则mn，m与n可能相交也可能异面，所以A不正确；B、m，m，则，还有与可能相交，所以B不正确；C、mn，m，则n，满足直线与平面垂直的性质定理，故C正确D、m，则m，也可能m，也可能m=A，所以D不正确；故选C【点评】： 本题主要考查线线，线面，面面平行关系及垂直关系的转化，考查空间想象能力能力2. 已知向量，满足：，且（）则向量与向量的夹角的最大值为 【 】A B C D参考答案：3. 函数是单调增函数，则下列式中成立的是（ ）A. B. C. D. 参考答案：B4. 若，则 （ ）A B C D参考答案：D5. 已知全集，集合，那么集合

3、（ ）（A）（B）（C） （D）参考答案：A略6. 将A、B、C、D、E五种不同的文件放入编号依次为1，2，3，4，5，6，7的七个抽屉内，每个抽屉至多放一种文件，若文件A、B必须放入相邻的抽屉内，文件C、D也必须放入相邻的抽屉内，则文件放入抽屉内的满足条件的所有不同的方法有（ ）种A192 B144 C288 D240 参考答案：D略7. 将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，则是（ ）ABCD 参考答案：B略8. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，点为双曲线虚轴的一个端点，若线段与双曲线右支交于点，且，则双曲线的离心率为（ ）A B C D参考答案：C9. 某几何体的三视图如图，若该几

4、何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面的表面积为（）A4BCD20参考答案：B【考点】球内接多面体；球的体积和表面积【分析】由三视图知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱长是2，根据三棱柱的两个底面的中心的中点与三棱柱的顶点的连线就是外接球的半径，求出半径即可求出球的表面积【解答】解：由三视图知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱长是2，三棱柱的两个底面的中心的中点与三棱柱的顶点的连线就是外接球的半径，r=，球的表面积4r2=4=故选：B【点评】本题考查了由三视图求三棱柱的外接球的表面积，利用棱柱的几何特征求外接球的半径是解题的关键10. 的三内

5、角所对边的长分别为设向量,若,则角的大小为（ ）A B C D参考答案：B略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=2，b=2，A=B，则A=参考答案：【考点】正弦定理【分析】由题意和正弦定理列出方程，由二倍角的正弦公式化简后求出cosA的值，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出角A【解答】解：因为a=2，b=2，A=B，所以由正弦定理得，则，即，化简得，cosA=，由0A得A=，故答案为：12. 设曲线C的参数方程为（是参数，a0），直线l的极坐标方程为3cos+4sin=5，若曲线C与直线l只有一个公共点，则实数a的值

6、是_参考答案：7考点：参数方程化成普通方程专题：坐标系和参数方程分析：曲线C的参数方程为（是参数，a0），利用sin2+cos2=1化为（xa）2+（y1）2=16直线l的极坐标方程为3cos+4sin=5，利用化为3x+4y5=0由于曲线C与直线l只有一个公共点，可得直线与圆相切，因此圆心到直线l的距离d=r，a0，解出即可解答：解：曲线C的参数方程为（是参数，a0），化为（xa）2+（y1）2=16直线l的极坐标方程为3cos+4sin=5，化为3x+4y5=0曲线C与直线l只有一个公共点，直线与圆相切，圆心到直线l的距离d=r=4，a0，解得a=7故答案为：7点评：本题考查了把参数方程化

7、为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，考查了计算能力，属于基础题13. 两个半径都是1的球O1和球O2相切，且均与直二面角l的两个半平面都相切，另有一个半径为（1）的小球O与这二面角的两个半平面也都相切，同时与球O1和球O2都外切，则的值为 参考答案：3【考点】与二面角有关的立体几何综合题【分析】两个单位立方体构成直二面角，建立空间坐标系，利用向量法能求出结果【解答】解：如图为两个单位立方体构成，图中的左侧面和底面构成题目中的直二面角，O1、O2为单位球的球心，小球O在MN上设OH=r，则有：OO1=OO2=r+1，才能满足外切条件如图，为M为原点建立

8、空间坐标系，各点坐标为：O （r，0，r），O2（1，1，1）OO22=（1+r）2，（1r）2+1+（1r）2=（1+r）2，解得：r=3，其中r=3为符合题意的解r=3故答案为：3【点评】本题考查小球半径的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用14. 已知函数是定义在R上的偶函数, 且在区间单调递增. 若实数满足, 则的取值范围是_.参考答案：,2略15. 函数为偶函数且为减函数在上，则a的范围为_参考答案：a且a为偶数为减函数 a为偶函数 a为偶数类似的，若为奇函数，减函数在上，求范围解析：为减函数 为奇函数 为奇数注意；幂函数的定义性质必须弄懂16. 圆的方程为若直线与

9、圆有交点，则实数的取值范围是 .参考答案：17. 命题：“若x21，则-1x1”的逆否命题是_. 参考答案：略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系（1）求曲线C的极坐标方程；（2）若点P的极坐标为，过P的直线与曲线C交于A，B两点，求的最大值参考答案：（1）（2）【分析】（1）先将中的消去得普通方程，再利用可得极坐标方程；（2）先求出AB的参数方程，代入曲线C的普通方程，利用韦达定理及三角函数的性质可得的最大值.【详解】解：（1）由，得， 即，

10、所以，即，故曲线C的极坐标方程为. （2）因为P的极坐标为，所以P的直角坐标为，故可设AB的参数方程为（为参数）.将代入，得， 设点对应的参数分别为，则， 所以， 故的最大值为.【点睛】本题考查普通方程，参数方程，极坐标方程之间的互化，考查直线参数方程中参数几何意义的应用，是中档题.19. （本小题满分13分）已知动圆C过定点(1,0),且与直线x=1相切.（）求动圆圆心C的轨迹方程;（）设A、B是轨迹C上异于原点O的两个不同点,直线OA和OB的倾斜角分别为和,当=时,求证直线AB恒过一定点M;若为定值,直线AB是否仍恒过一定点,若存在,试求出定点的坐标; 若不存在,请说明理由. 参考答案：(

11、)设动圆圆心M(x,y),依题意点M的轨迹是以(1,0)为焦点,直线x=1为准线的抛物线2分其方程为y2=4x.- 3分()设A(x1,y1),B(x2,y2).由题意得x1x2(否则)且x1x20,则所以直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=kx+b,则将y=kx+b与y2=4x联立消去x,得ky24y+4b=0由韦达定理得-6分当=时,所以,7分所以y1y2=16,又由知:y1y2=所以b=4k;因此直线AB的方程可表示为y=kx+4k,所以直线AB恒过定点(4,0). 8分当为定值时.若=,由知,直线AB恒过定点M(4,0) 9分当时,由,得=将式代入上式整理化简可得:,所以,11分

12、此时,直线AB的方程可表示为y=kx+,所以直线AB恒过定点12分所以当时,直线AB恒过定点(4,0).,当时直线AB恒过定点.13分20. 已知函数f（x）=+lnx1，aR（1）若曲线y=f（x）在点P（1，y0）处的切线平行于直线y=x+1，求函数y=f（x）的单调区间；（2）是否存在实数a，使函数y=f（x）在x（0，e上有最小值1？若存在，求出a的值，若不存在，说明理由参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）根据曲线y=f（x）在P（1，y0）处的切线平行于直线y=x+1，则f（1）=1，求出a，对函数求导，l利用导函数，在定义域中

13、求出函数的单调区间（2）f（x）=，分a0，ae，0ee讨论函数的最小值，建立有关a的方程，求出a即可【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+），y=f（x）在点P（1，y0）处的切线平行于直线y=x+1，f（1）=1，f（x）=，则f（1）=1a=1，解得a=2，此时f（x）=，由f（x）0，解得x2，此时函数单调递增，增区间为（2，+），由f（x）0，解得0 x2，此时函数单调递增，减区间为（0，2）（2）f（x）=，1）当a0时，f（x）0在（0，e上恒成立，f（x）在（0，e上递增，故不存在最小值2）当ae时，f（x）0在（0，e上恒成立，f（x）在（0，e上递减，故存在最小值

14、为f（e）=，?a=e符合题意3）0ee时，f（x）0在（a，e上恒成立，f（x）在（a，e上递增，f（x）0在（0，a上恒成立，f（x）在（0，a上递减，故存在最小值为f（a）=lna=1?a=e不符合题意综上，存在实数a=e，使函数y=f（x）在x（0，e上有最小值121. （本小题满分13分）如图，已知椭圆是长轴的一个端点，弦BC过椭圆的中心O，且.（）求椭圆的方程；（）设P、Q为椭圆上异于且不重合的两点，且的平分线总是垂直于x轴，是否存在实数，使得，若存在，请求出的最大值，若不存在，请说明理由.参考答案：() ； () 【知识点】椭圆的标准方程；直线与椭圆的位置关系H5 H8解析：（I

15、） 又即，AOC是等腰直角三角形 2分 而点C在椭圆上， 所求椭圆方程为 4分（II）对于椭圆上两点、Q，PCQ的平分线总是垂直于x轴PC与CQ所在直线关于对称，设且，则，6分则PC的直线方程 QC的直线方 将代入得 在椭圆上，是方程的一个根， 8分以替换，得到. 而 AB，存在实数，使得 10分当时即时取等号，又， 13分【思路点拨】() 有已知条件得，然后解出基本量进而得到其标准方程；()把直线与椭圆联立后结合基本不等式即可。22. 如图，PA平面ABCD，四边形ABCD为矩形，PA=AB=，AD=1，点F是PB的中点，点E在边BC上移动. （1）当点E为BC的中点时， 证明EF/平面PAC；（2）求三棱锥E-PAD的体积；（3）证明：无论点E在边BC的何处，都有PEA