二、单摆、受迫振动与共振

1、二、单摆、受迫振动与共振基础知识梳理(_)单摆 1装置：悬挂小球的细线的伸缩量和质量可以忽略，线长又比球的直径大得多。做简谐运动的条件：最大摆角eio。回复力：回复力由重力的切向分力来提供，大小为F =-罕x，不能说成是重力和拉力的合力。在平衡位置振子所受回复力是零，但合力不为零，方向指向悬点，作为圆运动的向心力。 单摆的周期：T二2兀(与单摆的振幅、摆球的质量无关)g小球在光滑圆弧上的往复滚动，和单摆完全等同，只要摆角足够小，这个振动就是简谐运动，这时 周期公式中的l应该是圆弧半径R。(二)受迫振动与共振1受迫振动：驰动力的频率含义：物体在驱动力(既周期性外力)作用下的振动叫受迫振动驰动力的

2、频率特点：物体做受迫振动的频率等于驱动力的频率，与物体的固有 频率无关。2共振( 1)共振曲线及特点当驱动力的频率跟物体的固有频率相等时，受迫振动的振幅最大，这种现象叫共振。物体做受迫振动的振幅由驱动力频率和物体的固有频率共同决定：两者越接近，受迫振动的 振幅越大，两者相差越大受迫振动的振幅越小产生某一振幅可能有两个不同的驱动力频率共振的利用和防止利用共振的有：共振筛、转速计、微波炉、打夯机、跳板跳水、打秋千防止共振的有：机床底座、航海、军队过桥、高层建筑、火车车厢方法指导1 等效单摆周期的求解在有些振动系统中l不一定是绳长，g也不一定为9.8 m/s2,因此出现了等效摆长和等效重力 加速度的

3、问题.(1)等效摆长：在振动平面内物体重心到旋转中心的距离. 例1求出下述两种情况的振动周期23.若摆球做垂直纸面的小角在甲图中，三根等长的绳I, l2、13共同系住一密度均匀的小球m,球直径为d, l2、123.若摆球做垂直纸面的小角夹角a mB，下一次碰撞发生在平衡位置右侧B .如果m：mB，下一次碰撞发生在平衡位置左侧C .无论两球的质量之比是多少，下一次碰撞都不可能在平衡位置右侧D .无论两球的质量之比是多少，下一次碰撞都不可能在平衡位置左侧解析：此题易迷惑之处是：A、B选项虽然给了两者质量关系，但没有给出两球相碰的性质，所以两者碰后可能 A 停下来， B 向右摆；也可能一起向右摆；也

4、可能分开，再次相碰 相碰点在哪儿？尤其是一起向右摆的情况下，会在平衡位置右侧相碰吗？会出现一个球已经从右侧 最高点返回，而另一球还向右侧最高点运动吗？L由于单摆振动周期T二2兀:-与摆球质量无关，而两个单摆摆长相等，所以周期相同，两球相碰 后有这几种可能:碰后两球速度方向相反,这样两球各自到达最高点再返回到平衡位置所用的时间 相等，故两球只能在平衡位置相遇；碰后两球向同一方向运动，则每个球都先到达最大位移处然后 返回平衡位置，所用的时间也都是半个周期，两球仍只能在平衡位置相遇;碰后一球静止，而另一球 运动,贝该球先到最大位移又返回到平衡位置,所用时间还是半个周期,在平衡位置相遇.因此，不管m

5、m，还是m Vm还是m =m，无论摆球质量之比为多少，下一次碰撞都只能发A BA BA B生在平衡位置，也就是说不可能发生在平衡位置的右侧或左侧，所以选项C、D正确。会用共振曲线处理有关问题例 5.如图所示为一单摆的共振曲线，贝该单摆的摆长约为多少？共振时摆球的最大速度大小 是多少？ （g取10m/s2）000i25 0.5 0.7解解解析：这是一道共振曲线所给信息和单摆振动规律进行推理和综合分析的题目。由题意知，当单摆 共振时频率 f=0.5Hz,即 f = 0.5Hz，振幅 A=8cm=0.08m.固由 T = 2兀：得 L = 1.0mg4兀 2 f2根据机械能守恒定律可得：mV 2 =

6、 mgh ,2 mmhA由图（解）可得如下几何关系：越=Z解得 V = A= 0.25m / s.m L感悟高考1（06 天津）一单摆做小角度摆动，其振动图象如图，以下说法正确的是ABCt ABC1t 时刻摆球速度为零，悬线对它的拉力最小2t 时刻摆球速度为零，悬线对它的拉力最大3D t 时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最大4答案:D（2001年全国）细长轻绳下端拴一小球构成单摆，在悬挂点正下方1摆长处有一个能挡住摆2线的钉子A,如图所示现将单摆向左方拉开一个小角度，然后无初速地释放，对于以 吐 TOC o 1-5 h z 后的运动，下列说法中正确的是（）/摆球往返运动一次的周期比无钉子时的单

7、摆周期小L摆球在左、右两侧上升的最大高度一样摆球在平衡位置左右两侧走过的最大弧长相等/ :摆线在平衡位置右侧的最大摆角是左侧的两倍iT解析：由T=2n：- 知, l减小，T减小摆球摆至右侧时，摆长减小，周期变小，故对；因摆动中机械 g能守恒，故左、右两侧上升的最大高度相同，即选对；另由几何知识知，摆球向右摆的最大偏角小于 左侧最大偏角的两倍，故左、右两侧走过的最大弧长不相等,C故D错.答案： AB3（06 广东）铺设铁轨时，每两根钢轨接缝处都必须留有一定的间隙，匀速运行列车经过轨端接缝 处时，车轮就会受到一次冲击。由于每一根钢轨长度相等，所以这个冲击力是周期性的，列车受到 周期性的冲击做受迫振

8、动。普通钢轨长为12.6m,列车固有振动周期为0.315s。下列说法正确的是列车的危险速率为40m / s列车过桥需要减速，是为了防止列车发生共振现象列车运行的振动频率和列车的固有频率总是相等的增加钢轨的长度有利于列车高速运行解析：共振的条件是驱动力的频率等于系统的固有频率，由T =-可求出危险车速为40m/s，故v选项A正确。列车过桥需要减速，是为了防止桥与火车发生共振现象，故选项B错误。 答案： AD 4. （06北京）某同学看到一只鸟落在树枝上的P处，树枝在10s内上下振动了 6次，鸟飞走后，他把50g的砝码挂在P处，发现树枝在10s内上下振动了 12次. 将50g的砝码换成500g砝码

9、后，他发现树枝在15s内上下振动 了 6 次，你估计鸟的质量最接近 （）50gB.200gC.500gD.550g解析：由题中的信息可知，鸟、50g的砝码和500g的砝码三者引起的频率分别为0.6H、1.2H和0.4H，显然质量越大，振动的频率就越小，鸟引起的振动的频 率接近于500g砝码引起的振动的频率，所以鸟的质量应接近500g，故答案选Bo答案：B5（06 全国 1）一砝码和一轻弹簧构成弹簧振子，图1 所示的装置可用于研究该弹簧振子的受迫振 动。匀速转动把手时，曲杆给弹簧振子以驱动力，使振子做受迫振动。把手匀速转动的周期就是驱 动力的周期，改变把手匀速转动的速度就可以改变驱动力的周期。若

10、保持把手不动，给砝码一向下 的初速度，砝码便做简谐运动，振动图线如图2所示。当把手以某一速度匀速转动，受迫振动达到 稳定时，砝码的振动图线如图3所示。若用T表示弹簧振子的固有周期，T表示驱动力的周期，Y 表示受迫振动达到稳定后砝码振动的振幅，则由图线可知 T=4s由图线可知 T=8s0当T在4s附近时，Y显著增大；当T比4s小得多或大得多时，Y很小当T在8s附近时，Y显著增大；当T比8s小得多或大得多时，Y很小图1图1答案：AC闯关训练答案：AC闯关训练1摆长为 L 的单摆做简谐振动，若从某时刻开始计时，（取作 t=0），当振动至t二斗:L时,2计g3兀 丨L3 ”3 _解析：从t=0时经过t

11、二，:时间，这段时间为T,经过 T摆球具有负向最大速度，说明2 g44摆球在平衡位置，在给出的四个图象中，经过T具有最大速度的有C、D两图，而具有负向最大速 4度的只有Do所以选项D正确。2如图所示，三根细线OA, 0B,0C结于0点，A,B端固定在同一水平面上且相距为L,使AOB 成一直角三角形，ZBA0 = 30。，已知0C绳长也为L,下端C点系一个可视为质点的小球，下面说法 中正确的是（ ）AT当小球在纸面内做小角度振动时，周期为：T二叭-B当小球在垂直纸面方向做小角度振动时周期为广=弋C当小球在纸面内做小角度振动时周期为厂=弋D当小球在垂直纸面内做小角度振动时周期为裂I解析：当小球在纸

12、面内做简谐振动时，是以0点为圆心,0C长AT当小球在纸面内做小角度振动时，周期为：T二叭-B当小球在垂直纸面方向做小角度振动时周期为广=弋C当小球在纸面内做小角度振动时周期为厂=弋D当小球在垂直纸面内做小角度振动时周期为裂I没有松弛，其摆长为L,所以周期是T二2兀，：；当小球在垂直于纸面的方向上做简谐振动时，摆球 U是以0C的延长线与AB交点为圆心做振动，其等效的摆长为L十Lsin6Oo/2=L十爲L/4 ,其周期为T/ = 2匸：,故选A.4 g如图所示，将小球甲、乙、丙（都可视为质点）分别从A、B、C三点由静止同时释放，最后 都到达竖直面内圆弧的最低点D,其中甲是从圆心A出发做自由落体运动

13、，乙沿弦轨道从B点（与圆心等高）运动到D,丙是从圆弧上的C点沿圆弧下滑到C点且C点很靠近D点。如果忽略一切摩擦阻力，那么下列判断正确的是 （）甲球最先到达D点，乙球最后到达D点甲球最先到达D点，丙球最后到达D点丙球最先到达D点，乙球最后到达D点解析：甲球到达D点所需时间订.2R乙球到达D点所需时间t乙：2 解析：甲球到达D点所需时间订.2R乙球到达D点所需时间t乙：2 BDa丙球到达 D 点所需时间 t丙显然t甲t丙t 乙，选项A正确。甲丙乙答案： A一只单摆在第一行星表面上的周期为人，在第二行星表面上的周期为T2,若这两个行星的质 量之比M : M=4 ： 1,半径之比R : R=2 : 1

14、，则（ ）1 2 1 2A.T : T=1 ： 1 B.T : T =4 ： 1 C.T : T =2 ： 1 D.T : T =2 2 : 11 2 1 2 1 2 1 2GM解析：由万有引力定律得g =11 R 21GMg 二2g2R 22由单摆的周期公式得T由单摆的周期公式得Ti=2nlT=2nlT=2n2 g 2由得T1 : T2=1 : 1.答案：A 12某行星质量是地球质量的一半 振动频率是它在地球上振动频率的（该行星半径又是地球半径的一半，则一个单摆在这个行星的 ）A.2倍C.4 A.2倍C.4 倍D.1/4 倍解析：由 mg=GMm/R解析：由 mg=GMm/R2 有11C1）

15、2 = 122由T=2由T=2h ：g可知而f=1/T,故正确选项为B.A.BA.BCD自己荡秋千想荡高一些，必须在两侧最高点提高重心，增加势能，上述说法中正确的是A 解析：秋千近似为单摆，其周期、频率由摆长l和当地的重力加速度决定，与质量无关，故知A错; 具有向下的加速度时处于失重状态，而在最低点具有向上的向心加速度，故 B 错；最低点绳子承受 的拉力最大，故在最低点易断，故C对；在最高点提高重心，可使体内化学能转化为机械能（势能）, 可荡得高一些，可见D亦正确.答案： CD若它们均在频率为 3f 的驱动7. A、B两个弹簧振子，A的固有频率为f，B的固有频率为4f, 若它们均在频率为 3f

16、 的驱动振动频率为 3f振动频率为 4fA振子A的振幅较大，振动频率为fB振动频率为 3f振动频率为 4fC振子A的振幅较大，振动频率为3fD振子B的振幅较大， 解析：物体做受迫振动的频率等于驱动力的频率，故A、B两振子的振动频率都为3f.由于B的固有 频率接近于驱动力的频率，故B振子振幅较大即选项B正确.答案： B8如图所示，在一根张紧的水平绳上，悬挂有a、b、c、d、e五个单摆，让a摆略偏离平衡位 置后无初速释放，在垂直纸面的平面内振动；接着其余各摆也开始振动。下列说法中正确的有（： ）A.各摆的振动周期与a摆相同各摆的振幅大小不同，c摆的振幅最大各摆的振动周期不同，c摆的周期最长各摆均做

17、自由振动解析：a摆做的是自由振动，周期就等于a摆的固有周期，其余各摆均做受迫振动，所以振动周期 均与a摆相同。c摆与a摆的摆长相同，所以c摆所受驱动力的频率与其固有频率相等，这样c 摆产生共振，故c摆的振幅最大。此题正确答案为 A、B。把一个筛子用四根弹簧支起来，筛子上装一个电动偏心轮，它每转一周，给筛子一个驱动力， 这就做成了一个共振筛。不开电动机让这个筛子自由振动时，完成20次全振动用15s；在某电压下， 电动偏心轮的转速是88r/min。已知增大电动偏心轮的电压可以使其转速提高，而增加筛子的总质 量可以增大筛子的固有周期。为使共振筛的振幅增大，以下做法正确的是（ ）A.降低输入电压B.提

18、高输入电压C.增加筛子质量D.减小筛子质量解析：筛子的固有频率为f固=4/3Hz，而当时的驱动力频率为f驱=88/60Hz，即f固 f驱。为了 达到振幅增大，应该减小这两个频率差，所以应该增大固有频率或减小驱动力频率。本题应选AD。将一个力电传感器接到计算机上，可以测量快速变化的力。用这种方法测得的某单摆摆动过程中悬线上拉力大小随时间变化的曲线如右图所示。由此图线提供的信息做出的判断正确的是：A.t = 0.2s时刻摆球正经过最低点;B.t = 1.1s时摆球正处于最高点;C.摆球摆动过程中机械能时而增大时而减小；D.摆球摆动的周期约是T = 0.6sA.t = 0.2s时刻摆球正经过最低点;B.t = 1.1s时摆球正处于最高点;C.摆球摆动过程中机械能时而增大时而减小；D.摆球摆动的周期约是T = 0.6s。上述判断中是悬解析：注意这是悬线上的拉力图象，而不是振动图象。球到达最高点时，悬线上的拉力最小；当摆球到达最低点时，悬线上的拉力