高二人教A版必修系列教案111正弦定理

1、第一章 解斜三角形 111 正弦定理（一）教学目标1学问与技能 : 通过对任意三角形边长和角度关系的探究,把握正弦定理的内容及其证明方法； 会运用正弦定理与三角形内角和定懂得斜三角形中的一类简单问题2. 过程与方法 : 让同学从已有的几何学问动身, 共同探究在任意三角形中,边与其对角的关系,引导同学通过观看,推导,比较,由特别到一般归纳出正弦 定理,并进行定理基本应用的实践操作；3情态与价值： 培育同学在方程思想指导下处懂得三角形问题的运算才能；培育同学合情推理探究数学规律的数学思思想才能,通过三角形函数、 正弦定理、向量的数量积等学问间的联系来表达事物之间的普遍联系与辩证统一；（二）教学重、

2、难点 重点：正弦定理的探究和证明及其基本应用；难点：正弦定理的推导即懂得（三）学法与教学用具学法：引导同学第一从直角三角形中揭示边角关系：aAbBcC,sinsinsin接着就一般斜三角形进行探究, 发觉也有这一关系； 分别利用传统证法和向量证 法对正弦定理进行推导,让同学发觉向量学问的简捷,新奇；教学用具：直尺、投影仪、运算器（四）教学过程 1 创设情形 如图 11-1 ,固定ABC的边 CB及B,使边 AC围着顶点 C转动；A 摸索：C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？明显,边 AB的长度随着其对角C的大小的增大而增大；能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B 2 探

3、究争论 图 11-1在中学,我们已学过如何解直角三角形,下面就第一来探讨直角三角形中,角与边的等式关系；如图 11-2 ,在 Rt ABC中,设 BC=a,AC=b,AB=c, 依据锐角三角函数中正弦函数的定义,有c a sin A,bc sin B,又 sin C 1 cc, A a 就 sinAbBcCcAb b c sinsin从而在直角三角形a ABC中, sinBcC C a sinsinB 图 11-2 摸索：那么对于任意的三角形,以上关系式是否仍旧成立？（由同学争论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情形：如图 11-3 ,当ABC是锐角三角形时,设边AB上的高是 CD,依据

4、任意角三角函数的定义,有CD= sinBbsina A, 就 sinAb sinB,C c 同理可得 sinCbB, b sina a 从而 sinAbBcC A c sinsinB 图 11-3 摸索：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题,从而可以考虑用向量来争论这个问题；ur uuur（证法二）：过点 A 作 j AC, C uur uuur uur由向量的加法可得 AB AC CBur uur ur uuur uur就 j AB j AC CB A B ur uur ur uuur ur uur ur j AB j AC j CB jr uuur 0 r uuur 0j AB

5、 cos 90 A 0 j CB cos 90 C sin A a sin C ,即 sin aA sin cC同理,过点 C作 rj uuurBC ,可得 sin bB sin cC从而 sin aA sin bB sin cC类似可推出,当 ABC是钝角三角形时,以上关系式仍旧成立； （由同学课后自己推导）从上面的研探过程,可得以下定理正弦定理： 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即aAbBcCsinsinsin 懂得定理 （1）正弦定理说明同一三角形中,边与其对角的正弦成正比,且比例系数为同一正数,即存在正数k 使aksinA,bksinB ,cksinC ；AcC（2）aA

6、bBca C等价于sinAbc B,sinCba B,sinsinsinsinsinsinsin从而知正弦定理的基本作用为：已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边,如absinA B；sin已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值,如sinAasinB；解三角形 ；b一般地,已知三角形的某些边和角,求其他的边和角的过程叫作3 例题分析 例 1在ABC 中,已知A0 32.0,B0 81.8,a42.9cm,解三角形；解：依据三角形内角和定理,C1800AB18000 32.00 81.8 66.2 ；依据正弦定理,basinB42.9sin81.8080.1 cm ；sinA

7、sin32.00依据正弦定理,casinC42.9sin66.2074.1 cm .sinAsin32.00评述：对于解三角形中的复杂运算可使用运算器；例 2 如图,在 ABC中,A的平分线 AD与边 BC相交于点 D,求证：BD DCAB AC证明：如图在ABD和 CAD中,由正弦定理,得BDAB ,sinDCACAC ,sinsinsinsin1800两式相除得BD DCABA AC五巩固深化反馈争论B 1800 1 已知 ABC 已知 A=60 0,B=30 0,a=3；求边 b=（）D : C 3 D 2（2）已知 ABC 已知 A=45 0,B=75 0,b=8；求边（）A 8 B 4 C 43 -3 D 83 -8 （3）正弦定理的内容是（4）已知 a+b=12 B=450 A=600 就就就 a=-,b=- （5）已知