初中数学北师大九年级上册（2023年修订） 反比例函数自选20题3

1、4.如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点E是AD边上一点，BE=BC（1）求证：EC平分BED（2）过点C作CFBE，垂足为点F，连接FD，求FDEC的值2.如图，ABC和ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，ACB的顶点A在ECD的斜边DE上，AB、CD交于点F，连接BD （1）求证：ECADCB；（2）求证：AE2+AD2=2AC2；（3）若AE=2，AF:CF=2:3，求线段AB的长3.如图，已知在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，点E是线段AD边上的任意一点（不含端点A、D），连结BE、CE（1）若a=5，AC=13，求b（2）若a=5，b=10，当BEAC时，求

2、出此时AE的长（3）设AE=x，试探索点E在线段AD上运动过程中，使得ABE与BCE相似时，求a、b应满足什么条件，并求出此时x的值4.如图，在RtABC中，C=90，AC=4cm，BC=3cm动点M、N从点C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A、B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动连接PM、PN，设移动的时间为t（单位：秒，0t） （1）当t为何值时，MCN面积为2cm2？（2）是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积为215cm2？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由（3）当t为何值时，以A、P、M为顶点的三角形与ABC相似？2.阅读下面

3、内容：我们已经学习了二次根式和乘法公式，聪明的你可以发现：当a0，b0时，(a-b)2=a-2ab+b0，a+b2ab，当且仅当a=b时取等号 请利用上述结论解决以下问题：（1）请直接写出答案：当x0时，x+1x的最小值为_，当x-1），求y的最小值（3）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AOB、COD的面积分别为4和9，求四边形ABCD面积的最小值3.如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OEFG的顶点F坐标为（4，2），OG边与y轴重合将矩形OEFG绕点O逆时针旋转，使点F落在y轴的点N处，得到矩形OMNP，OM与GF交于点A （1）判断OGA和NPO是否相似，并说明理由；（

4、2）若过点A的反比例函数的图象与EF交于B点，请探索：直线AB与OM的位置关系，并说明理由；（3）在GF所在直线上，是否存在一点Q，使AOQ为等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足要求的Q点坐标5.如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，P、Q、M、N分别从A、B、C、D出发，沿AD、BC、CB、DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止、已知在相同时间内，若BQ=xcm（x0），则AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm，（1）当x为何值时，点P、N重合；（2）当x为何值时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形6.问题1：如图，在ABC中，

5、AB=4，D是AB上一点（不与A，B重合），DEBC，交AC于点E，连接CD设ABC的面积为S，DEC的面积为S（1）当AD=3时，SS=_；（2）设AD=m，请你用含字母m的代数式表示SS问题2：如图，在四边形ABCD中，AB=4，ADBC，AD=12BC，E是AB上一点（不与A，B重合），EFBC，交CD于点F，连接CE设AE=n，四边形ABCD的面积为S，EFC的面积为S请你利用问题1的解法或结论，用含字母n的代数式表示SS7.如图，在菱形ABCD中，AC，BD交于点O，且AC=12cm，BD=16cm点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为lcm/s；同时，直线EF从点D出发，沿DB

6、方向匀速运动，速度为lcm/s，EFBD，且与AD，BD，CD分别交于点E，QF，当直线EF停止运动时，点P也停止运动连接PF，设运动时间为t（s）（0t8）解答下列问题：（1）求菱形ABCD的面积；（2）当t=1时，求QF长；（3）是否存在某一时刻t，使四边形APFD是平行四边形？若存在，求出t值，若不存在，请说明理由；（4）设DEF的面积为s（cm2），试用含t的代数式表示S，并求t为何值时，DEF的面积与BPC的面积相等8.如图，ABC中，C=90，AC=8cm，BC=4cm，一动点P从点C出发沿着CB方向以1cm/s的速度运动，另一动点Q从A出发沿着AC边以2cm/s的速度运动，P，Q

7、两点同时出发，运动时间为t（s）（1）若PCQ的面积是ABC面积的14，求t的值？（2）PCQ的面积能否为ABC面积的一半？若能，求出t的值；若不能，说明理由9.对于平行线，我们有这样的结论：如图1，ABCD，AD，BC交于点O，则AODO=BOCO请利用该结论解答下面的问题：如图2所示，ABC中，AD是BC边上的中线，F是AD边上一点，射线CF交AB于E点，且AEEB=16，求AFFD答案和解析1.【答案】证明：（1）ACB和ECD都是等腰直角三角形，CE=CD，CA=CB，ECD=ACB=90，ECA=DCB，在ACE和BCD中，CE=CDECA=DCBAC=CB，ECADCA（2）ACE

8、BCD，BD=AE， EAC=CBD，EAC+CAD=180，CAD+CBD=180，ACB+ADB=180，ACB=90，ADB=90，AD2+BD2=AB2，AC=BC，ACB=90，AB=2AC，AE2+AD2=2AC2解：（3）设AC=x，则CB=AC=x，ADC=ABC=45，AFD=CFB，AFDCFB，AFCF=ADCB，AD=AFCFCB=23x，AE2+AD2=2AC2，4+23x2=2x2，解得x1=32，x2=-32（舍去），在RtACB中，AB=ACsinABC=322.【解析】本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，锐角

9、三角函数的定义，四边形内角和定理，属于中考常考题型（1）根据等腰直角三角形的性质得CE=CD，CA=CB，ECD=ACB，由此即可证明（2）由（1）可知AE=BD，在RTADB中利用勾股定理即可解决（3）设AC=x，则CB=AC=x， 先证得AFDCFB，得到AD=AFCFCB=23x，再根据勾股定理得到4+23x2=2x2，进而在RtACB中，根据锐角三角函数的定义求得线段AB的长2.【答案】解：（1）2；-2；（2）y=x2+7x+10 x+1=(x+1)2+5(x+1)+4x+1=(x+1)+4(x+1)+52x+14x+1+5=9，x-1，当且仅当x=1时取等号即y的最小值为9；（3）

10、设SBOC=x，则SAOC=36x，四边形ABCD面积=4+9+x+36x(x0)2x36x+13=25，当且仅当x=6时取等号，即四边形ABCD面积的最小值为25【解析】【分析】本题考查了二次根式及乘法公式的应用（1）由题意可知，当x0时，x+1x的最小值为2，当x0时，x+1x的最小值为2，当x0时，x+1x的最大值为-2，故答案为2；-2；（2）见答案；（3）见答案3.【答案】解：（1）OGANPO，理由是：将矩形OEFG绕点O逆时针旋转，使点F落在y轴的点N处，得到矩形OMNP，P=AGO=90，PNOM，PNO=AOG，OGANPO；（2）OGANPO，AGOP=OGNP，OP=OG

11、=2，PN=OM=OE=4，AG=1，A（1，2），设过点A的反比例函数解析式是y=kx，代入得：k=2，即过点A的反比例函数解析式是y=2x.ABOM，理由是：把x=4代入y=2x得：y=12，即B（4，12），BE=12，BF=2-12=32，A（1，2），AG=1，OG=2，AF=4-1=3，AGBF=132=23，OGAF=23，AGBF=OGAF，AGO=F=90，AGOBFA，OAG=ABF，FAB+ABF=180-90=90，OAG+FAB=90，OAB=180-90=90，ABOM；（3）如图所示：当AO=AQ1=5时，Q1（1+5,2）；当AO=OQ2=5时，Q 2（-1，2

12、），当AO=AQ3=5时，Q 3（1-5，2），当AQ4=OQ4时，Q 4（，2）故Q点的坐标为：Q （1+5,，2）或Q（1-5，2）或Q（-1，2）或Q（，2）.【解析】本题考查了矩形性质，三角形的内角和定理，相似三角形的性质和判定，用待定系数法求反比例函数的解析式等知识点，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，题目比较好，综合性比较强，有一定的难度.（1）根据矩形性质得出P=AGO=90，PNOM，根据平行线性质求出PNO=AOG，根据相似三角形的判定推出即可；（2）根据相似得出比例式，求出AG长，即可得出A的坐标，设过点A的反比例函数解析式是y=kx，把A的坐标代入求出k，即求

13、出反比例函数的解析式.求出B的坐标，求出AGBF=OGAF，根据AGO=F=90证AGOBFA，推出OAG=ABF，求出OAG+FAB=90，求出OAB的度数，根据垂直定义推出即可；（3）利用等腰三角形的性质，分别利用当AO=AQ1=5时，当AO=OQ2=5时，当AO=AQ3=5时，当AQ4=OQ4时，分别得出即可4.【答案】（1）证明：四边形ABCD是矩形，ADBC，DEC=BCE，BE=BC，BEC=BCE，DEC=BEC，即EC平分BED（2）解：在RtABE中，AB=3，BE=BC=5，AE=BE2-AB2=4，DE=1，在ECD和ECF中，D=CFE=90DEC=FECCE=CEEC

14、DECF，ED=EC=1，CF=CD=3，S四边形EFCD=2SEDC=12FDEC，EC垂直平分线段DF，12FDEC=21231=3，FDEC=6【解析】（1）由四边形ABCD是矩形，推出ADBC，推出DEC=BCE，由BE=BC，推出BEC=BCE，推出DEC=BEC，即可解决问题（2）在RtABE中，可得AE=BE2-AB2=4，推出DE=1，由ECDECF，推出ED=EC=1，CF=CD=3，推出EC垂直平分线段DF，根据S四边形EFCD=2SEDC=12FDEC，即可解决问题本题考查矩形的性质、角平分线的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅

15、助线，构造全等三角形解决问题，记住当四边形对角线垂直时，面积等于对角线乘积的一半，属于中考常考题型5.【答案】解：（1）P，N重合，2x+x2=20，x1=21-1，x2=-21-1（舍去），当x=21-1时，P，N重合；（2）因为当N点到达A点时，x=25，此时M点和Q点还未相遇，所以点Q只能在点M的左侧，当点P在点N的左侧时，依题意得20-（x+3x）=20-（2x+x2），解得x1=0（舍去），x2=2，当x=2时四边形PQMN是平行四边形；当点P在点N的右侧时，依题意得20-（x+3x）=（2x+x2）-20，解得x1=-10（舍去），x2=4，当x=4时四边形NQMP是平行四边形，所

16、以当x=2或x=4时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形【解析】（1）由于若BQ=xcm（x0），则AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm，而点P、N重合，那么2x+x2=20，解这个方程即可求出x的值；（2）由于当N点到达A点时，x=25，此时M点和Q点还未相遇，所以点Q只能在点M的左侧以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形时分两种情况：当点P在点N的左侧时，由此即可得到关于x的方程，解方程即可；当点P在点N的右侧时，由此也可以列出关于x的方程，解方程即可此题是一个运动型问题，把运动和平行四边形的性质结合起来，利用题目的熟练关系列出一元二次方程解决问题解题时首先要认真阅读

17、题目，正确理解题意，然后才能正确设未知数列出方程解题6.【答案】（1）316（2）解法一：AB=4，AD=m，BD=4-m，DEBC，CEEA=BDAD=4-mm，SDECSADE=CEAE=4-mm，DEBC，ADEABC，SADESABC=(m4)2=m216，SDECSABC=SDECSADESADESABC=4-mmm216=-m2+4m16，即SS=-m2+4m16；解法二：如图1，过点B作BHAC于H，过D作DFAC于F，则DFBH，ADFABH，DFBH=ADAB=m4，SDECSABC=12CEDF12CABH=4-m4m4=-m2+4m16，即SS=-m2+4m16；问题2：

18、如图，解法一：如图2，分别延长BD、CE交于点O，ADBC，OADOBC，OAOB=ADBC=12，OA=AB=4，OB=8，AE=n，OE=4+n，EFBC，由问题1的解法可知：SCEFSOBC=SCEFSOEFSOEFSOBC=4-n4+n(4+n8)2=16-n264，SOADSOBC=(OAOB)2=14，SABCDSOBC=34，SCEFSABCD=SCEF34SOBC=4316-n264=16-n248，即SS=16-n248；解法二：如图3，连接AC交EF于M，ADBC，且AD=12BC，SADCSABC=12，SADC=12SABC，SADC=13S，SABC=23S，由问题1

19、的结论可知：SEMCSABC=-n2+4n16，MFAD，CFMCDA，SCFMSCDA=SCFM13S=3SCFMS=(4-n4)2，SCFM=(4-n)248S，SEFC=SEMC+SCFM=-n2+4n1623S+(4-n)248S=16-n248S，SS=16-n248【解析】解：问题1：（1）AB=4，AD=3，BD=4-3=1，DEBC，CEEA=BDAD=13，SDECSADE=ECAE=13=39，DEBC，ADEABC，SADESABC=(34)2=916，SDECSABC=316，即SS=316，故答案为：316；（2）问题1：见答案问题2：见答案【分析】（1）先根据平行线

20、分线段成比例定理可得：CEEA=BDAD=13，由同高三角形面积的比等于对应底边的比，则SDECSADE=ECAE=13=39，根据相似三角形面积比等于相似比的平方得：SADESABC=(34)2=916，可得结论；（2）解法一：同理根据（1）可得结论；解法二：作高线DF、BH，根据三角形面积公式可得：SDECSABC=12CEDF12CABH，分别表示CECA和DFBH的值，代入可得结论；问题2：解法一：如图2，作辅助线，构建OBC，证明OADOBC，得OB=8，由问题1的解法可知：SCEFSOBC=SCEFSOEFSOEFSOBC=4-n4+n(4+n8)2=16-n264，根据相似三角形

21、的性质得：SABCDSOBC=34，可得结论；解法二：如图3，连接AC交EF于M，根据AD=12BC，可得SADCSABC=12，得：SADC=13S，SABC=23S，由问题1的结论可知：SEMCSABC=-n2+4n16，证明CFMCDA，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，根据面积和可得结论本题考查了相似三角形的性质和判定、平行线分线段成比例定理，熟练掌握相似三角形的性质：相似三角形面积比等于相似比的平方是关键，并运用了类比的思想解决问题，本题有难度7.【答案】解：（1）四边形ABCD是菱形，AC=12cm，BD=16cm，菱形ABCD的面积为121216=96（cm2）（2）ABCD

22、，ACBD，OA=OC=6cm，OB=OD=8cm，在RtAOB中，AB=62+82=10（cm），当t=1时，DQ=1，EFBD，ACBD，EFAC，DQDO=QFOC，18=QF6，QF=34（cm）（3）四边形ABCD是菱形，ABCD，ACBD，OA=OC=6，OB=OD=8在RtAOB中，AB=62+82=10EFBD，FQD=COD=90又FDQ=CDO，DFQDCODFDC=QDOD，即DF10=t8，DF=54t四边形APFD是平行四边形，AP=DF即10-t=54t，解这个方程，得t=409当t=409s时，四边形APFD是平行四边形（4）S=SDEF=12EFQD=1232t

23、t=32t2如图作CGAB于点GS菱形ABCD=ABCG=12ACBD，即10CG=121216，CG=485，SBPC=12t485=245t，当DEF的面积与BPC的面积相等时，34t2=245t，解得t=325或t=0（舍弃），S=34t2，当t=325时，DEF的面积与BPC的面积相等【解析】（1）根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可；（2）由EFAC，可得DQDO=QFOC，构建方程即可解决问题；（3）由DFQDCO得出DFDC=QDOD，求出DF由AP=DF求出t（4）根据三角形的面积公式计算即可，再根据DEF的面积与BPC的面积相等构建方程求出t即可解决问题；本题属于四边形

24、综合题，主要涉及到菱形的性质、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、函数与方程以及数形结合思想的综合运用，解题的关键是根据三角形相似比求出相关线段8.【答案】解：（1）SPCQ=12t（8-2t），SABC=1248=16，12t（8-2t）=1614，整理得t2-4t+4=0，解得t=2，当t=2s时PCQ的面积为ABC面积的14；（2）当SPCQ=12SABC时，12t（8-2t）=1612，整理得t2-4t+8=0，=（-4）2-418=-160，此方程没有实数根，PCQ的面积不可能是ABC面积的一半.【解析】本题考查一元二次方程的应用，三角形的面积，解题关键是要读懂

25、题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解.（1）根据三角形的面积公式可以得出ABC面积为1248=16，PCQ的面积为12t（8-2t），由题意列出方程解答即可；（2）由等量关系SPCQ=12SABC列方程求出t的值，但方程无解.9.【答案】解：如图，取EC的中点G，连接DG,AD是BC边上的中线，DG是BCE的中位线，DGBE，DG=12BE，AEEB=16，AEDG=13,DGBE,AFFD=EFFG,又AFE=DFG,AEFDGF,AFFD=AEDG=13.【解析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，正确运用定理找准对应关系是解题的关键注意辅助线的作法要恰当取

26、EC的中点G，连接DG，利用三角形中位线的性质得到DGBE，DG=12BE，利用平行线分线段成比例和相似三角形的判定及性质进行求解即可.10.【答案】解：（1）在RtABC中，BC=AC2-AB2=132-52=12，b=12（2）如图1中，BEAC2+3=90又1+3=901=2又BAE=ABC=90AEBBACAEAB=ABBC即AE5=512，AE=2512（2）如图2中，点E在线段AD上的任一点，且不与A、D重合，当ABE与BCE相似时，则BEC=90，所以当BAECEB，则1=BCE，又BCAD，2=BCE，1=2，又BAE=EDC=90，BAEEDC，AEDC=ABDE即xa=ab-x，x2-bx+a2=0，即（x-b2）2=b2-4a24，当b2-4a20，a0，b0，b2a，即b2a时，x=bb2-4a22，综上所述：