多重积分的方法总结

1、D多重积分的方法总结引言：高等数学是一门严密的学科，在学习高数过程中，我认为应用最为广泛的是积分，高数中积分包含了曲面积分、曲线积分、二重积分和三重积分等，它们在许多学科中、生活中应用比较广泛，比如，要计算某个不规则物体的体积就可以运用积分来求解，很多方面均可以转化成微积分的面积，体积的思维来求，这就是它的优点，这种面积和体积是一种抽像的概念了，到了更多重积分又会有更多和意义。那么，下面我将以二重积分和三重积分的定义、计算方法、主要应用公式和二重积分与三重积分的关系为核心来介绍多重积分。(其中计算方法将通过例题来解释)二重积分定义：设二元函数z=f(x,y)定义在有界闭区域D上将区域D任意分成

2、n个子域&(i=123,.,n)，并以&表示第i个子域的面积在&上任取一点(Ei，nD,作和limn+8(n/i=1(&)&)如果当各个子域的直径中的最大值入趋于零时,此和式的极限存在，则称此极限为函数f(x,y)在区域D上的二重积分，记为JJf(x,y)d8,即JJf(x,y)d6=limn+8(Zf(i，ni)A8i)这时，称f(x,y)在D上可积，其中f(x,y)称被积函数f(x,y)d6称为被积表达式,d6称为面积元素,D称为积分域JJ称为二重积分号.同时二重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心，平面薄片转动惯量，平面薄片对质点的引力等等。此外二重积分在实际生活，比

3、如无线电中也被广泛应用。二重积分的计算方法1直角坐标系中累次积分法对于直角坐标系下的二重积分主要是对于区域的划分，可以分为如下两类区域来计算。平面点集D=(x,y)1y1(x)，y，y2(x),a，x，b为x型区域；平面点集D=(x,y)Ix1(y)，x，x2(y),c，y，d为y型区域。x型区域:若f(x,y)在x型区域D上连续，其中y1(x),y2(x)在a,b上连续，则T=0，r十,0，0由分部积分法，即可算得：I=1图2例2试将,f(xy)d化为两种不同次序的累次积分，其中D是y=X由，Dy=2-x和x轴所围成的区域试计算：1=,X2e-y2d的值D解：画出区域图1只能用先对X后先对积

4、y分，则1=,1dy,yx2e-y2dx=,1y3e-y2dy030解首先画出积分区域D如图2，并求出边界曲线的交点（1,1）（0,0）及（2,0）。则,f（X,y）d=,f（X,y）dJJf（x,y）dDD1D2=J1dxJxf（x,y）dyJ2dxj2-xf（x,y）dy0010如果先积x后积则为,f（x,y）d=,1dy,2-yf（x，y）dx0yD2极坐标中的累次积分法当积分区域是圆域或圆域的一部分，或者被积函数的形式为f(x2y2)时，采用极坐标变换x二rcos0y二rsin0于是二重积分极坐标形式为JJf(x,y)dg二JJf(rcos,rsin)rdrd.DD例1把JJf(x，y

5、)dG化成极坐标系中的累次积分,其中D是由圆Dx2+y2二2Ry所围成的区域即为r=2Rsin作射线=0与=兀夹紧域D在0,刃中任作射线与域边界交两点ri=0，r2=2Rsin，得JJf(x,y)dg二JJf(rcos,rsin)rdrd.DD二JdJ2Rsinf(rcos,rsin)rdr.00例2在极坐标系中，计算二重积分JJf(x2+y2)dG,D是由x2+y2二R12和Dx2+y2二R22(R1R2)所围成的环形区域在第一象限的部分。解在极坐标系中画出区域D，如下图，并把D的边界曲线化为极坐标方程，即为r二Rl,r二R2,作两条射线=0与=尹紧积分域D-在。聲之间任作一射线与域D的边界

6、交两点rRl,rR2,所以有,(x2+y2)dg=,r2rdrDD,2d0,R2r3dr=(R4-R4),TOC o 1-5 h z0Rl82l如果积分域D是整个环形，显然有DD,2兀d,R2r3dr0Rl2兀,R2r3dr=r4r2R2R1l兀捫2-R41).三重积分定义：如果当各小闭区域的直径中的最大值趋于零时这和的极限总存在，则称此极限为函数f(xyz)在闭区域上的三重积分。体积元素设三元函数z=f(x,y,z)定义在有界闭区域Q上将区域Q任意分成n个子域vi(i=1,2,3，,n),并以Avi表示第i个子域的体积在Avi上任取一点(i,ni,Zi),作和limnT(n/i=1I(i,n

7、i,Zi)Avi)如果当各个子域的直径中的最大值入趋于零时,此和式的极限存在，则称此极限为函数f(x,y,z)在区域Q上的三重积分，记为TJJf(x,y,z)dv,即f(x,y,z)dv=limnT(If(i,ni,Zi)ASi),其中dv叫做体积三重积分的计算方法一般来说利用4种方法可以解答大多数三重积分的问题，并且它们之间有着密切的联系。而同一题可以有多种解法，有简有繁，这就要因题而议了。这四种方法分别是：1、坐标面投影法要注意围成闭区间的上下两个区面在一个轴平面的投影应该相同2、坐标轴投影要注意Dz(平行于XY面的横截面)容易用一个变量Z表示。3、使用柱面参数要特别注意Z的上下限的确定，

8、其上下限主要取决此区域是曲面的那一段(哪一部分曲面)4、球面坐标法。三重积分的计算是化为三次积分进行的。其实质是计算一个定积分(一重积分)和一个二重积分。从顺序看：如果先做定积分f(x,y,z)dz，再做二重积分F(x,y)do，就是“投影法”，z1D也即“先一后二。步骤为：找，及在面xoy投影域D。多D上一点(x,y)穿线”确定z的积分限，完成了“先一”这一步(定积分)；进而按二重积分的计算步骤计算投影域D上的二重积分，完成“后二”这一步。f(x,y,z)dv=z2f(x,y,z)dzdc，DZ如果先做二重积分JJf(x,y,z)dO再做定积分fF(z)dz就是“截面法”也即Dzc1先二后一

9、。步骤为：确定,位于平面z二c与z二c之间，即zc,c，过z1212作平行于xoy面的平面截,，截面D。区域D的边界曲面都是z的函数。计算zz区域D上的二重积分JJf(x,y,z)do，完成了“先二”这一步(二重积分)；进zDz而计算定积分F(z)dz/完成后一这一步。BIf(x,y,z)dv=c2f(x,y,z)ddzc,cD当被积函数f(z)仅为z的函数(与x,y无关)，且D的面积o(z)容易求出时，z“截面法”尤为方便。为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系计算的问题。可以按以下几点考虑：将积分区域，投影到xoy面，得投影区域D(平面)D是X型或Y型，可选择直角坐标系计算(当，的边

10、界曲面中有较多的平面时，常用直角坐标系计算)D是圆域(或其部分)，且被积函数形如f(x2+y2),f(Z)时，可选择柱面x坐标系计算(当,为圆柱体或圆锥体时，常用柱面坐标计算),是球体或球顶锥体，且被积函数形如f(x2+y2+z2)时，可选择球面坐标系计算以上是一般常见的三重积分的计算方法。对,向其它坐标面投影或,不易作出的情形不赘述。0I，zdxdydz，0,1，6011卡1-xydxdyzdz，00013x-x2+x3-62x11(1-x-y)2dy，22001,1x41，4024(1-x)2y-(1-x)y2+3y30-xdx0三重积分的计算方法例题：1:计算二重积分I，zdxdydz,

11、其中0为平面x+y+z，1与三个坐标面x，0,y，0,z，0围成的闭区域。解1“投影法”1画出0及在xoy面投影域D.2.“穿线”0z1x-yX型D:0 x10y1-x0 x1二0:0y1-x0z1-x-y00解2“截面法”1画出0。2.ze0,1过点Z作垂直于z轴的平面截0得d。zD是两直角边为x,y的直角三角形，x，1-z,y，1-zzzdxdydz，zdxdydz，zSdzDz01-z)(1-z)dz，2+z3)dz，124002:计算x2+y2dv，其中0是x2+y2，z2和Z=1围成的闭区域。解1“投影法”Izx2+2y21画出及在xoy面投影域D.由zi消去z,2.“穿线”x2+y2z1,I-1x1-1一x2y1一x2I-1x1二:，一1一x2y1一x2x2+y2z13计算xdy11fx2x2+y2dzdxx2+y2(1一x2+y2)dy-1-1-x2-1-1-x2解2“截面法”1画出。