《函数》例题精讲与同步练习教案1

1、教学内容：函数【本章教学目标】.平面直角坐标系平面内两条有公共原点且互相垂直的数轴，构成平面直角坐标系. 在平面内建立了直角坐标系以后，对于平面内的任意一点和一对有序实数之间就建立了一一对应的关系，从而把形和数相结合，开辟了用代数方法研究几何问题，或用几何方法研究代数问题的途径.两点间的距离Pi、P2两点间的距离公式为设Pi(Xi，y1)，P2(X2, y2)是平面内的任意两点,则 匚22.2P1P2=d(X2 Xi) *(y2 yi).函数的有关概念及其表示方法设在某变化过程中有两个变量x, y,如果对于 x在某一范围内的每一个确定的值，y都有惟一确定的值与它对应，那么就说y是x的函数，x叫

2、做自变量，记作y=f(x).函数的定义域、对应法则和值域称作函数的三要素.其中，对应法则是函数y对自变量x的依赖关系的具体体现，也是区别各种形式的函数的主要标志.函数的表示方法一般有三种，即解析法、列表法和图象法，它们各有特点，通常是将上述三种方法结合起来使用，来研究具体的函数，因此必须熟练地掌握这三种方法. 一次函数和正比例函数一次函数(2)正比例函数说明：正比例函数 y=kx(k w0)是一次函数y=kx+b(k w。)的特殊情况，一次函数 y=kx+b 的图象是平行于直线 y=kx的一条直线(b=0时为一条直线)，其中k叫做直线的斜率，b叫做 直线在y轴上的截距，它可以是正数，也可以是负

3、数或零.【基础知识精讲】.理解常量与变量，自变量与函数的意义.会求自变量的取值范围.对于给定的函数，会由所给的自变量求出函数值，或由已知的函数值求出对应的自 变量的值.重重点难点解析】.函数的概念常量与变量：在某一变化过程中， 可以取不同数值的量叫做变量；在这个过程中保持同一数值的量叫常量.应特别注意的是：常量和变量往往是相对的，相对于某个变化过程.函数的定义：在某变化过程中，有两个变量x和y,如果对于x的每一个值，y都有惟一确定的值与它相对应，那么称x是自变量，y是x的函数.判断两个变量间是否有函数关系，不能只看是否有关系式存在，还要看对于x的每一个值，y是否都有惟一的值与它对应.如 y=

4、Jx(x0),当x在取值范围内取任一正值时， y有两个值与它对应，因此这里的y不是x的函数.另外，还要注意有些函数关系是不能用关系式表示的.函数关系式用来表示函数关系式的数学式子叫做函数解析式或函数关系式.如以前学过的代数值都是解析式.用数学式子表示函数的方法叫做解析法.自变量取值范围的确定要考虑自变量的取值必须使解析式有意义.当解析式是一个只含有一个自变量的整式 时，自变量的取值范围是全体实数；当解析式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的实数；当解析式是二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数.函数表示的是实际问题时，自变量取值范围还应使实际问题有意义.实数问题的函数解析

5、式的求法：设x为自变量、y为x的函数，在求函数解析式时，一般与解应用题列方程一样，先列出关于x、y的二元方程，再用含 x的代数式表示y,最后 还要写出自变量x的取值范围.函数值对于自变量在取值范围内的一个确定的值，如当x=a时，函数有惟一确定的对应值，这个对应值，叫做 x=a时的函数值.当函数是由一个解析式表示时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式， 又给出函数值，欲求相应的自变量值时，实质就是求解方程；当给定函数值的一个取值范围，欲 求相应的自变量的取值范围时，实际上就是解不等式.两个函数的相同两个函数相同，必须符合下列两个条件：第一，自变量的取值范围相同；第二，自变量 在允许值范围

6、内任取一个确定的值时，相应的两个函数值相等.A.重点、难点提示.初步掌握函数的概念，能判断两个变量之间的关系是否可看作函数；（这是重点，也是难点，要掌握好）.初步形成学生利用函数的观点认识现实世界的意识和能力；.经历具体实例的抽象概括过程，进一步发展学生的抽象概括能力.B.考点指要函数是研究现实世界变化规律的一个重要模型，是初中数学学习的一个重要内容.函数的概念：一般地，在某个变化过程中，有两个变量x和y,如果给定一个 x的值，相应地就确定了一个 y的值，那么我们称 y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量.对于函数的定义的理解：在某个变化过程中有变量且应为两个；对于x的每一个值是指在 x的允

7、许的取值范围内取值；y要通过与x之间的关系求得，并且是惟一的一个值与x相对应；取值的变量叫作自变量， 通过一定的关系随自变量变化而变化的变量叫作自变量的函 数.表示一个函数有很多方法，我们常用以下几种方法来表示一个函数：图象法：用图象来表示两个变量之间关系；表格法：用列表的方法来表示两个变量之间关系；解析法：用代数表达式来表示两个变量之间关系.【难题巧解点拨】例1：下列是某报纸公布的世界人口数据情况:年份195719741987199920102025人口数30亿40亿50亿60亿70亿80亿（1）表中分别有几个变量？（2）你能将其中某个变量看成另一个变量的函数吗？（3）如果用x表示时间，y表

8、示世界人口总数，那么随着 x的变化，y的变化趋势是什 么？（认真审题，是解决问题的关键）（4）世界人口每增加10亿，所需的时间是怎样变化的？解：（1）表中有两个变量：一个是时间（年份），另一个是人口数；（2）我们可以将人口数看成是时间（年份）的函数；(3)由表格可知：随着 x的增大，y逐渐增大；(4)世界人口由30亿增长到40亿，花了 17年时间；由40亿增长到50亿，花了 13 年时间；由50亿增长到60亿，花了 12年时间；由60亿增长到70亿，花了 11年时间；由 70亿增长到80亿，花了 15年时间.因此，世界人口每增加 10亿，所需的时间是先逐渐减 少，后逐渐增加.例2:图61是某地

9、一天的气温随时间变化的图象，根据图象回答，在这一天中:(1)图中分别有几个变量？(2)什么时间气温最高？什么时间气温最低？最高气温和最低气温各是多少？(3) 20时的气温是多少？(4)什么时间的气温为 6C?(要学会从图象中读取出需要的信息)(5)哪段时间内气温不断下降？(6)哪段时间内气温持续不变？图6-1解：(1)图中共有两个变量：一个是时间，另一个是气温；(2)凌晨4时气温最低，气温是4C; 16时气温最高，气温是 10C;20时的气温是8C;10时和22时的气温都是 6C;0时到4时和16时到24时这两段时间内气温不断下降；12时到14时这两个小时内气温保持 8c的温度不变.点评：(1

10、)气温最低、最tWj反映在图像上就是最低点和最tWj点；20时的气温是多少？实质上是求：当 t=20时，T=?(3)什么时间的气温为 6C?实质上是求：当T=6C时，t= ?直线T=6与图像交于两点， 因此t=10或t=22 ;(4)图中共有两段时间气温不断下降，不可遗漏；(5)气温保持不变，指的是 T值保持不变，图中只有 t在12时到14时这两个小时满 足条件.例3:商店出售货物时，要在进货价格基础上再加上一定利润，已知货物数 x与售价y 之间的关系如下表：数量x (千克)12345售价y （元）0.30+0.050.60+0.100.90+0.151.20+0.201.50+0.25（1）

11、随着x的变化，y的变化情况如何？（2）写出用x表示y的公式；（3）计算2.5千克货物的价格.（如果表格中的数据没有分拆成两个数的和，你会把两个变量的关系式表示出来吗？）解：（1）随着x的增大，y也在增大；（2） y=0.30 x+0.05x=0.35x ;（3）要求2.5千克货物的价格，即令 x=2.5 ,则y=0.35 X 2.5=0.875元.答：随x的增大，y也增大；用x表示y的公式为：y=0.35x ; 2.5千克货物的价格为0.875 元.例4:某校组织学生到距离学校 6公里的光明科技馆去参观，学生王红因事没能乘上学 校的包车，于是准备在学校门口改乘出租车去光明科技馆，出租车的收费标

12、准如下：里程收费（元）3公里以下（含3公里）8.003公里以上，每增加 1公里1.80（1）写出出租车行驶的里程数x3 （公里）与费用y （元）之间的关系式；（2）王红身上仅有14元，乘出租车到科技馆的车费够不够？请说明理由.解：（1） y=8+ （x3） x 1.8=1.8x+2.6（x3）;（2）当 x=6 时，y=1.8 X6+2.6=13.43）;车费够了.点评：在这里，8元即是出租车的“起步价”.若多一点生活经验，这类题目较易解决.例5:有一批货，如果月初出售，可获利 1000元，并可将本利和再去投资，到月末获利1.5%;如果月末售出这批货，可获利 1200元，但要付50元保管费.（

13、1）请表示出这批货物的成本a （元）与月初出售到月末的获利额p （元）之间的关系;（2）请问这批货在月初还是月末售出好？解：（1）月初出售到月末的可获利润：（认真审题，理解题意是关键）p=1000+ （a+1000） x 1.5%=0.015a+1015即这批货物的成本a （元）与月初出售到月末的获利额p （元）之间的关系为：p=0.015a+1015 .（2）如果月末售出这批货可获利润：q=120050=1150 （元）,由 p-q=0.015a+1015 -1150=0.015 x （ a9000）,所以当a9000时，月初出售好；当 a=9000时，月初、月末出售一样；当 a9000时,

14、 月末出售好.点评：本题为决策性问题，一般先列出算式或建立函数关系式（变量之间的关系式），通过算式大小的比较或确定函数最值来作出相应的决策.例6:某地防汛部门为做好当年的防汛抗洪工作，根据本地往年的汛期特点和当年气象 信息分析，利用当地水库的水量调节功能，制订当年的防汛计划：从6月10日零时起，打开水闸蓄水，每天经过1号水闸流入水库的水量为6万立方米；从6月15日零时起，打开水库的泄水闸泄水，每天从水库流出的水量是4万立方米；从6月20日零时起再开启水库 2号水闸，每天经过 2号水闸流入水库的水量为 3万立方米；到 6月30日零时，入水闸和泄水闸全部关闭.根据测量，6月10日零时，该水库的蓄水

15、量为96万立方米.（1）设开启2号水闸的第x天的零时，水库的蓄水量为y万立方米，写出用 x表示的y的关系式；（2）如果该水库的最大蓄水量为200万立方米，问该地防汛部门的当前汛期（到 6月30日零时）的防汛计划能否保证水库的安全（水库的蓄水量不超过水库的最大蓄水量）？ 请说明理由.思路分析由于题目较长，不妨把数据列成图表：6月10日：入水，6万立方米/天；（认真审题，理解题意是解题的关键）6月15日：泄水，4万立方米/天；6月20日：入水，3万立方米/天.因而可知：6月20日零时前水库蓄水（96+6X10 4X5）万立方米，20日零时起，每 天入水（6 4+3）万立方米；（2）只需根据（1）所

16、求得的关系式求出 6月30日水库水量，看是否超出 200万立方 米即可.解：（1） y=96+6X 104X 5+ （6 4+3） （x1） =131+5x （1x 11）;（2）当 x=11 时，y=131+5X 11=186200.所以，该地的防汛计划可以保证水库的安全.【典型热点考题】例1 A、B两地相距30千米，王强以每小时 5千米的速度由 A步行到B,若设他与B 点的距离为V,步行的时间为x,则y与x的数量关系式是 （即函数关系式），自 变量x的取值范围是.点悟：行程问题的基本数量关系式为：速度X时间 =距离.王强走x小时的路程为5x, 与他到B的距离y与A、B之间的距离30千米之间

17、的等量关系是 5x+y=30 ,从而有y=30 5x.因 为步行最多是 30千米需花30+5=6（小时），又因为时间为正值，因此，时间 x的变化范围 是0WxW6,零表示还未走，6表示走完全程，都有实际意义.解：解析式为y=30 - 5x,且自变量范围为 0WxW6.点拨：本题考查的是最基本的函数关系式，能据题意写出正确的函数解析式，并写出自变量x的取值范围.例2 水管以均匀的速度向容积为100立方米的空水池中注水， 注水的时间t与注入的水量Q如下表：t（分钟）2468Q （立方米）481216请从表中找出t与Q之间的函数关系式，且求当 t=5分15秒时水池中的水量 Q的值.点悟：从t和Q的数

18、值成正比关系：一= 表示每分钟流量是 2立方米,4 8 12 16即 Q=2t.解：: 水管是匀速流出水于池中，速度是 （4+2）=2,即每分钟2立方米，函数解析式为：Q=2t,自变量t为非负数.又丁 水池容积为100m3,时间不能超过100+ 2=50（分钟），0 t 0且2 yx1。0.解：（1）自变量x的取值范围是全体实数. 2（2） x 8x+15*0,即 xw3 且 xw5.（3）3 -5x0,自变量的取值范围是 x1,（4） : = ，2 -Vx -1 0. 占.5.自变量x的取值范围是x1且xw5.点拨：“且”与“或”的不同用法： “且”的意义是并且，xwa且xwb是指x既不能等

19、 于a,也不能等于b,两者同时具备.“或的意义是或者，xwa或xwb,即是指xa与x wb两者取其一就可以了.例6 下列关于变量 x、y的关系中：3x2y=5,y=|x| ,2x y2=10；其中表示y是x的函数关系是（）（A）（B）（C）（D）点悟：本题是进一步考查函数的概念.紧扣函数的定义，即对于每一个自变量x,都有惟一的y值与之相对应，否则就不是函数关系。解：对于3x2y=5和y=|x| ,由函数的定义知，对于每一个x值都有惟一确定的 y值与之对应，符合函数关系的要求.但对于2x y2 =10,即y2 =2x 10, x与y不构成上述关系，即y不是x的函数.故表示 y是x的函数关系，应选

20、 B. 点拨：函数的定义是学习和运用函数关系的基础，要准确掌握.例7求下列函数中自变量的取值范围.xy = 3x2 _2x_1，(2)-x-2 n2-x(3) y = 3/x 2 + J2 3x ；x -2y=2-x解：(1)解析式为分式,1 x 满足 3x2 2x 1 # 0 ,(x1)(3x+1) w0,1即 x w1 且 xW 31故x的取值氾围为xW 1且xW -3(2)解析式中既有分式，又有偶次根式形式.-x 至 0,x 0,满足 0.x2 或 x2或x 2.点拨：解析式中有几种形式的表达式出现时，必须找出各个形式自变量取值范围的公共解，即求不等式组的解集.【同步达纲练习一】一、选择

21、题.函数y=(|x+1| 1)1中，自变量的取值范围是 ()(A) 一切实数(B)x丰0(C)xw0 或 xw 2(D)xW0 且 xw2.下列关系中，不是函数关系的是()(A) y 二、x(x . 0)(B)y=, x(x 0)(C)y= - , x(x ： 0)(D)y=一、；x(x . 0)3.若等腰三角形的周长为50厘米，底边长为x厘米，一腰长为y厘米，则y与x的函数关系式及变量x的取值范围是()(A)y=50 2x (0 x50)(B)y=50 -2x (0 x25)-1y = 2 (50 - x) (0 x50)1、y = 5 (50 - x) (0 x 1 (B)x w 1 或

22、x w 2(C)x 1 且 xw 2 (D)x - 1 且 xw 2二、填空题6.当x=时，函数y=2x+6与y=-x有相同的函数值，这个函数值为 1 x1.函数y=vx-2+中自变量x的取值范围是x -3.如果水的流速量 a米/分(一定量)，那么每分钟的进水量 Q(立方米)与所选择的水 管直径D(米)之间的函数关系是 ,其中自变量是 ,常量是 .三、解答题.当x为何值时，y = 2xx2 -x-1与y=x 1的函数值相等.求下列函数中自变量的取值范围：=3x2 + 第；2) y1x2 4 = (2-x)0；.x 3 x2 -13 _3 -3 一11 .已知池中有600m 水，每小时抽出 50

23、m ,与出剩余水的体积 Q(m )与时间t(小时)之间的函数关系式；求出自变量 t的取值范围；8小时以后，池中还有多少水？几小时后，池中还有100m3的水？12.如图 61,在 RtABC中，/ C=90 , AC=3 BC=6 D是 AB上任一点，过 D作 DE / BC交AC于点E,作DF/ AC,交BC于F,求四边形DECF的周长y与BD的长x之间的函数 关系式.图6-1【同步达纲练习二】1.下面的图表列出了一项试验的统计数据，表示将皮球从高处d落下时，弹跳高度 b与下落高度d的关系.()(1)随着下落高度d的变化，弹跳高度b是怎样变化的?D5080100150B25405075(单位：

24、cm)D. b=d+25(2)试问下面的哪个式子能表示这种关系？()2- ， dA. b = dB. b=2dC. b =一2. 一段导线，在 0c时的电阻为2欧（电阻单位），温度每增加1C,电阻增加 0.008 欧，那么电阻R （欧）表示为温度t （C）的关系式是（）A. R=0.008tB. R=2+0.008t C. R=2.008t D. R=2t+0.008.某城市按以下规定收取每月的水费：用水如果不超过20方，按每方1.2元收费；如果超过20方，超过部分按每方1.5元收费.已知某用户4月份的水费平均每方 1.35元，那 么4月份该用户应交水费（）A. 48 元B. 52 元C. 5

25、4 元D. 56 元.如图62所示，长方形ABCM四个顶点在互相平彳T的两条直线上，AD=20cmg当BC在平行线上运动时，长方形的面积发生了变化.（1）在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？（2）如果长方形的长 AB为x （cmj）,长方形的面积 y（cm2）可以表示为 .（3）当长AB从25cm变到40cm时，长方形的面积从 cm2变到 cm2.图6-2.声音在空气中的传播速度 v （米/秒）与温度t （度）的关系如下表:t （度）12345v （米/秒）331+0.6331+1.2331 + 1.8331+2.4331+3.0（1）写出速度v与温度t之间的关系；（2）当t=2.5 （

26、度）时，求声音的传播速度.已知鞋子的“码”数与“厘米”数的对应关系如下:码3435363738394041424344厘米2222.52323.52424.52525.52626.527设鞋子的“码”数为 x,长度为y （厘米），试写出y与x之间的关系式.夏季高山上的温度从山脚起每升高100m降低0.7 C,已知山脚下的温度是 26C,山顶的温度是14.1 C,那么山的高度是 m.有两种日常的温度计量单位，一种是摄氏度，将水的凝固温度定为0C,水的沸点定为100 c.另一种是华氏度，将水的凝固温度定为32 F,水的沸点定为212 F.另用公9.式tF =-tC +32,可将摄氏度tC化为华氏度

27、tF.科学家上世纪末测定地球表面平均温度 5大约是15C,预计到2050年，地球表面的平均温度将提高8 F,那时，地球表面的平均温度约是摄氏.9.某下岗职工购进一批货物，到集贸市场零售，已知卖出的货物数量x与售价y的关系如下表：数量x (千克)12345售价y (元)3+0.16+0.29+0.312+0.415+0.5写出用x表示y的公式是图6-3(1)填写下表:图形编号火柴棒根数(2)第n个图形需要多少根火柴？.研究下列算式你会发现什么规律1 3 1 = 4 =22一一 一 22 4 1 =9 =3_23 5 1 =16 =44 6 1 =25 =52(1)上述算式中有哪些变量？(2)你能

28、否将其中一个变量看成是另一个变量的函数?(3)你能将这个函数关系用表达式表示出来吗？.观察下列算式：+23 =9 = (1 +2)2,+23 +33 =36 =(1 +2 +3)2,+23 +33 +43 =100 = (1 + 2 +3 + 4)2,那么第100个算式是什么？第 n个呢？13 .某开发区为改善居民住房条件，每年都要建一批住房，人均住房的面积逐年增加.该开发区1997年至1999年，每年年底人口总数和人均住房面积的统计结果如图6 4所示.请根据此两图提供的信息解答下面的问题：该区1998年和1999年两年中哪一年比上一年增加的住房面积多？多增加多少？开发区近三年人开发区近三年人均住口变化曲线图房面积变化曲线图图6-4参考答案【同步达纲练习一】一、1. A; 2. A; 3. D; 4. B; 5. D。. 3一、6.当x =-或x= 2时，两个函数的函数值相等。这个函数值是3和2。2一，D Y naD2x之2且