高中数学选修2-1配北师版-课后习题Word版-第二章　空间向量与立体几何§4　用向量讨论垂直与平行

1、4用向量讨论垂直与平行课后篇巩固提升A组1.已知a,b,c分别为直线a,b,c的方向向量,且a=b(0),bc=0,则a与c的位置关系是()A.垂直B.平行C.相交D.异面答案A2.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则平面ABC的一个单位法向量是()A.33,33,-33B.33,-33,33C.-33,33,33D.-33,-33,-33答案D3.若平面,的法向量分别为a=(-1,2,4),b=(x,-1,-2),并且,则x的值为()A.10B.-10C.12D.-12答案C4.给出下列命题:若n1,n2分别是平面,的法向量,则n1n2;若n1,n2分别是平面,的法向

2、量,则n1n2=0;若n是平面的法向量,且向量a与平面共面,则an=0;若两个平面的法向量不垂直,则这两个平面一定不垂直.其中正确命题的个数是()A.1B.2C.3D.4答案B5.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,以下向量可以作为平面ABC法向量的是.(填序号)AB;AA1;B1B;A1C1.答案6.已知AB=(1,5,-2),BC=(3,1,z),BP=(x-1,y,-3),若ABBC,且BP平面ABC,则BP=.答案337,-157,-37.如图,PA平面ABCD,四边形ABCD为正方形,E是CD的中点,F是AD上一点,当BFPE时,AFFD的值为.答案18.如图,在直三棱柱ABC-A1B

3、1C1中,ABC=90,BC=2,CC1=4,点E在线段BB1上,且EB1=1,D,F,G分别为CC1,C1B1,C1A1的中点.求证:平面EGF平面ABD.证明如图所示,由条件知BA,BC,BB1两两互相垂直,以B为坐标原点,BA,BC,BB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.由条件知B(0,0,0),D(0,2,2),B1(0,0,4),E(0,0,3),F(0,1,4),设BA=a,则A(a,0,0),Ga2,1,4.所以BA=(a,0,0),BD=(0,2,2),B1D=(0,2,-2),EG=a2,1,1,EF=(0,1,1).(方法一)因为B1DBA=0,B1DBD

4、=0+4-4=0,所以B1DBA,B1DBD.因为BABD=B,所以B1D平面ABD.又B1DEG=0+2-2=0,B1DEF=0+2-2=0.所以B1DEG,B1DEF.又EGEF=E,所以B1D平面EFG,可知平面EGF平面ABD.(方法二)设平面EGF的法向量为n1=(x1,y1,z1),则n1EF=0,n1EG=0,y1+z1=0,a2x1+y1+z1=0,即x1=0,y1=-z1,令y1=1,则n1=(0,1,-1).设平面ABD的法向量为n2=(x2,y2,z2),则n2BA=0,n2BD=0,ax2=0,2y2+2z2=0, 即x2=0,y2=-z2,令y2=1,则n2=(0,1

5、,-1).所以n1=n2,所以平面EGF平面ABD.9.如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2,D为CC1的中点.求证:AB1平面A1BD.证明如图所示,取BC的中点O,连接AO.因为ABC为正三角形,所以AOBC.因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC平面BCC1B1,所以AO平面BCC1B1.取B1C1的中点O1,以O为原点,以OB,OO1,OA为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则B(1,0,0),D(-1,1,0),A1(0,2,3),A(0,0,3),B1(1,2,0).设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),BA1=(-1,2,3),BD=(-2,1,0

6、).因为nBA1,nBD,故nBA1=0,nBD=0-x+2y+3z=0,-2x+y=0.令x=1,则y=2,z=-3,故n=(1,2,-3)为平面A1BD的一个法向量,而AB1=(1,2,-3),所以AB1=n,所以AB1n,故AB1平面A1BD.B组1.如图,AB是O的直径,VA垂直O所在的平面,点C是圆周上不同于A,B的任意一点,M,N分别为VA,VC的中点,则下列结论正确的是()A.MNABB.MN与BC所成的角为45C.OC平面VACD.平面VAC平面VBC答案D2.如图,定点A和B都在平面内,定点P,PB,C是内异于A和B的动点,且PCAC,那么C在平面内的轨迹是()A.一条线段,

7、但要去掉两个点B.一个圆,但要去掉两个点C.一个椭圆,但要去掉两个点D.半圆,但要去掉两个点答案B3.已知直线l的一个方向向量d=(2,3,5),平面的一个法向量u=(-4,m,n),若l,则m+n=.答案-164.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=1,E为CD的中点.若在棱AA1上取一点P,使得DP平面B1AE,此时AP的长为.答案125.如图,正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直,CEAC,EFAC,AB=2,CE=EF=1.求证:(1)AF平面BDE;(2)CF平面BDE.证明(1)设AC与BD交于点G.因为EFAG,且EF=1,AG=12AC=1,所

8、以四边形AGEF为平行四边形,所以AFEG.因为EG平面BDE,AF平面BDE,所以AF平面BDE.(2)因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直,且CEAC,所以CE平面ABCD.如图,以C为原点,建立空间直角坐标系C-xyz,则C(0,0,0),A(2,2,0),B(0,2,0),D(2,0,0),E(0,0,1),F22,22,1.所以CF=22,22,1,BE=(0,-2,1),DE=(-2,0,1).所以CFBE=0-1+1=0,CFDE=-1+0+1=0.所以CFBE,CFDE.又BEDE=E,所以CF平面BDE.6.如图,在三棱锥P-ABC中,PA平面ABC,ABAC

9、.(1)求证:ACPB;(2)设O,D分别为AC,AP的中点,点G为OAB内一点,且满足OG=13(OA+OB),求证:DG平面PBC.证明(1)因为PA平面ABC,AC平面ABC,所以PAAC.又因为ABAC,且PAAB=A,所以AC平面PAB.又因为PB平面PAB,所以ACPB.(2)证法一:因为PA平面ABC,所以PAAB,PAAC.又因为ABAC,所以建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz.设AC=2a,AB=b,PA=2c,则A(0,0,0),B(0,b,0),C(2a,0,0),P(0,0,2c),D(0,0,c),O(a,0,0),又因为OG=13(OA+OB),所以Ga3,b3,0.于是DG=a3,b3,-c,BC=(2a,-b,0),PB=(0,b,-2c).设平面PBC的一个法向量n=(x0,y0,z0),则有nBC=0,nPB=0,即2ax0-by0=0,by0-2cz0=0.不妨设z0=1,则有y0=2cb,x0=ca,所以n=ca,2cb,1.因为nDG=ca,2cb,1a3,b3,-c=caa3+2cbb3+1(-c)=0,所以nDG.又因为DG平面PBC,所以DG平面PBC.证法二:取AB中点