高考数学选填静电题型汇编：题型54 利用展开图求空间距离最值

1、题型54 利用展开图求空间距离最值【方法点拨】遇到求空间两点间距离的最小值或空间两条线段和的最小值问题，利用降维的思想，应考虑将线段所在平面展开至同一平面内或将侧面展开，将空间问题转化为平面内两点间距离最小问题.【典型题示例】例1 （2021江苏金陵中学期末16）如图，在正三棱锥PABC中，侧棱长为2 eq r(,2)，底面边长为4，D为AC中点，E为AB中点，M是线段PD上的动点，N是平面PCE上的动点，则AMMN最小值是 .PCABEDMN【答案】eq r(3)1【分析】由于M、N都是动点，A是定点，可将PAD沿PD折起，使其所在平面与平面PCE垂直，则求AMMN最小值问题即转化为求点A到

2、平面PCE距离的问题.也可将过PD且垂直于平面PCE的POD折至与面PDA共面，则求AMMN最小值问题即转化为点A到直线PO距离的问题（即解析所给解法）.【解析】CB中点F,连接DF交CE于点O,易证得DO面PCE，要求AMMN最小，即求MN最小，可得MNPCE，又可证明MN/DF，再把平面POD绕PD旋转，与面PDA共面，如下图又可证得POD90PD eq f(1,2)AC，DO eq f(1,2)DF eq f(1,2) eq f(1,2)AB eq f(1,4)AB1，sinOPD eq f(OD,PD) eq f(1,2)，即OPD30，APN453075，可得sin75 eq f(r

3、(,6)r(,2),4)，(AMMN)minANPAsin75eq r(3)1例2 如图所示，圆台母线AB长为20 cm，上、下底面半径分别为5 cm和10 cm，从母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到B点，则这条绳长的最小值为 cm【答案】50【解析】作出圆台的轴截面与侧面展开图，如图所示，如图1，由其轴截面中RtOPA与RtOQB相似，得eq f(OA,OAAB)eq f(5,10)，可求得OA20 cm.如图2，设BOB，由于扇形弧的长与底面圆Q的周长相等，而底面圆Q的周长为210 cm.扇形OBB的半径为OAAB202040 cm，扇形OBB所在圆的周长为24080 cm.所以扇形

4、弧的长度20为所在圆周长的eq f(1,4).所以OBOB.所以在RtBOM中，BM2402302，所以BM50 cm，即所求绳长的最小值为50 cm.ABCDA1B1C1D1E例3 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AB=1，E为棱AB的中点一个点从E出发在正方体的表面上依次经过棱BB1、B1C1、C1D1、D1D、DA上的点，又回到E，则整个线路的最小值为 .【答案】E【解析】如图，将正方体六个面展开，从图中E到E，两点之间线段最短，而且依次经过棱BB1、B1C1、C1D1、D1D、DA上的中点，所求的最小值为.E【巩固训练】1.如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2

5、cm，高为5 cm，则一质点自点A出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A1的最短路线的长为_ cm. 2.三棱锥SABC中，SASBSC1，ASBBSCCSA30，M和N分别是棱SB和SC上的点，则AMN周长的最小值为 ABCDA1B1C1D1P3. 如下图所示，在单位正方体的面对角线A1B上存在一点P使得最短，则的最小值为.4.如图，有一圆柱形的开口容器（下表面密封），过圆柱上下底面中心的平面截圆柱侧面得边长为2的正方形ABCD，P是BC 的中点，现有一只蚂蚁位于外壁A处，内壁P处有一米粒，则这只蚂蚁取得米粒所经过的最短路程为 5.如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBCeq r(

6、2)，BB12，ABC90，E，F分别为AA1，C1B1的中点，则沿棱柱的表面从点E到点F的最短路径为 【答案与提示】1.【答案】13【提示】将侧面二次展开，得到长、宽各为12cm、5 cm的矩形，其对角线即为所求2.【答案】【解析】如下图，将三棱锥SABC的侧面沿SA展开，显然，共线时最短.SMCBAAN3. 【答案】【解析】右下图左，将ABA1沿A1B折起，使之与平面A1D1CB共面，当A、P、D1共线时，AP+D1P取得最小值，在AA1D1利用余弦定理易得.A1PABCD14.【答案】【提示】如上图右，AB=，P、Q关于直线CD对称，PQ，由勾股定理立得5.【答案】eq f(3r(2),2)【解析】若将A1B1C1沿A1B1折起，使得E，F在同一平面内，则此时EF eq r(f(7,2)r(2).若将侧面沿B1B展成平面，则此时