留数概念和求法定理

1、留数概念和求法定理一、留数的概念及留数定理二、留数的求法三、函数在无穷远点的的留数 如果函数f (z)在z0的邻域内解析,C是此邻域内一条简单闭曲线，那末根据柯西积分定理有因此 f (z) = . +c-n(z-z0)-n+.+c-1(z-z0)-1 +c0+c1(z-z0)+.+cn(z-z0)n+. 0|z-z0|R 两端沿C逐项积分:一、留数的概念及留数定理 如果z0为 f (z)的一个孤立奇点, 则沿在z0的某个去心邻域 0|z-z0|R 内包含z0的任意一条正向简单闭曲线C的积分 一般就不等于零.定义设 z0 为 f (z) 的孤立奇点，f (z) 在 z0 邻域内的洛朗级数中负幂次

2、项 (z- z0)1 的系数c1 称为f (z)在 z0 的留数，记作 Res f (z), z0 即 Res f (z), z0= c1 （1）定理5.7(留数定理) 设函数 f (z)在区域D内除有限个孤立奇点 z1, z2, ., zn 外处处解析. C是D内包围各奇点的一条正向简单闭曲线, 则（3）Dz1z2z3znC1C2C3CnC证明把在C内的孤立奇点zk(k=1,2,.,n)用互不包含的正 向简单闭曲线Ck围绕起来, 则根据复合闭路定理有注解1、留数定理在两个从定义上看，完全不同，也不相干的概念之间架起一个桥梁，是非常重要的。注解2、具体计算一定要注意前面的系数 一般来说求函数在

3、孤立奇点z0处的留数即求它在洛朗级数中(z-z0)-1 项的系数 c-1 即可. 但如果知道奇点的类型, 对求留数可能更有利. 如果 z0是 f (z)的可去奇点, 则 Resf(z),z0=0 . 如果 z0 是本性奇点, 则只好将其按洛朗级数展开. 如果 z0 是极点, 则有一些对求 c-1有用的规则.法则I二、函数在极点的留数求法例5.17 求函数 在各孤立奇点处的留数 解：由于 是 的一阶极点，有法则II证明：由条件法则III解：因 是 的二阶极点，则由公式 （5）有例5.19求函数 在 处的留数 例 函数 在极点处的留数解：因为函数 有两个一阶极点 ，且 三、 函数在无穷远点的留数

4、定义5.5 设为f(z)的一个孤立奇点,即f(z)在圆环域 R|z|+内解析,则称设f(z)在R| z |+内的洛朗展式为这里C-是顺时针方向为f(z)在点的留数,记为 这就是说, f (z)在点的留数等于它在点的去心邻域R|z|0,及三、 儒歇(Rouche)定理设C是一条围线,函数f(z)及(z)满足条件: (1)它们在C的内部均解析,且连续到C;(2)在C上, |f(z)|(z)|则f(z)与 f(z)+(z) 在C内部有同样多的零点,即由关系式下面只须证明C0z201根据条件(2),当z沿C变动时将z平面上的围线C变成平面上的闭曲线,借助函数即是说,点 不会围着原点=0 绕行. 全在圆周|-1|=1的内部.例1 方程在 内根的个数。解：取由于当 时，我们有由此可知：在 上，有根据儒歇定理已给方程在内根的个数与在内根的个数相同，即5个。例2 设n次多项式 p(z)=a0zn+ atzn-t+an(a00）满足条件：|at|a0|+ |at-1|+ |at+1 |+|an|则p(z)在单位圆|z|a0|+ |at-1|+ |at+1|+|an|(z)|由儒歇定里得p(z)=f(z)+(z)与f(z)在单位圆内有同样多的零点，即为n-t个，这就证明了