工程数学复习资料

1、 第一章线性代数基本知识、内积定义:n设a=a1,，an,3=b1，bn都是n维复向量，记=aibi,其中bi表示对E取i1共轲，称为向量a与3的内积。二、向量正交：对于向量a、3,若=0,则称a与3正交，记作a3三、Ax=b的解的结构：n个未知数的齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件为其系数矩阵的秩R(A)n.n个未知数的非齐次线性方程组Ax=b有解的充分必要条件为系数矩阵A与增广矩阵B=(A|b)的秩相等，且当R(A)=R(B)=n时有唯一解；当R(A)=R(B)n时有无穷多解；若线性方程组Ax=b的系数矩阵A与增广矩阵B=A词的秩相等为r,且r0uV九wSp(A),九0实二次型f

2、=xTAx为正定(负定)二次型的充要条件是，f的矩阵A的特征值全都大于(小于)零。证明：设九1,，h是A的n个特征值，由定理1.6-1知，存在正交线性变换x=Qy使f=xTAx=yT(QTAQ)y=712ny2.若%,，鼠都大于0,则只要y=0就有f0,从而只要x#0就有f0,即f是正定二次型。反之，若有一个特征值不大于零，不妨设为0,当且仅当a=0时才有同=0;齐次性：匕=k|,kF;三角不等式：二:;则称|oj为a的范数。定义了范数的向量称为赋范向量空间。,n欧氏范数：在Cn上，对于任一向量X=X1,X2，xnT,X的长度x=*冈2就是X的一种范数。,i=4nn1M=|xj;HmaXx;W

3、lp=(|Xi|P)p,1Ep。i4i=4由于IX=|x-y+y|x-y|+|y|,IIy|=l|y-x+xi斗y-x|+nxi=|x-y+卬故有-|x-y|x|-|y|x-y|,gp|x|-|y|0,当且仅当A=O时才有|A=0;齐次性：kA=k*A,-kC；三角不等式：ABMAB;相容性：当A=BG时有|A|B|G|,则称IA为A的范数。三、诱导范数定义，Sp(A),P(A)的定义定义：给出一种与向量范数协调的矩阵范数，这就是诱导范数(也称算子范数)：nA=maXax.由于|Ax|是x的连续函数，所以对给定的A来说，|AX|在有界I集IIXI=1上是可以取得最大值的，即存在这样的向量x*x

4、*|=1且使Ax=|A.方阵A的所有不同特征值组成的集合称为A的谱，记为Sp(A),并称特征值的模的最大值为A的谱半径，记为P(A)。四、能算lApHAI济cond(A)(见书140页)五、能证P(A)|A证明：设人是A的任一特征值，x#0是属于人的特征向量，则由Ax=2、x得IWIIXI=|M=|aXIWIAM因x#0,故|x|#0,所以|A|.由于卜是A的任一特征值，从而P(A)P(A)P(A)=Rmin=Sp(A)证明：由于P(A) P(A)P(A)。11一,，。因此1 n闪,而P(A)f-是，：(A)：(A,)=第四章方阵函数与函数矩阵一、矩阵序列收敛定义定义：设匕是一个mxn矩阵序列

5、，如果存在mxn矩B$A=aj,使limajk)=aj(i=1,，m;j=1,，n),则称矩阵序列42收敛于A。k.二、方阵n级数收敛判据od设备级数工Ck?的收敛半径是R,用方阵A替换该哥级数中的九，用I替换九0=1得到方阵k0哥级数CkCkAk,则当P(A)R,方阵哥级数k=0k0QOk乙CkA发放。k0三、方阵函数的定义(6种)定义：设备级数CkckM的收敛半径为R,且在收敛域内Ckd=f(K)。当方阵A的谱半径k=0k=0cOP(A)R时，定义f(A)=CkAk,并称f(A)为A的函数。k=0“ 二 1e 八一 A k =0 k! sin A = k, P(A)(-1)k2k 1Ak(

6、2k 1)!A ： (-1)k A 2kcos A = Z A ,(2k)!J (-1)k4 ln( I A):A k 1 k：(A)；P(A) ；k , P(A)1；00(I-A)二=Ak,P(A)1；k0At e.二tkk!-1(At)k八-Ak=ok!四、f (A) = CkAk的计算，吃透例子。(见书153-157页).利用方阵A的Jordan标准形。.利用方阵A的最小多项式或特征多项式。第六章线性空间和线性变换一、域定义，判断是否是域定义：设F是包含0和1的一个数集，如果F中任意两个数（它们可以相同）的和、差、积、商（除数不为零）仍是F中的数，那么称F为数域。二、线性空间的定义设V是

7、一非空集，F是数域，对于V中任意两个元素s、P,定义一个叫做加法的运算，记为“十”,V中有一个元素a+P与之对应，称做口与P的和，且满足下列规则：加法交换律ot+P=P+ot;加法结合律（ot+P）=口+（P+丁）；存在0WV,使得对任意otWV,有豆+0=豆，这个元素0称为V的零元素；对任意VV/,存在一otwV,使得a+（-a）=0,称a为a的负元素。又在F与V的元素之间定义一个叫做数乘的运算，对于F中任一数k与V中任一元素a,V中都有一个元素ka与之对应，称它为k与口的数乘，且满足下列规则：对任意kwF和任意a,BwV,有k（a+B）=ka+kP；对任意aV和任意的k,lwF,有（k+l

8、）ot=kct+la；对任意aWV和任意的k,lwF,有k（lc（）=（kl）a;F中的数1,使得对任意awV,有效=a。那么称V为数域F上的线T空间（也称为向量空间），记为V（F）。V中的元素也称为向量。三、V的维数，基的定义定义：如果在线性空间V中可以找到有限多个线性无关的向量，则称V为有限维线性空间，并且把最大线性无关向量的个数称为V的维数，记为dimV。维数为n的线性空间V称为n维线性空间，记为Vn。线性空间Vn中给定顺序的n个线性无关向量i,尸n组成的向量组称为Vn的一个基，记为B=八1,nkB中的向量%（i=1,，n）称为第i个基向量。四、定理：设B是线性空间Vn的一个基，则V中任一向量巴都可由B唯一地线性表出。证明：由于Vn中n+1个向量口1,尸n力必线性相关，故存在不全为零的n+1个数k1,，kn,kn书，nn.使得ZkQi+kn/=0。如果kn书=0,则上式成为Zki%=0。但后1,Qn是基，故有ki =0(i =1,n)1 n二-一、ki： ikn1y再证唯一性，设有i1i1这与，kn,kn中不全为零矛盾。因此kn书#0,从而有K.，-，一43，即e可由B线性表出。kn1n=工（Xi - yj%。由i 1Vn中取定一个基B,nnnnx=zXi%和Z=yQi,则0=Xii-ZyQii=1i=1i=1i=1如,，4是基，知Xi-yi