第七章 小波分析、分析工具及应用发展ppt课件

1、第七章 小波分析、分析工具及运用开展.复习回想小波分析来源 小波分析来源于信号分析的需求.设一个有限分辨率的延续信号 ,将其近似地表示为以下阶梯函数(图1) 为简化表达,取整数点n为样点,式中 为样本值,而其基函数 并又将其称为“尺度函数，如图2所示. .我们将采样间隔加倍,那么其样点数减半,这时信号表示为显然,这里自然取 ,参见(图3).我们称上述算法为二分法.再分析二分前后两个信号的偏向(图3) .它具有方式 , 这里 而其基函数 如(图4)所示: 它就是一种“小波函数。顾名思义,“小波就是小的波形。所谓“小是指它具有衰减性,譬如是部分非零的;而称之为“波那么是指它的动摇性,即其振幅呈正负

2、相间的震荡方式.又如 也具有这种特性 。.小波函数 的重要价值在于:它经过平移和伸缩可生成平方可积函数空间 中一组正交基: , 从而可将信号 进展分解:为进展信号分析,提供 的一组正交基是至关重要的.我们尤感兴趣的是,为了顺应实践需求,利用所给的小波函数能否派生出更多、更适用的小波函数?.再调查上述尺度函数 与小波函数 ,它们可以看作是由函数 经过以下两种不同的运算生成的(见图5):对称 从图5上看, 和 具有不同的对称性,分别记为“0和“1对称. .我们再对所给小波函数 反复施行所谓 “0 和 “1 两种对称运算,那么可生成一系列小波函数,如图6所示.即 施行“0 对称运算 ； 施行“1 对

3、称运算施行“0 对称运算 ； 施行“1 对称运算施行“0 对称运算 ； 施行“1 对称运算 这些小波函数组成一个函数库,图7表示自下而上地描画了小波库的生成过程. .Matlab中的小波分析工具箱Wavelet 3.0)Matlab小波分析工具箱提供了一个可视化的小波分析工具，是一个很好的算法研讨和工程设计，仿真和运用平台。特别适宜于信号和图像分析，综合，去噪，紧缩等领域的研讨人员。.小波分析工具箱的七类函数：常用的小波基函数。延续小波变换及其运用。离散小波变换及其运用。小波包变换。信号和图像的多尺度分解。基于小波变换的信号去噪。基于小波变换的信号紧缩。.常用的小波基函数： 参数表示小波基的名

4、称morlMorlet小波mexh墨西哥草帽小波meyrMeyer小波haarHaar小波dbN紧支集正交小波symN近似对称的紧支集双正交小波coifNCoifmant小波biorNr.Nd双正交样条小波.怎样获取小波基的信息：在Matlab窗口键入“waveinfo(参数名waveinfo(meyr) MEYRINFO Information on Meyer wavelet. Meyer Wavelet General characteristics: Infinitely regular orthogonal wavelet. Family Meyer Short name meyr

5、.Orthogonal yes Biorthogonal yes Compact support no DWT possible but without FWT CWT possible Support width infinite Effective support -8 8 Regularity indefinitely derivable Symmetry yes Reference: I. Daubechies, Ten lectures on wavelets, CBMS, SIAM, 61, 1994, 117-119, , 152.计算小波滤波器系数的函数： 参数表示小波基的名称

6、morlet计算Morlet小波滤波器系数mexihat计算墨西哥草帽小波滤波器系数meyer计算Meyer小波与尺度滤波器系数meyeraux计算Meyer小波辅助函数dbwavf计算紧支集双正交小波滤波器系数dbaux计算紧支集双正交小波尺度滤波器系数symwavf计算近似对称的紧支集双正交小波滤波器系数coifwavf计算Coifmant小波尺度滤波器系数biowavf计算双正交样条小波尺度滤波器参数.wname=bior2.2;rf,rd=biorwavf(wname)rf = 0.2500 0.5000 0.2500rd = -0.1250 0.2500 0.7500 0.2500

7、-0.1250.用于验证算法的数据文件： 文件名说明sumsin.mat三个正弦函数的叠加freqbrk.mat存在频率断点的组合正弦信号 whitnois.mat均匀分布的白噪声 warma.mat有色AR(3)噪声 wstep.mat阶梯信号 nearbrk.mat分段线性信号 scddvbrk.mat具有二阶可微跳变的信号wnoislop.mat叠加了白噪声的斜坡信号 .时频域分析有关信号处置的文献中包含了相当多采用二维时频空间的术语来分析信号的任务。这一方法实践上在小波变换之前就有，但它如今纳入同一个现代框架。根据时频域分析，一个信号的每个瞬态分量映射到时间频率平面上的位置对应于分量的

8、主要频率和发生的时间。.时频空间a信号b表示. 在图像分析中，这个空间是三维的，可以看作是一个图像叠层。一个部分化分量将主要出如今叠层中对应于此分量主要频率的层次。.变换一个变换中的每个系数都是经过输入函数和其中一个基函数之间的内积确定的。在某些意义上，这个值表示输入函数和那个特定基函数之间的类似程度。逆变换可以看作是经过以变换系数为幅度权重的基函数加权和，来重构原始信号或图像的。.变换类型傅立叶变换技术：傅立叶积分变换，傅立叶级数展开和离散傅立叶变换DFT。小波变换类型就像博立叶变换那样，在小波变换中也同样存在这三种能够性：延续小波变换(CWT)，小波级数展开和离散小波变换(DWT)。不过情

9、况略微复杂些，由于小波基函数可以是正交归一也可以不是正交归一的。.符号和定义 由小波变换来表示的一类函数是在实轴(即一切实数的集合x轴)上平方可积的。这一类函数被表示为 。因此，概念 就意味着在小波分析中，经过对一个称为小波基的单个原型函数的伸缩和平移来产生一组基函数。.延续小波变换也称积分小波变换一切小波是经过对根本小波进展尺度伸缩和位移得到的。根本小波是一具有特殊性质的实值函数，它是震荡衰减的，而且通常衰减得很快，在数学上满足积分为零的条件：.即根本小波在频域也具有好的衰减性质。有些根本小波实践上在某个区间外是零，这是一类衰减最快的小波。一组小波基函数是经过尺度因子和位移因子由根本小波来产

10、生：.延续小波变换定义为： 延续小波变换也称为积分小波变换。延续小波逆变换为： .延续小波变换：格式： coefs=cwt(s,scales,wname) coefs=cwt(s,scales,wname,plot)阐明： s:输入信号 scales: 需求计算的尺度范围 wname:所用的小波基 plot: 用图像方式显示小波系数.一维延续小波变换函数pat2cwav由模式构造小波cwt一维连续小波变换函数.例子： c = cwt(s,1:32,meyr) c = cwt(s,64 32 16:-2:2,morl) c = cwt(s,3 18 12.9 7 1.5,db2).二维延续小波定

11、义为：二维延续小波变换是：二维延续小波逆变换为： .滤波器族解释 这里将小波变换与一族带通线性卷积滤波器相联络，作为小波变换的一种解释。首先定义尺度a上的普通小波基函数为 这是用a做尺度因子，并用a-1/2将模规范了的根本小波。假设记其翻转和共轭为.如今可以将延续小波变换写为：a的每个值定义了一个不同的带通滤波器，而一切的滤波器的输出加在一同组成了小波变换.而且每个滤波器的输出分量再次滤波并适当伸缩后组合在一同可重构f(x)。 .二维滤波器族 在二维情况下，每一滤波器都是一个二维冲激呼应，输入是图像上的带通滤波器，滤波后的图像的叠层组成了小波变换。 .小波级数展开二进小波变换通常在数值计算中，

12、采用离散化的尺度及位移因子，特别地当取二进伸缩以2的因子伸缩和二进位移每次挪动k/2j时，就构成二进小波。 .正交小波定义为满足以下条件的小波： 上式是小波级数展开公式。 .当进一步把f(x)和根本小波限制为在0，1区间外为零的函数时，上述正交小波函数族就成为紧支二进小波函数族，它可以用单一的索引n来确定：.离散小波变换DWT 离散化方式在数值计算中，需求对小波变换的尺度因子、位移因子进展离散化，普通采用如下的离散化方式： .多分辨率分析 小波分析之前的许多技术开展都来自于一个通常称为多分辨分析的领域。这些技术开展是企图抑制傅立叶变换的局限性。对这一方法进展总结作为导出现代小波分析的根底。根本

13、小波经过伸缩构成一组基函数，在大尺度上，膨胀的基函数搜索大的特征；而在较小的尺度上，它们那么寻觅细节信息。 .根本思想：将L2R用它的子空间Vj，Wj表示，其中Vj，Wj分别称为尺度空间和小波空间。在分辨率分析中，Vj称为逼近空间，我们把平方可积的函数f(t)L2(R)看成是某一逐级逼近的极限情况。每次逼近都是用一低通平滑函数t对f(t)做平滑的结果，在逐级平滑时平滑函数t也做逐级逼近，这就是多分辨率，即用不同分辨率来逐级逼近待分析函数f(t)。.离散小波变换的设计 根据子带编码重构公式，在频率域上有： .可见，设计一个离散小波变换的义务就是精心挑选低通滤波器。符合这一条件的离散低通滤波器脉冲

14、呼应h0(k)为尺度向量，由它产生一个有关的函数称为尺度函数。尺度向量和尺度函数彼此相互确定。 例如，由尺度向量h0(k)到尺度函数的定义如下.即它可以经过本身半尺度复制后的加权和来构造。另外它也能用带尺度的矩形脉冲函数卷积h0(k)，利用数值计算方法得到： .带尺度的矩形脉冲函数.相反，由尺度函数开场，在它满足单位平移下正交归一条件时，尺度向量的计算方法如下： .二维离散小波变换 为了将一维离散小波变换推行到二维，只思索尺度函数是可分别的情况，即 .正变换 从一幅NxN的图像f1(x,y)开场，其中上标指示尺度并且N是2的幂。对于j=0, 尺度2j=20=1，也就是原图像的尺度。j值的每一次

15、增大都使尺度加倍，而使分辨率减半。 .在变换的每一层次，图像都被分解为四个四分之一大小的图像，它们都是由原图与一个小波基图像的内积后，再经过在行和列方向进展2倍的间隔抽样而生成的。对于第一个层次(j=1)，可写成 后续的层次(j1)，依次类推，构成如下图的方式。. 二维离散小彼变换(a)原图像(b)第一层(c)第二层(d)第三层.假设将内积改写成卷积方式那么有： 在第一层，首先用h0(-x)和h1(-x)分别与图像f1(x,y)的每行作卷积并丢弃奇数列以最左列为第0列。接着这个NxN/2阵列的每列再和h0(-x)和h1(-x)相卷积，丢弃奇数行以最上行为第0行。结果就是该层变换所要求的四个(N

16、/2)x(N/2)的数组。 .如以下图所示： DWT图像分解步骤.逆变换 逆变换与上述过程类似。在每一层，经过在每一列的左边插入一列零来增频采样前一层的四个阵列；接着用h0(x)和h1(x)来卷积各行，再成对地把这几个N/2xN的阵列加起来；然后经过在每行上面插入一行零来将刚刚所得的两个阵列的增频采样为NxN；再用h0(x)和h1(x)与这两个阵列的每列卷积。这两个阵列的和就是这一层重建的结果。 .DWT图像重建步骤.双正交小波变换 满足紧支集正交归一小波条件的函数缺乏对称性，运用两个不同的小波基，一个用来分解分析，另一个用来重建合成，构成彼此对称的双正交的小波基： .一维双正交小波变换经过四

17、个离散滤波器实现，需求选择两个低通滤波器即尺度向量，使它们的传送函数满足 .双正交小波变换的一个分解步骤和一个重建步骤如以下图所示。 .双正交小波为： 二维双正交小波变换由对应的小波基确定： .一维离散小波变换函数分解函数dwt单尺度一维离散小波变换wavedec多尺度一维小波分解（一维多分辨率分析函数）wmaxlec允许的最大尺度值分解合成重构函数idwt单尺度一维离散小波逆变换waverec多尺度一维小波重构wrcoef对一维小波系数进行单支重构upcoef一维系数的直接小波重构分解结构工具detcoef提取一维小波变换高频系数appcoef提取一维小波变换低频系数upwlev单尺度一维小

18、波分解的重构.一维离散小波变换： dwt cA,cD=dwt(X,wname) cA,cD=dwt(X,H,G) 其中：cA ：低频分量， cD：高频分量 X：输入信号。 wname：小波基称号 H：低通滤波器 G：高通滤波器.多层小波分解： A,L=wavedec(X,N，wname) A,L=wavedec(X,N,H,G) 其中：A ：各层分量， L：各层分量长度 N：分解层数 X：输入信号。 wname：小波基称号 H：低通滤波器 G：高通滤波器.二维离散小波变换：分解函数dwt2单尺度二维离散小波变换wavedec2多尺度二维小波分解（一维多分辨率分析函数）wmaxlec允许的最大尺

19、度值分解合成重构函数idwt2单尺度二维离散小波逆变换waverec2多尺度二维小波重构wrcoef2对二维小波系数进行单支重构upcoef2二维系数的直接小波重构分解结构工具detcoef2提取二维小波变换高频系数appcoef2提取二维小波变换低频系数upwlev2单尺度二维小波分解的重构.二维离散小波变换： dwt2 cA,cH,cV,cD=dwt2(X,wname) cA,cH,cV,cD=dwt2(X,H,G) 其中：cA ：低频分量， cH：程度高频分量 cV：垂直高频分量 cD：对角高频分量 X：输入信号。 wname：小波基称号 H：低通滤波器 G：高通滤波器.二维信号的多层小

20、波分解： A,L=wavedec2(X,N，wname) A,L=wavedec2(X,N,H,G) 其中：A ：各层分量， L：各层分量长度 N：分解层数 X：输入信号。 wname：小波基称号 H：低通滤波器 G：高通滤波器.小波的选取理想的根本小波是一个过程很短的振荡函数(即具有紧支集或者在一个短区间以外只需很小的幅度)，而且此函数一切的二进平移和伸缩都是正交归一的。Haar函数就阐明了这一点。其他可以得到的小波函数也许就不能全部满足这些准那么。.小波包分解：.树操作 allnodes 列出数构造的一切节点。 isnode 判别指定位置能否存在节点。 istnode 判别一个节点能否为终

21、端节点。 nodejoin 树的剪枝。 .分解函数wpcoef小波包系数Wpdec和wpdec2小波包分解wpsplt分解包合成重构函数wprcoef重构系数wprec和wprec2小波包信号重构wpjoin小波包分解树的节点合并分解结构工具besttree寻找最优分解树bestlevt寻找最优满树entrupd更新小波包熵get得到WPTREE对象的内容read读取WPTREE对象的值wentropy计算熵值wp2wtree由小波包树提取小波树wpcutree截除小波包树.信号去噪与紧缩：在小波变换域上进展阀值处置。多层小波分解阀值操作多层小波重构.其他的免费软件工具：Wavelab Dav

22、id Donoho在斯坦福大学开发的Matlab程序库，最新版本为Wavelab 0.802，有1200多个文件。LastWave 小波信号和图像处置软件，用C言语编写，可在Unix和Macintosh上运转。.值得关注的几个开展方向：提升小波变换Lifting scheme wavelet transform)多小波变换Multiwavelet transform) 线调频小波变换(chirplet transform)。.提升小波变换Lifting scheme wavelet transform)传统的第一代小波变换是在欧氏空间内经过基底的平移和伸缩构造小波基的，不适宜非欧氏空间的运用，

23、因此小波提升方案应运而生，它是构造第二代小波变换的理想方法。提升小波在1996年由Sweldens提出后，在信号处置领域得到了广泛的运用。在静态图像处置中，提升小波已被选做JPEG2000的变换核。在视频领域，运用提升小波方法自顺应地对任不测形的物体进展编码，显著地提高了编码效率。.提升算法相对于Mallat算法而言，被誉为第2代小波变换。使我们能用一种简单的方法去解释小波的根本实际，而第一代小波变换都可以找到等效的提升方案。提升方案把第一代小波变换过程分为以下三个阶段：分解Split、预测Predict和更新Update。提升算法的分解和重构如图。.算法实现方法1分解。将输入信号 分为2个较

24、小的子集 和 ， 也称为小波子集。最简单的分解方法是将输入信号 根据奇偶性分为2组。2预测。在基于原始数据相关性的根底上，用偶数序列 的预测值 去预测或内插奇数序列 ，即将滤波器P对偶数信号作用以后作为奇信号的预测值，奇信号的实践值与预测值相减得到残差信号。.算法实现方法3更新。为了使原信号集的某些全局特性在其子集 中继续坚持，必需进展更新。更新的思想使要找到一个更好的子集 ，使得它坚持原图的某一标量特性 例如均值、消逝矩等不变，即有 。可以利用知计算的小波子集 对 进展更新，使得后者坚持特性 ，即要构造一个算子U去更新 。定义如下： .多小波变换：在图像处置和信号分析的实践运用中，我们需求小

25、波具有正交性和对称性。可是，实数域中，紧支、对称、正交的非平凡单小波是不存在的，这使人们不得不在正交性与对称性之间进展折衷。.Goodman等提出多小波的概念，其根本思想是将单小波中由单个尺度函数生成的多分辨分析空间，扩展为由多个尺度函数生成，以此来获得更大的自在度。1994年，Geronimo,Hardin和Massopus构造了著名的GHM多小波。它既坚持了单小波所具有的良好的时域与频域的部分化特性，又抑制了单小波的缺陷，将实践运用中非常重要的光滑性、紧支性、对称性、正交性完美地结合在一同。与此同时，在信号处置领域，人们将传统的滤波器组推行至矢值滤波器组、块滤波器组，初步构成了矢值滤波器组的实际体系，并建立了它和多小波变换的关系。 .多小波的多分辨分析.双尺度方程：.多小波在实际上所表现出来的优势以及它在运用领域所具有的潜力，使其遭到高度注重。在它诞生的短短几年时