培优专题课全等三角形(三)

1、微型培优专题课(三)巧用基本图形，证明三角形全等 基本图形是最常见、最简单的几何图形，但它往往具有非基本图形是最常见、最简单的几何图形，但它往往具有非常重要的性质常重要的性质. .证几何题时，我们一要善于从较复杂的图形中证几何题时，我们一要善于从较复杂的图形中分解出基本图形，二是会根据图形特征添加辅助线构造出基本分解出基本图形，二是会根据图形特征添加辅助线构造出基本图形，进而利用基本图形的性质使问题获证图形，进而利用基本图形的性质使问题获证. .下面我们介绍有下面我们介绍有关全等三角形的基本图形，供同学们复习参考关全等三角形的基本图形，供同学们复习参考. .一、角平分线一、角平分线+ +翻折翻

2、折全等三角形全等三角形【知识点睛知识点睛】如图，如图，OZOZ平分平分XOYXOY，A A，B B分别为射线分别为射线OXOX，OZOZ上的点，将上的点，将AOBAOB绕角平分线绕角平分线OZOZ翻折，点翻折，点A A落在落在OYOY上的上的AA点点( (添加辅助线时，叙添加辅助线时，叙述为述为“在在OYOY上取上取AA，使，使OA=OAOA=OA”).).在在AOBAOB与与AOBAOB中，中，OA=OAOA=OA，AOB=AOBAOB=AOB，OB=OBOB=OB，AOBAOBAOB.AOB.【培优训练培优训练】1.1.如图，在如图，在ABCABC中，中，C=2BC=2B，ADAD是是AB

3、CABC的角平分线，的角平分线，1=B.1=B.求证：求证：AB=AC+CD.AB=AC+CD.【解题指南解题指南】发现图中发现图中ACDACD与与AEDAED全等是解题的关键全等是解题的关键. .【证明证明】1=B1=B，AED=2BAED=2B，DE=BEDE=BE，C=AED.C=AED.在在ACDACD和和AEDAED中，中，CAD=EADCAD=EAD，AD=ADAD=AD，C=AEDC=AED，ACDACDAED.AC=AEAED.AC=AE，CD=DECD=DE，CD=BE.CD=BE.AB=AE+EB=AC+CD.AB=AE+EB=AC+CD.【方法技巧方法技巧】发现图中的基本

4、图形发现图中的基本图形沿角平分线翻折得到全等三角形沿角平分线翻折得到全等三角形. .因此，当题目条件中给出角因此，当题目条件中给出角平分线时，就可以借助角平分线构造出全等三角形，从而得到平分线时，就可以借助角平分线构造出全等三角形，从而得到相等的线段或相等的角相等的线段或相等的角. .如图，在四边形如图，在四边形ABCDABCD中，中，A+C=180A+C=180，BDBD平分平分ABC.ABC.求证：求证：DC=AD.DC=AD.【解题指南解题指南】借助角平分线这个平台，构造全等三角形借助角平分线这个平台，构造全等三角形. .在在BCBC上截取上截取BE=BABE=BA，根据已知条件证明，根

5、据已知条件证明BADBADBEDBED，所以，所以DA=DEDA=DE，再证再证DE=DCDE=DC，即可得证，即可得证. .【证明证明】在在BCBC上截取上截取BE=BABE=BA，连接，连接DE.DE.BDBD平分平分ABCABC，ABD=EBD.ABD=EBD.在在BADBAD和和BEDBED中，中，BA=BEBA=BE，ABD=EBDABD=EBD，BD=BDBD=BD，BADBADBED(S.A.S.)BED(S.A.S.)，DA=DEDA=DE，A=BED.A=BED.BED+DEC=180BED+DEC=180，A+C=180A+C=180，C=DECC=DEC，DE=DCDE=

6、DC，DC=AD.DC=AD.【变式训练变式训练】如图，已知如图，已知APBCAPBC，PABPAB的平分线与的平分线与CBACBA的平的平分线相交于点分线相交于点E E，CECE交交APAP于点于点D.D.求证：求证：AD+BC=AB.AD+BC=AB.【证明证明】在在ABAB上截取上截取AF=ADAF=AD，连接，连接EF.EF.AEAE平分平分PABPAB，DAE=FAE.DAE=FAE.在在DAEDAE和和FAEFAE中，中，AD=AFAD=AF，DAE=FAEDAE=FAE，AE=AEAE=AE，DAEDAEFAE(S.A.S.)FAE(S.A.S.)，AFE=ADE.AFE=ADE

7、.ADBCADBC，ADE+C=180ADE+C=180. .AFE+EFB=180AFE+EFB=180，EFB=C.EFB=C.BEBE平分平分ABCABC，EBF=EBC.EBF=EBC.在在BEFBEF和和BECBEC中，中，EFB=CEFB=C，EBF=EBCEBF=EBC，BE=BEBE=BE，BEFBEFBEC(A.A.S.)BEC(A.A.S.)，BC=BFBC=BF，AD+BC=AF+BF=AB.AD+BC=AF+BF=AB.二、中线二、中线+ +加倍延长加倍延长全等三角形全等三角形【知识点睛知识点睛】1.1.如图所示，延长如图所示，延长ADAD至点至点E E，使，使DE=A

8、DDE=AD，连接，连接EC.EC.ADAD为为ABCABC的中线，的中线，BD=CD.BD=CD.在在ABDABD和和CEDCED中，中，BD=CDBD=CD，ADB=EDCADB=EDC，AD=EDAD=ED，ABDABDECD(S.A.S.).ECD(S.A.S.).2.2.如图，已知如图，已知ADAD是是ABCABC的中线，分别过点的中线，分别过点B B，C C作作BEADBEAD于点于点E E，CFADCFAD交交ADAD的延长线于点的延长线于点F.F.ADAD是是ABCABC的中线，的中线，BD=CD.BD=CD.BEADBEAD，CFADCFAD，BED=CFD=90BED=CF

9、D=90. .又又BDE=CDFBDE=CDF，BDEBDECDF.CDF.这一基本图形称为间接这一基本图形称为间接“中线中线+ +加倍延长加倍延长全等三角形全等三角形”，在，在几何证明中，也相当有用几何证明中，也相当有用. .【培优训练培优训练】2.2.已知：如图，已知：如图，ADAD是是ABCABC的中线，点的中线，点E E在在ADAD上，上，BE=ACBE=AC，延长，延长BEBE交交ACAC于点于点F F，求证：，求证：AF=EF.AF=EF.【证明证明】如图，延长如图，延长ADAD至至M M，使，使DM=ADDM=AD，连接，连接BM.BM.ADAD是是ABCABC的中线，的中线，B

10、D=CD.BD=CD.在在ACDACD和和MBDMBD中，中，AD=DMAD=DM，ADC=MDBADC=MDB，CD=BDCD=BD，ACDACDMBD(S.A.S.)MBD(S.A.S.)，CAD=MCAD=M，AC=BM.AC=BM.BE=ACBE=AC，BM=BEBM=BE，M=BEMM=BEM，BEM=CAD.BEM=CAD.BEM=AEFBEM=AEF，AEF=CADAEF=CAD，AF=EF.AF=EF.如图，如图，ADAD是是ABCABC的中线，点的中线，点E E在在BCBC的延长线上，的延长线上，CE=ABCE=AB，BAC=BCA.BAC=BCA.求证：求证：AE=2AD.

11、AE=2AD.【证明证明】延长延长ADAD至点至点M M，使，使DM=AD.DM=AD.ADAD是是ABCABC的中线，的中线，DB=CD.DB=CD.在在ABDABD和和MDCMDC中，中，BD=CDBD=CD，ADB=MDCADB=MDC，AD=DMAD=DM，ABDABDMCD(S.A.S.)MCD(S.A.S.)，AB=MCAB=MC，B=MCD.B=MCD.AB=CEAB=CE，CM=CE.CM=CE.BAC=BCABAC=BCA，B+BAC=ACB+MCDB+BAC=ACB+MCD，即即ACE=ACM.ACE=ACM.在在ACEACE和和ACMACM中，中，AC=ACAC=AC，A

12、CM=ACEACM=ACE，CM=CECM=CE，ACMACMACE(S.A.S.)ACE(S.A.S.)，AM=AE.AM=AE.AM=2ADAM=2AD，AE=2AD.AE=2AD.如图，如图，ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，D D在在ABAB上，上，F F在在ACAC的延长线上，且的延长线上，且BD=CFBD=CF，连接，连接DFDF交交BCBC于点于点E.E.求证：求证：DE=EF.DE=EF.【证明证明】过点过点D D作作DGAFDGAF交交BCBC于点于点G G，ECF=DGEECF=DGE，DGB=ACB.DGB=ACB.AB=ACAB=AC，ABC=ACBABC=AC

13、B，ABC=DGBABC=DGB，DG=BD.BD=CFDG=BD.BD=CF，DG=CF.DG=CF.在在DGEDGE和和FCEFCE中，中，DGE=ECFDGE=ECF，DEG=CEFDEG=CEF，DG=CFDG=CF，DGEDGEFCE(A.A.S.)FCE(A.A.S.)，DE=EF.DE=EF.三、平移、旋转三、平移、旋转全等三角形全等三角形【知识点睛知识点睛】1.1.平移型全等三角形平移型全等三角形如图所示，如图所示，B=EB=E，AB=DEAB=DE，当，当A=DA=D或或ACB=DFEACB=DFE或或BC=EFBC=EF时，时，ABCABCDEF.DEF.这里的这里的DEF

14、DEF可以看作是可以看作是ABCABC平移得到的平移得到的. .因此，称这一基本因此，称这一基本图形为平移型全等三角形图形为平移型全等三角形. .2.2.旋转型全等三角形旋转型全等三角形如图所示，在如图所示，在ABCABC和和ADEADE中，中，AB=ADAB=AD，BAC=DAEBAC=DAE，AC=AEAC=AE，ABCABCADE(S.A.S.).ADE(S.A.S.).这里的这里的ADEADE可以看作是可以看作是ABCABC绕点绕点A A旋转得到的旋转得到的. .因此，称这一因此，称这一基本图形为旋转型全等三角形基本图形为旋转型全等三角形. .【培优训练培优训练】如图，已知如图，已知A

15、=FA=F，ABEFABEF，BC=DEBC=DE，求证：，求证：ADCF.ADCF.【证明证明】BC=DEBC=DE，BC+CD=DE+CDBC+CD=DE+CD，即，即BD=EC.BD=EC.ABEFABEF，B=E.B=E.在在ABDABD与与FECFEC中，中，A=FA=F，B=EB=E，BD=ECBD=EC，ABDABDFEC(A.A.S.)FEC(A.A.S.)，ADB=FCEADB=FCE，ADCF.ADCF.3.(20143.(2014滨州中考滨州中考) )如图，已知正方形如图，已知正方形ABCD.ABCD.把边把边DCDC绕绕D D点顺时点顺时针旋转针旋转3030到到DCDC处，连接处，连接ACAC，BCBC，CC.CC.写出图中所有写出图中所有的等腰三角形，并写出推理过程的等腰三角形，并写出推理过程. .【解析解析】图中的等腰三角形有：图中的等腰三角形有：DCCDCC，DCADCA，CABCAB，CBC.CBC.推理如下：推理如下：四边形四边形ABCDABCD是正方形，是正方形，AB=AD=DCAB=AD=DC，BAD=ADC=90BAD=ADC=90，DC=DC=DA.DC=DC=DA.DCCDCC，DCADCA为等腰三角形为等