重物落水后运动过程的数学模型

1、题 目 与封堵溃口有关的重物落水后运动过程的数学建模摘 要： 对溃口处的重物落水后运动过程进行数学建模，对实际中重物落水运动规律有一定指导意义。本文首先对小型试验数据进行分析，发现重物落水后的运动轨迹与重物的形状、抛落高度、水流速度、抛落方式等因素有关系。通过流体力学相关知识，分析了重物在水中受到的阻力主要为压差阻力。分析大实心方砖的受力情况利用牛顿第二定律建立数学模型，并对其进行推广，使其能够适用于描述不同情况下重物水中的运动轨迹。数学模型的求解利用龙贝格求积方法通过MATLAB编程来实现，通过最小方差法选取最优阻力系数，然后通过对比模拟数据和实验数据验证数学模型的合理性。本次的小型试验没有

2、考虑密度的不同对重物落水后运动轨迹的影响，所以应该添加新试验说明密度对重物运动轨迹的影响。对实际问题进行的小型试验应该利用费劳德相似准则一定的试验条件，使数学模型与试验的结果能更好的应用于实际情况。关键词：压差阻力 阻力系数 迎流面积 相对速度一.问题重述溃坝溃偍在洪水季节是个很严峻的问题。我们必须在最短的时间内有效的封堵溃口，或者延缓溃口的扩大。利用投重物的方式来封堵溃口是个不错的选择。由于水流的作用，重物入水后，必沿水流方向漂移一段距离。因此，为了使重物落在溃口处，我们必须把重物在溃口的上游某处投入。试验选取几种重物形状、四种不同速度的稳定水流、在三种不同的高度多次重复进行投放试验。结合实

3、验数据和理论，可知重物在水中就受到两个方向的的力，即水平方向和垂直方向。其大小就影响了重物在水中运动的轨迹。重物抛投高度越高，其入水初速度越大；水流速越大，水对重物的压差阻力就越大；水深越深，其运动轨迹越长。通过对问题进行分析，我们需要解决以下几个问题：问题一：以附录1中各单件试件为例，利用所学知识及相关参考资料分析影响重物在水中运动过程的因素，并建立大实心方砖落水后运动过程的数学模型。问题二：利用小型试验数据或相关数学、物理方法，建立包含上述各种因素，从而能够适应不同情况的、描述重物水中运动过程的数学模型。其中建立单个重物在水中运动过程的数学模型是必做项目，建立两个重物连接后的组件在水中运动

4、过程的数学模型为选做项目。问题三：对问题二中所建立的数学模型进行误差分析，利用相关的数学、物理概念、小型试验数据，验证所建立数学模型的合理性，并根据数学模型提出让堵口重物恰好在我们认为最有效位置触底的猜想和应该进行哪些新试验来验证我们的猜想。问题四：（1）本题所提及的小型试验满足了什么相似准则？如何依据相似准则将本试验及我们所建立的数学模型的成果加以推广，对未来需要进行的试验和研究工作提出建议。（2）假定溃口几何形状及水流速度与小型试验相似，溃口水深分别为3m和4m，溃口流速为4m/s和5m/s，若重物重量为1.5t，根据我们在问题二中建立的数学模型求解距离水面2m投放重物时，应分别提前多远投

5、放才能使重物沉底到预定位置？二.模型假设考虑到建模过程中的一些需求，我们根据问题和实际情况作出如下假设：1.水流的速度是稳定的，且各个流层的速度相等；2.水的黏度忽略不计；3.重物在水中下降的过程中不考虑重物的翻转，即无扭矩产生；4.重物在水中运动的过程中，阻力系数是常数；5.水不可压缩，为连续理想流体；6.重物一旦触底即稳定，不发生滑移或跳动；7.重物入水后质量不发生变化；8.在重物被抛出后，只在重力的作用下作直线加速运动。三.符号说明：重心到水面的距离；：重物未完全进入水时，重物的入水深度；：水的密度；：轴方向的压差阻力；：轴方向的压差阻力；:轴方向的压差系数；：轴方向的压差系数；：重物未

6、完全入水前轴方向的合力；：重物完全入水后轴方向的合力；：轴方向的位移；：轴方向的位移；：重物的质量；：重物沿轴方向的速度；：重物沿轴方向的速度；：重物的体积；：未完全入水前重物轴方向的迎流面积；：重物在轴方向的相对速度；：水流速度；：重力加速度；：轴方向的迎流面积；：轴方向的迎流面积；：水池中的水深；：时刻，重物在轴方向上的位移；：入水深度；：重物投放高度；：重物在轴方向上迎流面积与时间的函数；：重物在轴方向上迎流面积与时间的函数。四.问题分析初步分析题目可知，我们需要解决以下的问题：1.为使重物空投后落入理想地点，建立重物在水中的运动轨迹的轨迹方程。能为在不同情况下，如重物在不同抛落高度、水

7、流的流速不同等情况下，重物的落地地点提供理论指导。2.跟据重物的小型模拟实验和流体力学的相关知识，重物在水中运动时压差阻力是影响运动轨迹的一个重要因素。重物在不同情况的抛落时，重物在不同方向上受到的压差阻力及阻力系数是要求得的量。3.根据流体中的相似准则，把建立的数学模型加以推广，为现实中情况下重物的投放选择合适的位置，以便能快速的封住缺口。4.在理论分析基础上改进小型实验，补充原来实验的不足，并且使建立的数学模型更接近实际情况，为实际问题提供理论依据。五.模型建立与求解5.1 问题一5.1.1 重物运动过程的影响因素重物在下落过程各个阶段的受力分析如图1所示。图1 重物受力示意图重物在水中运

8、动时，受到的力有重力、浮力及两个坐标轴方向上的阻力。由于水的流动，重物受到的阻力有黏滞阻力和压差阻力，本文中涉及情况由于黏滞阻力和重物受到的其他力相比很小，所以黏滞阻力可以忽略不计。重物在水中的运动如图1所示，根据流体力学中中相关知识，压差阻力形成是由于在物体后部形成“真空区”，在x轴方向和y轴方向上水的运动形态不同，所以两个方向的压差阻力的系数是不同的。由于重物受到的重力和浮力分析比较简单，所以压差阻力是影响重物运动轨迹的一个重要因素，且影响压差阻力的因素比较多。重物的形状、抛落高度、抛落方式以及水流速度等都会对重物入水后的运动轨迹产生影响。(1)由如图2可以看出，不同物体的在相同的外界情况

9、下的运动轨迹不同，可见压差阻力和重物的形状有着直接的关系。图2 形状对重物运动轨迹的影响(2)同一重物不同的抛落高度意味着y轴方向不同的入水速度，所以在y轴方向重物与水的相对速度不同，不同抛落高度时重物的运动轨迹如图3所示，表示了抛落高度对压差阻力的影响。图3 投放高度对重物运动轨迹的影响(3)同一重物在不同流速的水中表明在x轴方向重物与水之间的相对速度不同，所以相对速度是影响压差阻力的一个重要因素，不同流速下重物的运动轨迹如图4所示。图4 水流速度对重物运动轨迹的影响(4)同一重物不同投放方式不同的运动轨迹不同，表明迎流面积也是影响压差阻力的一个重要因素，投放方式不同时重物的运动轨迹如图5所

10、示。图5 投放方式对重物运动轨迹的影响5.1.2 大实心方砖运动的数学模型13大实心方砖从抛落位置到进入水中并在水中运动的过程分为两个阶段，第一个阶段是大实心方砖未完全的进入水中，在x轴和y轴两个方向上做曲线运动；第二个阶段重物完全在水中作曲线运动，其受力分析如图1所示。无论第一阶段还是第二阶段大实心方砖在y轴方向的迎流面积是不变的，为： (1)（一）阶段一图1中，、表示大实心方砖的投放方式，为大实心方砖重心到水平面的距离。大实心方砖从抛落位置开始运动到接触水面时，y轴方向是一个不断加速的过程，x轴方向的速度始终为零。本模型中把大实心方砖刚接触水面时的时刻定义为起始时间，重物在轴和轴方向，当速

11、度为： (2) (3) 本文中和题目中选择坐标系的方法相同，所以在是重物在轴和轴的位移为： (4) (5)根据本文中的情况在起始时刻，当重物在水中抛落时，轴方向的初始速度和位移分别为： (6) (7)当重物开始接触水时，水对重物的压差阻力便产生了，根据牛顿第二定律，重物在轴存在加速度。由于重物未完全进入水中并不断下落，所以在阶段一时，轴方向的迎流面积是一个不断增大的值，时刻为： (8)根据牛顿第二定律，在轴方向上重物受到的力只有压差阻力，其运动方程为： (9) (10)重物在轴方向上受到的力有浮力、压差阻力、重力，因为此时重物还没有完全进入水中，所以重物受到水的浮力是一个不断变化的量，其大小为

12、： (11)重物在轴上的受力及其运动方程为： (12) (13) (14)（二）阶段二当重物的入水深度时是第一阶段和第二阶段的临界位置，此时重物已经完全进入水中后，此时x轴方向的的迎流面积为： (15)根据牛顿第二定律在x轴方向运动轨迹方程为： (16) (17)重物在轴方向的运动方程为： (18) (19) (20)经模拟和对实际问题的分析发现重物在落水过程中，在X轴和Y轴方向上均存在一个极限速度，即：X轴方向的极限速度为水流的速度；Y轴方向的极限速度为5.2 问题二首先考虑单个物体入中时的数学模型。本模型把重物开始接触水时定义为初始时刻，重物接触水面时在轴和轴方向的初速度分别设为、。本题中

13、涉及的情况中，重物在初始时间轴方向的初速度为0，为使模型更具有普遍性定义重物在轴方向的初速度为。轴方向的初速度是投放高度的函数，不同的投放高度代意味着不同： (21)（1）第一阶段重物进入水的过程中，轴方向的迎流面积和轴方向的迎流面积是不断变化的两个量，所以定义和是入水时间的函数，定义为: (22) (23)重物在轴方向受到的力是压差阻力，根据牛顿第二定律，重物在轴方向的位移方程为： (24) (25)重物在轴方向受到力有浮力、压差阻力和重力，浮力是不断增大的一个量，定义为： (26)所以重物在轴方向的位移方程为： (27) (28)第一阶段的结束是重物刚刚完全进入水中的时间，假设第一阶段结束

14、的时间为。（2）第二阶段第二阶段是重物已经完全进入了水中，假设第一阶段结束的时间为，即为第二阶段开始的时间，因为模型中不考虑重物的翻转问题，所以轴方向的迎流面积和轴方向的迎流面积在这个阶段为定值，重物所受到的浮力也为定值，即为： (28) (30) (31)重物在轴方向受到的力只有压差阻力，根据牛顿第二定律，重物在轴方向的位移方程为： (32) (33)重物在轴方向受到力有浮力、压差阻力和重力，所以重物在轴方向的位移方程为： (34) (35)5.3 问题三5.3.1 模型的误差分析1.模型在整个入水的过程中和两个方向的压差阻力系数不变，即在模型中没有考虑第一阶段和第二阶段压差阻力系数的区别，

15、给模型带来误差。2.重物在刚入水和刚刚全部入水的时候，流体的运动形态比较复杂，把此一个时间段的压差阻力没有单独考虑，这个过程的忽略给模型带来一定的误差。3.重物在和两个方向同时运动之间的相互影响没有考虑。5.3.2 模型的验证(1) 不同情况下和两个方向的压差阻力系数是不同的，如何正确的确定不同情况下的阻力系数是数学模型能不能正确反应实际情况的基础。本文中压差阻力系数的是通过MATLab编程，引用不同阻力系数，通过求解不同压差阻力系数的模拟数据与实验数据之间的求方差确定的。在实际测量中，由于仪器的误差、人为因素等各方面的原因，加之重物在水中有可能发生翻转，导致试验数据中存在不理想情况。如图6中

16、所示重物的运动轨迹发生“拐点”，和实际运动曲线不相符合，所以进行数据处理时，需要排除此类型数据的干扰，选择比较理想数据求解和两个方向的压差阻力系数。图6 带有异常数据的曲线(2)模型验证的方法在此过程中我们采用了两种不同的验证方法对建立的数学模型进行了验证，下面对两种方法分别进行介绍。方法一：选取理想数据中比较光滑的一段，以此段试验数据起点为数学模型的基点，以起点的速度、位移、加速度为基点的相关量。然后选取不同的阻力系数通过MATLAB程序进行优化处理，选择其中最优数据为模型中阻力系数的值，选择的标准是能够使得阻力系数的方差最小，即： (36)每组试验数据和模拟数据处在相同的时刻。通过优化选取

17、最优阻力系数，然后将最优阻力系数应用到模型中，通过origin作图得到大实心方砖在不同的情况下模拟数据和实验数据对比图，如图7所示，其对应的阻力系数见表1。通过对比四组曲线图的，可以发现模拟数据和实验数据在某些区域具有非常高的相似性，说明所建立明模型能够较高的反映重物在水中的运动轨迹,表现了模型的正确性。a b c d图7 模拟数据和实验数据的对比图a:重物的重心在水平面上，立放投入0.34m/s的水中b:重物的重心在水平面上，平放投入0.47 m/s的水中c:重物的重心在水平面上，平放投入0.55 m/s的水中 d:重物的重心距离水平面0.05m，竖放投入0.34 m/s的水中表1 图7中a

18、、b、c、d对应的阻力系数abcdX轴向阻力系数215312Y轴向阻力系数4.63.54.24.6尽管如此，这中选取压差阻力的方法存在一定的缺陷，虽然很短，但是重物运动的时间段也是一个很短的过程，基点的速度和加速度是重物在一定时间段的平均值，用于数学模型有一定的误差。针对这种验证方法存在的缺陷，我们采用了另一种验证方法，来对模型进行检验。方法二：在这种方法中，我们首先通过不同阻力系数来进行模拟，然后把模拟数据进行最小二乘法二次拟合，求其方差： （37）实验数据代入拟合曲线中模拟数据为，对应拟合曲线中，通过MATLAB程序设计进行优化，选择使得方差最小值对应的阻力系数为最优值。通过此种方法得到模

19、拟曲线和试验曲线的对比图如图8所示。a b图8 模拟曲线和试验曲线的对比图a:重物的重心在水平面上，平放投入0.47m/s的水中b:重物的重心在水平面上，平放投入0.55 m/s的水中通过这种方法可以避免0.04s的时间段不够精确的问题，从而提高验证的准确性。5.3.3 触底位置的预测及所需补充的验证(1) 实现最有效位置触底的猜想从所建立的数学模型中可以看出，重物抛出后，在水中存在着轴和y轴两个方向的分运动，重物能够在最有效位置触底，应该提前投放一段距离重物。在y轴方向上，重物主要受到重力、浮力以及压差阻力的作用，压差阻力则与重物y轴方向的速度有很大关系；轴方向上，重物受到的力只有压差阻力，

20、由重物与水的相对速度决定。在实际的封堵溃堤缺口时，我们希望能够提高封堵效率，因此需要尽量缩短重物在水中的运动时间；要实现重物在最有效位置准确地触底，应当减少外界对重物运动轨迹的影响，缩短重物在轴方向位移，故应增大投放重物的质量，减小轴方向上的迎流面积。(2) 新型试验 通过对不同密度、相同体积、相同形状的重物，以相同的投放方式分别进行试验，从而验证在其他条件不变的情况下，不同密度对压差阻力的影响。5.4 问题四(1) 本题所提及的小型试验满足了费劳德相似准则。为了使试验能更好的为实体提供依据，应该使模型费劳德数和实体费劳德数相等。当费劳德数相等时，通过试验数据和数学模型确定轴方向的压差阻力系数能更好的为实际重物的下落提供依据，阻力系数是影响重物水平位移的一个重要的参数，证明过程如下。如模型费劳德数和实体费劳德数分别为： (36)因为模型中的和实体的相等，所以几何相似和速度相似存的关系为： (37)轴方向受到的力为压差阻力，比例关系为： (38)根据相关流体力学知识，压差阻力关系式为： (39)