几何模型：一线三等角模型

1、一线三等角模型.一线三等角概念“一线三等角”是一个常见的相似模型, 上构成的相似图形，这个角可以是直角, 不同的称呼， “K形图”，“三垂直”，二.一线三等角的分类指的是有三个等角的顶点在同一条直线也可以是锐角或钝角。不同地区对此有“弦图”等，以下称为“一线三等角” o全等篇锐角相似篇C异侧CC异侧“一线三等角”的性质1.一般情况下，如图 3-1 ,由/ 1 = /2=/3,易得 AES BDE.2.当等角所对的边相等时，则两个三角形全等.如图3-1 ,若CE=EQ则 AE% BDE.图3-13.中点型“一线三等角” 如图 3-2 ,当/ 1=/2=/3,且”通常与三角形的内心或旁心相关,1.

2、 ./BOC =90。+ /BAC这是内心的性质，反之未必是内心2图3-2D 是 BC 中点时， BD曰ACFtD DFE.4.“中点型一线三等角"的变式 （了解）1.如图3-3 ,当/ 1=72且ZBOC =90© + /BAC时，点O是 ABC的内心.可以考虑构2图3-5其实这个第4图，延长DC反而好理解.相当于两侧型的，不延长理解，以为 是一种新型的，同侧穿越型？不管怎么变，都是由三等角确定相似三角形来进 行解题四、“一线三等角”的应用1 .“一线三等角”应用的三种情况.a.图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题；b.图形中存在“一线二等角”，不上“一等角”构

3、造模型解题；c.图形中只有直线上一个角，不上“二等角”构造模型解题 .体会：感觉最后一种情况出现比较多，尤其是压轴题中，经常会有一个特殊角或指导该角的三角函数值时，我经常构造“一线三等角”来解题.2 .在定边对定角问题中，构造一线三等角是基本手段，尤其是直角坐标系中的 张角问题，在x轴或y轴（也可以是平行于x轴或y轴的直线）上构造 线三等角解决问题更是重要的手段.3 .构造一线三等角的步骤：找角、定线、构相似坐标系中，要讲究“线”的特殊性如图3-6 ,线上有一特殊角，就考虑构造同侧型一线三等角当然只加这两条线通常是不够的，为了利用这个特殊角导线段的关系，过 C、D两点作直线l的垂线是必不可少的

4、。两条垂线通常情况下是为了 “量化”的需要。上面就是作辅助线的一般程序，看起来线条比较多，很多老师都认为一下子不 容易掌握.解题示范例1如图所示，一次函数y =_x+4与坐标轴分别交于 A、B两点，点P是线段 AB上两端点），C是线段OB上一点,OPC=45OPC是等腰一个动点（不包括 A、B 三角形，求点P的坐标.例 2 如图所示，四边形 ABCD 中，/ C=90°,/ABD= / DBC=22.5 °, AEXBC 于 E, / ADE=67.5 , AB=6,则 CE=.EC/i例 3 如图，四边形 ABCD 中，/ ABC= / BAD=90 ° , Z

5、 ACD=45 , AB=3 , AD=5.求 BC 的长.例 4 如图， ABC 中,/BAC=45° , AD ± BC, BD=2 , CD=3,求 AD 的长.一线三等角，补形最重要，内构勤思考，外构更精妙.找出相似形,比例不能少.巧设未知数，妙解方程好例5如图，在3BC中，/BAC=135,AC= V2aB, AD)±AC 交 BC 于点 D,若 AD = 22 ,求aABC的面积当然有45。或135。等特殊角，据此也可以构造不同的一线三等角一线三等角所有的构造都是把分居定角两侧的数据集中在一起，是相似集中条件的一种求BQ的长求BD的长求38的周长大练身

6、手：L 如图，中，tanZACD4 .在直角三角形48C, NO90° ,NB=30° AC=A.。为4c的中点，若为正三角形，求CF的长.5 .如图，在 RfAJBC 中，ZACB=3O0 , DA 4分乙CAB,若NCDB=60。, C4 =4万求 ZQ 的长.6 .如图，在等腰直角三角形N8C中，NR4c=90° ,。为Z8上一点，连接CD, P为CD上一点, NBPD=45° ,若CP=6,的面积为18,则线段08的长为.B8 .如图，中，ZBJC=90° , AB = 2& ,点 D 在 BC 边上,BC = &CD

7、, DE1BC 且,DE = DC DE 交ZC边与点凡 EF =8,则AC的长为.B DC9 .如图，在平面直角坐标系中，点A （4,0）,点倒,2石），点C在第一象限内，若N8C为等边三角形，则 点C的坐标为.10 .矩形初8在直角坐标系的位置如图所示，点4（2而,0）点C（0、5）,反比例函数”:的图像交边研、 BC于D、E两点.且NOO545°，则.11 .如图，直线y = 2x-4交坐标轴与X、8两点，交双曲线=工0）于点C,且5“=8,点P在点C 的右侧的双曲线匕ZPBC=45° ,则点尸的坐标为.12 .在.ABC中，AB = 2五.ZB = 45°

8、,以点A为直角顶点作等腰直角/£及点。在8C上，点E在4C上,若CE = &，则CD的长为.13 .如图，直角48。中，ZC=90° , AC=6. BC=8,。是斜边的中点，E为BC上动点,DF工AE于点F, 连接。£若户是等腰直角三角形，求DE的长度.14 .在住48C中，NB=45° , NC=30° ,点。是8。上一点，连接40,过点4作4G_L4O,在4G上取 点凡 连接。兄 延长£U至瓦 使我=4凡 连接EG, DG, IL GE=DF.(1)若 AB = 2jiAB=2,求 8C 的长;(2)如图1,当点G在ZC

9、上时，求证：BD = icG；2(3)如图2,当点G在/C的垂直平分线上时，直接写出学的值.E例7:在平面直角坐标系中，已知点 A (1, 0), B (0, 3), C(3, 0), D是线段AB上一 点，CD 父 y 轴于 E,且 S>abce= 2Saaob.(1)求直线AB的解析式；(2)求点D的坐标，猜想线段 CE与线段AB的数量关系和位置关系，并说明理由;(3)若F为射线CD上一点，且/ DB已45°,求点F的坐标.(1)(2)(3)例8:如图，直线y= x+ 2与y轴交于点C,与抛物线y= ax2交于A、B两点(A在B的左侧)， BC= 2AC,点P是抛物线上一点

10、.求抛物线的函数表达式；若点P在直线AB的下方，求点P到直线AB的距离的最大值；若点P在直线AB的上方，且/ BPC= 450,求所有满足条件的点 P的坐标. 练1:.如图，抛物线的顶点为 C(-1, -1),且经过点A、点B和坐标原点。，点B的横坐 标为3.(1)求抛物线的解析式；(2)若点D为抛物线上的一点，且 BOD的面积等于 BOC的面积，请直接写出点 D的坐 标；(3)若点E的坐标为(0, 2),点P是线段BC上的一个动点，是否存在点巳 使彳导/ OPE= 45°?若存在，求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由.BAOEC课后作业:如图，点 A(0,-1),B(3,0),P

11、为直线y= -x+5上一点，若/ APB=45 ,求点 P的坐标,AB=3,AD=4,求 AC 的长.在四边形 ABCD 中，/ ABC=/BAD=90 ° , / ACD=45如图，正方形 ABCD中，点E,F,G分别在 AB,BC,CD上， EFG为等边三角形，求证:BE+GC= 3BC如图， ABC : ADBA,且 AC=应BC,求证：CD=2AB.如图，在四边形 ABCD 中，/ ABC= 90°, AB= 3, BC= 4, CD= 10, DA= 575 ,求 BD 的长如图，点A是反比例（X>0）图形上一点，点 B是X轴正半轴上一点，点 C的坐标为（0

12、, 2）,点 ABC是等边三角形时，求点 A的坐标.抛物线尸=/-4工+3与坐标轴交于3 乐C三点,点尸在抛物线上*产E上BC于点E,若FE=2CE, 求尸点坐标.如图，抛物线y=ax2+bx+ 4与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C,，.17直线l： y=-fx+m经过点A,与抛物线交于另一点 D (5,-万)，点P是直线l上万的抛 物线上的动点，连接 PC PD.(1)求抛物线的解析式；(2)当 PCD为直角三角形时，求点 P的坐标；(3)设& PCD的面积为S,请你探究：使 S的值为整数的点 P共有几个，说明理由.4 2221.如图1,已知直线y=kx与抛物线y = -27 x +y 交于点A (3, 6).(1)求直线y=kx的解析式和线段 OA的长度；(2)点P为抛物线第一象限内的动点 ，过点P作直线PM,交x轴于点M (点M、O不 重合)，交直线OA于点Q,再过点Q作直线PM的垂线，交y轴于点N.试探究：线 段QM与线段QN的长度之比是否为定值？如果是，求出这个定值，如果不是，说明理由；(3)如图2,若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段OA上(与点0、A不重 合)，点D (m, 0)是x轴