2024年全国统一高考数学试卷（文科）甲卷含答案

2024年全国统一高考数学试卷（文科）（甲卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．集合，2，3，4，5，，，则A．，2，3， B．，2， C．， D．，2，2．设，则A． B．1 C． D．23．若实数，满足约束条件则的最小值为A．5 B． C． D．4．等差数列的前项和为，若，A． B． C．1 D．5．甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是A． B． C． D．6．已知双曲线的两个焦点分别为、，且经过点，则双曲线的离心率是A．4 B．3 C．2 D．7．曲线在处的切线与坐标轴围成的面积为A． B． C． D．8．函数的区间，的图像大致为A．B． C． D．9．已知，则A． B． C． D．10．已知直线与圆交于，两点，则的最小值为A．2 B．3 C．4 D．611．已知、是两个平面，、是两条直线，．下列四个命题：①若，则或②若，则，③若，且，则④若与和所成的角相等，则其中，所有真命题的编号是A．①③ B．②③ C．①②③ D．①③④12．在中，内角，，所对边分别为，，，若，，则A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．函数在，上的最大值是14．已知甲、乙两个圆台上下底面的半径均为和，母线长分别为和，则两个圆台的体积之比．15．已知，，则．16．曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题～第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）已知等比数列的前项和为，且．（1）求的通项公式；（2）求数列的通项公式．18．（12分）某工厂进行生产线智能化升级改造．升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：优级品合格品不合格品总计甲车间2624050乙车间70282100总计96522150（1）填写如下列联表：优级品非优级品甲车间乙车间能否有的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有的把握认为甲、乙两车间产品的估级品率存在差异？（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率．设为升级改造后抽取的件产品的优级品率．如果，则认为该工厂产品的优级品率提高了．根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？附：，0.0500.0100.0013.8416.63510.82819．（12分）如图，在以，，，，，为顶点的五面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，，，，，，，为的中点．（1）证明：平面；（2）求点到的距离．20．（12分）已知函数．（1）求的单调区间；（2）若时，证明：当时，恒成立．21．（12分）已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上，且轴．（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线与椭圆交于，两点，为线段的中点，直线与交于，证明：轴．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）写出的直角坐标方程；（2）直线为参数），若与交于、两点，，求的值．[选修4-5：不等式选讲]23．实数，满足．（1）证明：；（2）证明：．

2024年全国统一高考数学试卷（文科）（甲卷）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．集合，2，3，4，5，，，则A．，2，3， B．，2， C．， D．，2，【解析】：，2，3，4，5，，，1，2，3，4，，则，2，3，．故选：．2．设，则A． B．1 C． D．2解法一：，则．故选：．解法二：3．若实数，满足约束条件则的最小值为A．5 B． C． D．【解析】：作出不等式组所表示的平面区域，如图所示：将约束条件两两联立可得3个交点：，，，由得，则可看作直线在轴上的截距，经检验可知，当直线经过点，时，最小，代入目标函数可得：．故选：．4．等差数列的前项和为，若，A． B． C．1 D．解法一：，则，解得．故选：．解法二：利用等差数列的基本量由，根据等差数列的求和公式，，.解法三：特殊值法不妨取等差数列公差，则，则.故选：D解法四：【构造法】：设的公差为，利用结论是首项为，公差为的等差数列，则，，则，所以.故选：D解法五：根据题意，故选：D5．甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是A． B． C． D．【解析】：甲、乙、丙、丁四人排成一列共有种可能，丙不在排头，且甲或乙在排尾的情况有种可能，故．故选：．6．已知双曲线的两个焦点分别为、，且经过点，则双曲线的离心率是A．4 B．3 C．2 D．解法一：因为双曲线的两个焦点分别为、，且经过点，所以，，，则双曲线的离心率．故选：．解法二：点纵坐标相同，所以是通径的一半即则即，则双曲线的离心率．故选：．解法三：双曲线的离心率解法四：根据焦点坐标可知，根据焦点在y轴上设双曲线方程为，则，则，所以7．曲线在处的切线与坐标轴围成的面积为A． B． C． D．【解析】：因为，所以，曲线在处的切线斜率，故曲线在处的切线方程为，即，则其与坐标轴围成的面积．故选：．8．函数的区间，的图像大致为A． B． C． D．解法一：，则，故为偶函数，故错误；（1），故错误，正确．故选：．解法二：函数为偶函数。且当时，，因此只有选项符合题意9．已知，则A． B． C． D．解法一：，则，所以，故．故选：．解法二：设，则，即，因此由得，即，故，即，故选：．10．已知直线与圆交于，两点，则的最小值为A．2 B．3 C．4 D．6【解析】：直线，即，所以直线恒过点，圆，即，圆心为，半径，当最小时，点到直线的距离应最大，即时，最小，此时，．故选：．11．已知、是两个平面，、是两条直线，．下列四个命题：①若，则或②若，则，③若，且，则④若与和所成的角相等，则其中，所有真命题的编号是A．①③ B．②③ C．①②③ D．①③④【解析】：①若，因为，，则，若，因为，，则，若不在也不在内，因为，，，所以且，故①正确；②若，则与，不一定垂直，也有可能相交，故②错误；③过直线分别作平面，与，分别相交于直线，直线，因为，过直线的平面与平面相交于直线，所以，同理可得，所以，因为，，则，因为，，则，又因为，则，故③正确；④与和所成的角相等，则和不一定垂直，故④错误；综上只有①③正确．故选：．12．在中，内角，，所对边分别为，，，若，，则A． B． C． D．解法一：因为，，所以由正弦定理可得，，由余弦定理可得：，即，，所以，因为为三角形内角，则（贺雷颖添加）．故选：．解法二：不妨设，根据题意得，根据余弦定理，由得，即，所以，由正弦定理有，则二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．函数在，上的最大值是2【解析】：，，，，，所以当，时，取得最大值，．故答案为：2．14．已知甲、乙两个圆台上下底面的半径均为和，母线长分别为和，则两个圆台的体积之比．【解析】：因为甲、乙两个圆台上下底面的半径均为和，母线长分别为和，则两个圆台的体积之比．故答案为：．15．已知，，则64．解法一：因为，所以，而，故，解得．故答案为：64．解法二：根据题意有，设，则，解得，所以，所以，所以.16．曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为．【解析】：令，则，令，则，因为，故当时，，单调递增，当时，，单调递减，因为，（1），时，，若使得有两个不同零点，则的范围为．故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题～第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）已知等比数列的前项和为，且．（1）求的通项公式；（2）求数列的通项公式．解法一：（1）因为，所以，两式相减可得：，即，所以等比数列的公比，又因为，所以，；（2）因为，所以．解法二：（1）因为,故，所以即故等比数列的公比为，故，故，故.（2）由等比数列求和公式得.18．（12分）某工厂进行生产线智能化升级改造．升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：优级品合格品不合格品总计甲车间2624050乙车间70282100总计96522150（1）填写如下列联表：优级品非优级品甲车间乙车间能否有的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有的把握认为甲、乙两车间产品的估级品率存在差异？（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率．设为升级改造后抽取的件产品的优级品率．如果，则认为该工厂产品的优级品率提高了．根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？附：，0.0500.0100.0013.8416.63510.828【解析】：（1）根据题目所给数据得到如下的列联表：优级品非优级品甲车间2624乙车间7030零假设：根据的独立性检验，认为甲、乙两车间产品的优级品率不存在差异，，有的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异；零假设：根据的独立性检验，认为甲、乙两车间产品的优级品率不存在差异，，没有的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异．（2）由题意得，，所以，故有优化提升．19．（12分）如图，在以，，，，，为顶点的五面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，，，，，，，为的中点．（1）证明：平面；（2）求点到的距离．【解答】：（1）证明：由题意得：，，所以四边形为平行四边形，所以，而平面，平面，所以平面．（2）解：取的中点，连结，，由已知得，是边长为2的等边三角形，是以为腰的等腰三角形，则，，，，，因为，所以，即，又，所以平面，因为，，，所以，，设点到平面的距离为，因为，所以，，，故点到平面的距离为．20．（12分）已知函数．（1）求的单调区间；（2）若时，证明：当时，恒成立．【解析】：（1），则，，若，，的减区间为，无增区间；若时，当时，，当时，，所以的减区间为，增区间为；（2）证明：因为，所以当时，，令，则，令，则在上递增，（1），所以在上递增，（1），故在上递增，（1），所以当时，恒成立．21．（12分）已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上，且轴．（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线与椭圆交于，两点，为线段的中点，直线与交于，证明：轴．【解析】：（1）设椭圆的左焦点为，点在椭圆上，且轴，则，，由勾股定理可知，，故，解得，，故椭圆的方程为；解法一：（2）直线的斜率必定存在，设，，，由可得，故，故，又，而，故直线，故，所以， 故，即轴.解法二：（2）证明：设，，，，，则，即①，又由可得，②，结合①②可得，，，，，，，则直线的方程为，轴，直线与交于，则，故，故轴．解法三：（2）根据题意,有,设，，，，，则即

又由

代入点坐标可得

因此,设,则直线的横截距为

因此,命题得证.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）写出的直角坐标方程；（2）直线为参数），若与交于、两点，，求的值．【解析】：（1