二项式定理典型例题

1、1.在二项式高考数学专题复习二项式定理练习题的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项分析：本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公式解决解：二项式的展开式的通项公式为：T二Cr（叮x）n-rr+1n12n-3rCrx4n2r前三项的r=0,1,2.得系数为：t=1,t=Ci1=1n,t=C2：=1n（n-1）,12n223n48由已知：2t=t+1213n=8通项公式为n=1+n（n一1）8r+1163r=Crx4r=0,1,282r&Tr+1为有理项故16-3r是4的倍数,.r=0,4,8.13511依次得到有理项为T=x4,T=C4x=x

2、,T=C8x-2=x2.1582489828256说明：本题通过抓特定项满足的条件，利用通项公式求出了r的取值，得到了有理项.类似地，(巨+3)100的展开式中有多少项是有理项？可以通过抓通项中r的取值，得到共有系数和为3n.12.(1)求(1-x)3(1+x)10展开式中x5的系数；(2)求(x+2)6展开式中的常数项.x分析：本题的两小题都不是二项式展开，但可以转化为二项式展开的问题，(1)可以视为两个二项展开式相乘；(2)可以经过代数式变形转化为二项式.解:(1)(1-x)3(1+x)10展开式中的x5可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项:用(1-x)3展开式中的常数项乘以(1+x)

3、10展开式中的x5项，可以得到C5x5；用10(1-x)3展开式中的一次项乘以(1+x)10展开式中的x4项可得到(-3x)(C4x4)=-3C4x5；1010用(1-x)3中的x2乘以(1+x)10展开式中的x3可得到3X2C3x3二3C3x5；用(1-x)3中的1010x3项乘以(1+x)10展开式中的x2项可得到-3x3C2ox2一C2ox5，合并同类项得x5项为:(C5-C4+3C3-C2)x5=-63x5.10101010(x+-+2)5=xx+1+2=五+xI2由px+丄f展开式的通项公式TIJx丿r+1Cr123)12-rr=Crx6-r12可得展开式的常数项为C6=924.12

4、说明：问题(2)中将非二项式通过因式分解转化为二项式解决这时我们还可以通过合并项转化为二项式展开的问题来解决3.求(1+x-x2)6展开式中x5的系数.分析：(1+xx2)6不是二项式，我们可以通过1+xx2=(1+x)x2或1+(xx2)把它看成二项式展开解：方法一：(1+x-x2)6=1+x)-x2】=(1+x6)-6(1+x)5x2+15(1+x)4x4-其中含x5的项为C5x5-6C3x5+15C1x5=6x5.654含x5项的系数为6方法二：(1+x-x2)6=1+(x-x2)1=1+6(x-x2)+15(x-x2)2+20(x-x2)3+15(x-x2)4+6(x-x2)5+(x-

5、x2)6其中含x5的项为20(-3)x5+15(-4)x5+6x5=6x5.x5项的系数为6.方法3：本题还可通过把(1+x-x2)6看成6个1+x-x2相乘，每个因式各取一项相乘可得到乘积的一项，x5项可由下列几种可能得到.5个因式中取x,一个取1得到C5x5.63个因式中取x，一个取-x2，两个取1得到C3-C3x3-(x2)1个因式中取x,两个取x2，三个取1得到C1C2x-(-X2)2.65合并同类项为(C5-C3C1+OC2)X5=6x5,X5项的系数为6.663654.求证：(1)Ci+2C2hfnCn=n2n-i；nnn1111(2)Co+Ci+C2+Cn二(2n+1-1).n2

6、n3nnf1nnf1分析：二项式系数的性质实际上是组合数的性质，我们可以用二项式系数的性质来证明一些组合数的等式或者求一些组合数式子的值解决这两个小题的关键是通过组合数公式将等式左边各项变化的等数固定下来，从而使用二项式系数性质Co+Ci+C2+Cn=2n.nnnnn!解：(1).kCk=kn!=n=n(n1)!=nCk-ink!(nk)!(k1)!(nk)!(k1)!(n+k)!n-1°左边=nCo+nC1+nCn-1n1n1n1=n(Co+C1+fCn-1)=n2n-1=右边.n-1n-1n-12)Ckk+1nn!n!k!(nk)!(k1)!(nk)!Ck+1n+11(n+1)!

7、n+1(k+1)!(nk)!111左边二C1+C2+Cn+1n+1n+1n+1n+1n+1n+111二(C1+C2+Cn+1)二(2n+1-1)二右边.n+1n+1n+1n+1n+1说明：本题的两个小题都是通过变换转化成二项式系数之和，再用二项式系数的性质求解此外，有些组合数的式子可以直接作为某个二项式的展开式，但这需要逆用二项式定理才能完成，所以需仔细观察，我们可以看下面的例子：求29。0+28C9+2疋8+2C2+10的结果.仔细观察可以发现该组合数的式与1o1o1o1o(1+2)10的展开式接近，但要注意：(1+2)10Co+C12+C222+C929+C1021010101010101

8、+2x10+22C2+29C9+210C101010101+2(10+2C2+28C9+29C10)1010101从而可以得到：10+2C2+28C9+29。0=_(310-1).10101025.利用二项式定理证明：32n+2-8n-9是64的倍数分析：64是8的平方，问题相当于证明32n+2-8n-9是82的倍数，为了使问题向二项式定理贴近，变形32n+29n+1(8+1)n+1，将其展开后各项含有8k，与82的倍数联系起来.解：/32n+2-8n-99n+1-8n-9(8+1)n+1-8n-98n+1+C1-8n+Cn-1-82+Cn-8+18n9n+1n+1n+18n+1+C1-8n+

9、Cn-1-82+8(n+1)+18n9n+1n+18n+1+C1-8n+Cn-1-82n+1n+1(8n+1+C1-8n-2+Cn-1)-64是64的倍数.n+1n+1说明：利用本题的方法和技巧不仅可以用来证明整除问题，而且可以用此方程求一些复杂的指数式除以一个数的余数.8若将(x+y+z)10展开为多项式，经过合并同类项后它的项数为().A11B33C55D66分析：(x+y+z)10看作二项式(x+y)+z10展开.解：我们把x+y+z看成(x+y)+z，按二项式展开，共有11“项”即(x+y+z)10(x+y)+z10兰Ck(x+y)10-k-zk.10k0这时，由于“和”中各项z的指数

10、各不相同，因此再将各个二项式(x+y)10-k展开，不同的乘积Ck(x+y)10-kzk(k0,1,10)展开后，都不会出现同类项.10下面，再分别考虑每一个乘积Ck(x+y)10-kzk(k0,1,10).10其中每一个乘积展开后的项数由(x+y)10-k决定，而且各项中x和y的指数都不相同，也不会出现同类项.故原式展开后的总项数为11+10+9+166，应选D.厂1、n9若x+2的展开式的常数项为20，求n.Ix丿厂1An分析：题中X丰0,当x>0时，把三项式x+一2转化为Ix丿'L1A2n时'x<=Iv'x丿(iAn(.；当x<0时，同理x+2=

11、(1)n!xIx丿I1A2nv'x丿然后写出通项，令含x的幕指数为零，进而解出n.解：1A2n<x丿其通项为T=CrG/x)2nr(=)r=2n2rr+12nx2n令2n2r二0，得n=r，展开式的常数项为(1)nCn;2n当x<0时,(1)n1A2nV，x丿同理可得，展开式的常数项为(1)nCn.2n无论哪一种情况，常数项均为(-1)nCn.2n令(1)nCn=一20，以n=1,2,3,，逐个代入，得n=3.2n10.Jx+1A10i"3x丿的展开式的第3项小于第4项，则x的取值范围是.分析：首先运用通项公式写出展开式的第3项和第4项，再根据题设列出不等式即可.

12、解：使£x+占丿10有意义,必须x>0；依题意，有TT4，即BE)8<C3(云)710巴渋x<巴竺8X丄(x>0)2x13x2x1vx8解得0<x<95648x的取值范围是<x0<x<9冋应填：0<x<85648.911已知(兀应?x+1)n的展开式中有连续三项的系数之比为1：2：3,这三项是第几项？若展开式的倒数第二项为112，求x的值.解：设连续三项是第k、k+1、k+2项(kgN+且k>1),则有Ck-1:Ck:Ck+1=1：2：3,nnnn!即(k-1)(n-k+1)!n!k!(n-k)!n!(k+1)(

13、n-k-1)!二1：2：3.1(n-k)(n-k+1)1k(n-k)k(k+1)-123k(n一k)(n-k)(n-k+1)k(k+1)_2k(n一k)312231 k2 nk+1nV(k+1)(n-k)nn_14，k_5所求连续三项为第5、6、7三项.又由已知，C13xlog2x_112.即xlog2x_8.14两边取以2为底的对数，(logx)2_3,log2x_±l3,22x_2-3，或x_23.说明：当题目中已知二项展开式的某些项或某几项之间的关系时，常利用二项式通项根据已知条件列出某些等式或不等式进行求解.12.(1+2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二

14、项式系数最大的项和系数最大的项.分析：根据已知条件可求出n，再根据n的奇偶性；确定二项式系数最大的项.解：T_C5(2x)5，T_C6(2x)6，依题意有6n7nC525_C626nn_8.nn(1+2x)8的展开式中，二项式系数最大的项为._C；(2x)4_1120x4-设第r+1项系数最大，则有ICr2r>Cr-12r-1<885<r<6.Cr2r>Cr+12r+188r二5或r二6(:rg4),1,2,8).系娄最大的项为：T二1792x5,T二1792x6.67说明：(1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，n为奇数时中间两项的二项式系数最大，n为

15、偶数时，中间一项的二项式系数最大(2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式，解不等式的方法求得13.设f(x)二(1+x)m+(1+x)n(m,ngN若其展开式中关于x的一次项的系数和为11,问m,n为何值时，含x2项的系数取最小值？并求这个最小值.分析：根据已知条件得到x2的系数关于n的二次表达式，然后利用二次函数性质探讨最小值问题解：C1+C1=n+m=11.mn1m2+n2-11C2+C2=(m2一m+n2一n)=mn2211)-2mn1199=n2一11n+55=(n一)2+-.224:ngN，+.n=5或6,m=6或5时，

16、x2项系数最小，最小值为25.119911说明：二次函数y=(x)2+匸的对称轴方程为x=，即x=5.5，由于5、6距厶I厶11995.5等距离，且对ngN，5、6距5.5最近，所以(n-)2+的最小值在n=5或n=6+24处取得14若(3x一1)7=ax7+ax6+ax+a，761)求(1)a+a+a；(2)a+a+a+a；(3)a+a+a+a.1271357)246解：(1)令x=0，则a)=-1,令x=1，则a+a+a+a=27=128.761)a+a+a=129.127(2)令x1，贝卩一a+aa+aa+aa+a(4)7765432101由得：a+a+a+a=128(4)78256得：

17、213572(3)由a+a+a+a0246-丄(a+a+a+a+a+a+a+a)276543210+(a+aa+aa+aa+a)76543210|128+(4)7=8128.说明：(1)本解法根据问题恒等式特点来用“特殊值”法这是一种重要的方法，它适用于恒等式.(2)一般地，对于多项式g(x)(px+q)na+ax+ax2+axn,g(x)的各项012n的系数和为g(1)：g(x)的奇数项的系数和为|g(1)+g(1).g(x)的偶数项的系数和为|g(1)g(1).18.在(x2+3x+2)5的展开式中x的系数为().A160B240C360D800分析：本题考查二项式定理的通项公式的运用应想

18、办法将三项式转化为二项式求解解法1：由(x2+3x+2)5(x2+3x)+25，得TCk(x2+3x)5-k-2kk+15Ck2k(x2+3x)5-k.5再一次使用通项公式得，TCk-2kCr-3rx10-2kr，r+155k这里0<k<5，0<r<5k.令102kr1，即2k+r9.所以r1，k4，由此得到x的系数为C;243240.解法2：由(x2+3x+2)5(x+1)5(x+2)5，知(x+1)5的展开式中x的系数为C;，常数项为1,(x+2)5的展开式中x的系数为C4-24，常数项为25.因此原式中x的系数为c；-25+C4-24二240-解法3：将(x2+3

19、x+2)5看作5个三项式相乘,展开式中x的系数就是从其中一个三项式中取3x的系数3，从另外4个三项式中取常数项相乘所得的积，即C5-3-C4-24-240-应选B.a19已知一IxV2的展开式中x3的系数为4，常数a的值为4分析：利用二项式的通项公式.丄ax解：在_、丐的展开式中,lx入2丿通项公式为t+1'a'9-r(1x丿灯丿r9Cr(1)ra9-r9-r-39根据题设，Ar9=3，所以r=8.代入通项公式，得T=ax3.291699根据题意，石7a=，所以a4.164应填：420若neN+，求证明：32n+324n+37能被64整除.分析：考虑先将32n+3拆成与8的倍数

20、有关的和式，再用二项式定理展开.解：32n+3-24n+37=3-32n+224n+37=3-9n+124n+37=3-(8+1)n+124n+37=3-Co-8n+1+C1-8n+C2-8n-1+Cn-8+Cn+124n+37n+1n+1n+1n+1n+1=3-8n+1+C1-8n+C2-8n-1+(n+1)-8+124n+37n+1n+1=3-8n+1+C1-8n+C2-8n-1+Cn-1-82+(8n+9)24n+37n+1n+1n+1=3-828n-1+C1-8n-2+C2-8n-3+Cn-1+3-(8n+9)24n+37n+1n+1n+1=3-648n-1+C1-8n-2+C2-8n-3h+64,n+1n+1*.*8n-1,C1-8n-2,C2-8n-3，均为自然数，n+1n+1上式各项均为64的整数倍.原式能被64整除.说明：用二项式定理证明整除问题，大体上就是这一模式，先将某项凑成与除数有关的和式，再展开证之该类题也