第5章本构关系-弹性力学

1、2022-4-302人法地人法地 地法天地法天 天法道天法道道生一道生一 一生二一生二 二生三二生三 道法自然道法自然 三生万物三生万物太太 极极 两两 仪仪四四 象象 八八 卦卦2022-4-303事事 在在 人人 为为 休休 言言 万万 般般 都都 是是 命命境境 由由 心心 造造 退退 后后 一一 步步 自自 然然 宽宽骑青牛出函谷老骑青牛出函谷老子一气化三清子一气化三清玉清元始天尊玉清元始天尊上清灵宝天尊上清灵宝天尊太清道德天尊太清道德天尊2022-4-304第五章第五章 本构关系本构关系第一节第一节 各向同性材料本构关系各向同性材料本构关系第二节第二节 各向异性材料本构关系各向异性材

2、料本构关系第三节第三节 弹性应变能密度弹性应变能密度物理关系物理关系实测材实测材料常数料常数2022-4-305第一节第一节 各向同性材料本构关系各向同性材料本构关系本构关系的概念本构关系的概念vThe elastic constitutive relations of material are referred to as the relations between stresses and strains of the body under loading.vIn some special cases, they can be also known as generalized Hooke

3、s law (广义广义胡克定律胡克定律) 2022-4-306一、广义胡克定律一、广义胡克定律v应力表达应变应力表达应变)(1zyxxE)(1xzyyE)(1yxzzExyxyG1yzyzG1zxzxG1zxyzxyzyxGGGEEEEEEEEE/ 1000000/ 1000000/ 1000000/ 1/000/ 1/000/ 1zxyzxyzyx按矩阵方按矩阵方式书写为式书写为金属材料是典型金属材料是典型的各向同性材料的各向同性材料计算力学的习惯计算力学的习惯2022-4-307)(133221111EkkEE111kkEE22221kkEE33331xy2112xyG21121E2323

4、1E31311EijkkijijEE1方程改造方程改造张量指标方程张量指标方程2022-4-308v应变表达应力应变表达应力qqkkqqqqEE1ijkkijijEE1kkqqEE31qqE21kkkkE21ijkkijijEEE211ijkkijE2112022-4-309ijkkijijE211ijijkkijEE1)21)(1 ()21)(1 (EGE21kk332211zyx321ijijijG22022-4-3010ijijijG211112G22222G33332G12122G23232G31312GxxG2yyG2zzG2xyxyGyzyzGzxzxG张量指标方程展开张量指标方程

5、展开2022-4-3011二、其他应力应变关系二、其他应力应变关系v体积应变与平均应力的关系体积应变与平均应力的关系kkkkE21kkkkE21pE321pE)21 ( 3KpKp )21 ( 3EKG32the material becomes incompressible2022-4-3012v应力偏量与应变偏量之关系应力偏量与应变偏量之关系ijijijG2)31(2ijkkijijeGijijGeG232ijkkijs31ijijKsijijGs32ijijGes22022-4-3013v例题例题5.1v证：证：ijijijG20)(jijijA设应力主方向为设应力主方向为Aj，应变主方

6、向为，应变主方向为Bj，则，则0)(jijijB本构关系本构关系G20)22(jijijijijAGG0)(2jijijAG0)(jijijA任意应变状态下任意应变状态下该关系都成立。该关系都成立。jjAB 证毕证毕2022-4-3014第二节第二节 各向异性材料本构关系各向异性材料本构关系zxyzxyzyx666564636261565554535251464544434241363534333231262524232221161514131211cccccccccccccccccccccccccccccccccccczxyzxyzyx弹性性能沿各个方向不同的材料，称为各向异弹性性能沿各个方

7、向不同的材料，称为各向异性材料。线弹性本构关系如下性材料。线弹性本构关系如下正应力和剪正应力和剪应变、剪应应变、剪应力和正应变力和正应变发生耦合。发生耦合。2022-4-3015一、正交各向异性材料本构关系一、正交各向异性材料本构关系v材料定义材料定义v刚度矩阵刚度矩阵665544332313232212131211ccccccccccccC复合材料为代表复合材料为代表无耦合现象无耦合现象2022-4-3016v应力表示应变应力表示应变zxyzxyzyxzxyzxyzyx665544332313232212131211SSSSSSSSSSSS各向异性材料的研究，见于各向异性材料的研究，见于复合

8、材料力学复合材料力学，应用于航空航天等领域。应用于航空航天等领域。现浇钢筋混凝土楼板，精细分析可按正交各向现浇钢筋混凝土楼板，精细分析可按正交各向异性材料对待异性材料对待2022-4-3017二、横观各向同性材料本构关系二、横观各向同性材料本构关系v材料定义材料定义v刚度矩阵刚度矩阵555533113313131311121312112/ )(cccccccccccccC碎石基层、沥青碎石基层、沥青路面是横观各向路面是横观各向同性材料的代表同性材料的代表2022-4-3018v柔度矩阵柔度矩阵21EE 3123GG3231)1 (212112EG2022-4-30193123123223113

9、33221123312211100000010000001000000100010001GGGEEEEEEEEES2022-4-3020第三节第三节 弹性应变能密度弹性应变能密度一、应变能密度的概念一、应变能密度的概念v定义定义v简单拉伸应变能密度简单拉伸应变能密度,EANll lEAk lkN杆弹簧杆弹簧2022-4-30212)(21lkU221EANllEAEAlN221VUW AlEAlN1212EANAN21E21212022-4-3022二、应变能密度计算二、应变能密度计算v总能量密度总能量密度ijijW21ijijijGW)2(21ijijijijG21ijijG221)(2)(

10、)(212222222zxyzxyzyxzyxGGijijijG22022-4-3023ijijW21ijkkijijEEW121)1(21iikkijijE)(221222xzzyyxzyxE)(1 (2222zxyzxy)(221133221232221EijkkijijEE12022-4-3024三、应变能密度的分解三、应变能密度的分解v应变与能量密度应变与能量密度v体积能（体积改变比能）体积能（体积改变比能）pW21vKpp21221pK213121IKKI18212321)(621E2)(621zyxE2022-4-3025v畸变能（形状改变比能）畸变能（形状改变比能）ijijesW21dGssij