第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入

1、第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入平面向量的概念及其线性运算备考基础壹清忆知识明误毘悟方法对应学生用书P64H必记3©知识点忆一忆填一填1.向量的有关概念名称定义向量既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或称模）零向量长度为零的向量叫做零向量，其方向是任意的，零向量记作0单位向量长度等于1个单位的向量平行向量表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合，则这两个向量叫做平行向量，平行向量又叫共线向量.规疋：0与任一向量平行相等向量长度相等且方向相同的向量相反向量长度相等且方向相反的向量2向量的线性运算向量运算定义法则（或几何意义）运算律加法求两个向量和的运算/口&

2、quot;三角形法则a平行四边形法则(1)交换律：a+b=b+a;结合律：(a+b)+c=a+(b+c)减法求a与b的相反向量一b的和的运算叫做a与b的差三角形法则ab=a+(b)数乘求实数入与向量a的积的运算（1）1删=丨洞；（2）当心0时，：a的方向与a的方向相同；当&0时，?a的方向与a的方向相反;Xua)=(入M；(入+Qa=X+a;Xa+b)=X+2b当L=0时，L=03.共线向量定理向量a（a工0）与b共线的充要条件是存在唯一一个实数入使得b=?a.曰必明©易误点號想一想试一试1.作两个向量的差时，要注意向量的方向是指向被减向量的终点；2在向量共线的重要条件中易忽

3、视“az0”，否则入可能不存在，也可能有无数个;3要注意向量共线与三点共线的区别与联系.试一试1.若向量a与b不相等，则a与b一定（）A有不相等的模B不共线C.不可能都是零向量D.不可能都是单位向量答案：CTTT2若菱形ABCD的边长为2，则|ABCB+CD1=2.TTTTTTT解析：|ABCB+CD|=|AB+BC+CD|=|AD答案：2必会逻方法悟二悟练一练1.向量的中线公式P为线段AB的中点，O为平面内一点，则OP=*OA+).2.A,三点共线等价关系TTAP=LAB（将0）?P,B三点共线?=(1t)OA+1OB(O为平面内异于A,P,B的任一点，tR）?=xOA+yOB（O为平面内异

4、于A,P,B的任一点，xR,yR,x+y=1).1.D是厶ABC的边AB上的中点，则向量CD等于（）1 A.BC+2BA1 B.BC2BAD.BC+1C.BC2BA答案：A2.已知a与b是两个不共线向量，且向量a+?b与一（b3a）共线，贝UL=解析：由题意知a+?b=k（b3a）,冶一k,所以I1=3k,答案：33考忡虫I怎么考怎么办命题鶯度全扫捕对应学生用书P65考点一向量的有关概念sms1给出下列命题:若|a|=|b|,贝Ua=b;若A,B,C,D是不共线的四点，贝UAB=DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件;若a=b,b=c,则a=c;a=b的充要条件是|a|=|b|且a/b;若

5、a/b,b/c,则a/c.其中正确命题的序号是B.A.C.D.解析：选A不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同.正确AB=烹宀ABi=iDCi且7B/DC,又A,B,C,D是不共线的四点,四边形ABCD为平行四边形;反之，若四边形ABCD为平行四边形，TTTTTT则AB/DC且|AB|=|DC|,因此，AB=DC. 正确.a=b,.a,b的长度相等且方向相同,又b=c,.b,c的长度相等且方向相同,'a,c的长度相等且方向相同，故a=c. 不正确.当a/b且方向相反时，即使|a|=|b|,也不能得到a=b,故|a|=|b|且a/b不是a=b的充要条件，而是必要不充分条件.

6、不正确.考虑b=0这种特殊情况.综上所述，正确命题的序号是故选A.2设ao为单位向量，若a为平面内的某个向量，贝Va=|a|a。；若a与a°平行，则a=|a|ao；若a与a°平行且|a|=1,贝Va=a°.上述命题中，假命题的个数是（）A.0B.1C.2D.3解析：选D向量是既有大小又有方向的量，a与|a|ao的模相同，但方向不一定相同，故是假命题；若a与ao平行，则a与a。的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a=-|a|ao，故也是假命题综上所述，假命题的个数是3.类题通法平面向量中常用的几个结论（1）相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.（2

7、）向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量解题时不要把它与函数图像的平移混为一谈.（疇是与a同向的单位向量，一註与a反向的单位向量.EF典例如图，在正六边形ABCDEF中，+CD+7FC.ADB.BED.CF（2013江苏高考）设D,E分别是ABC的边AB,BC上的点，ADDE=乃AB+?2AC（为实数），贝U入+&的值为TTCEA+=2AB,BE=3BC.若解析如图，在正六边形ABCDEF中，CD=AF,BFBA+CD+1*2"1J2(2)由题意DE=DB+BE=2AB+3BC="AB+"(BA+AC)考点二向量的线性运算»师生共硏型12-

8、1AB+2AC，121所以入=6，心3,即入+2.1_题多变答案D（2纭若条件变为：若aD=2dB,CD=gcA+是B，则匕解析：voD=cA+AD,cD=cB+BD,TTTTT：2CD=CA+CB+AD+BD.又AD=2DB,1斗1+3(CB-CA)：2CD=CA+CB+3AB=CA+CB=2CA+4CB.2答案：2类题通法在向量线性运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解.针对训练若A,B,C,D是平面内任意四点，给出下列式子：TTTTTTTTAB+

9、CD=BC+DA:AC+BD=BC+AD；TTTTACBD=DC+AB其中正确的有（）C.2个解析：选C式的等价式是DC,不一定相等；式的等价式是D.3个TTTTTTABBC=DACD,左边=AB+CBTTTTTTTTACBC=ADBD,AC+CB=AD+DB，右边=dA=AB成立；式的等价式是TTTTTTACDC=AB+BD,AD=AD成立.考点三共线向量定理的应用»师生共研型典例设两个非零向量a与b不共线，T-4H(1)若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(ab).求证：A,B,D三点共线.试确定实数k,使ka+b和a+kb共线.=a+b,BC=2a+8b,CD=3(ab)

10、,解证明：TAB BD=BC+CD=2a+8b+3(ab)=2a+8b+3a3b=5(a+b)=5TB. AB,BD共线，又它们有公共点B,A,B,D三点共线.(2)/ka+b与a+kb共线，存在实数入使ka+b=?(a+kb),即ka+b=?a+入k-(k为a=(入1)b.a,b是不共线的两个非零向量, k=入k1=0, k21=O.k=±1.类题通法1.共线向量定理及其应用(1) 可以利用共线向量定理证明向量共线，也可以由向量共线求参数的值.(2) 若a,b不共线，则扫+山=0的充要条件是匕尸0，这一结论结合待定系数法应用非常广泛.2.证明三点共线的方法AB=入AC，则A、B、C

11、三点共线.针对训练已知a,b不共线，OA=a,OB=b,OC=c,OD=d,OE=e,设tCR，如果3a=c2b=d,e=t(a+b),是否存在实数t使C,D,E三点在一条直线上？若存在，求出实数t的值，若不存在，请说明理由.解：由题设知，CD=dc=2b3a,CE=ec=(t3)a+tb,C,D,E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k,使得CE=kCD，即(t3)a+1b=3ka+2kb,整理得(t3+3k)a=(2kt)b.t3+3k=0,因为a,b不共线，所以有t2k=0,解之得t=25a故存在实数t=5使C,D,E三点在一条直线上.迁移应用-练透对点练综台练创新塚对应学生用书P66课

12、堂练通考点1.给出下列命题： 两个具有公共终点的向量，一定是共线向量. 两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小. ；a=0（入为实数），则入必为零. 入为实数，若扫=力，贝Ua与b共线.其中错误的命题的个数为（）A.1B.2C.3D.4解析：选C错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点.正确，因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数,故可以比较大小.错误，当a=0时，不论入为何值，扫=0.错误，当A尸0时，?a=pb=0,此时，a与b可以是任意向量.故选C.TTTAC=b,BD=3DC，用a,2如图，已知AB=a,则AD=（）3a.a+4b13B.1a+4b31

13、D.4a+4bTTTTABAC=ab,又BD=3DC,113CD=4CB=4（ab）,AD=AC+CD=b+4（ab）=4a+4b.11c4a+4b解析：选BvCB3.（2013贵阳监测考试）已知向量a,b,c中任意两个都不共线，但a+b与c共线，且b+c与a共线，则向量a+b+c=（）A.aB.bC.cD.0解析：选D依题意，设a+b=me,b+c=na,则有(a+b)(b+c)=mena，即ac=mcna.又a与c不共线，于是有m=1,n=1,a+b=c,a+b+c=0，选D.4. （2013江南十校”联考）如图，在ABC中，/A=60°的平分线交BC于D,若AB=4,且AD=1

14、AC+xAb（氐R）,AD的长为()B.3.3D.5.3A. 23C.4,31解析：选B因为B,D,C三点共线，所以有4+冶1,解得3X=4,如图，过点D分别作AC,AB的平行线交AB,AC于点M,N,则AN=4AC,AM=4AB，经计算得AN=AM=3,AD=3.3.TTAN=3NC,M为BC5.在？ABCD中，AB=a,AD=b,的中点，贝UMN=(用a,b表示).解析：由aN=3NC得4aN=3AC=3(a+b),1AM=a+2b,114a+4b-所以MN=3(a+b)a+答案：114a+4b2I,6. 设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外,BC=16,|AB+AC|=|ABACaM

15、|=.TTTTTT解析：由|AB+AC|=|ABAC可知，AB丄AC，则AM为RtABC斜边BC上的中线，因此,1|AM|=21BC|=2.答案：2课下提升考能第I组：全员必做题1. 设a、b是两个非零向量（）A.若|a+b|=|a|b|,则a丄bB.若a丄b,则|a+b|=|a|b|C.若|a+b|=a|b|,则存在实数入使得b=/aD若存在实数入使得b=/，则|a+b|=|a|b|解析：选C对于A，可得、a,b=1,因此a丄b不成立；对于B，满足a丄b时|a+b|=|a|b|不成立；对于C,可得CQ5a,b=1,因此成立，而D显然不一定成=2EA,立.T2. 设D,E,F分别是ABC的三边

16、BC、CA、AB上的点，且DC=2TTTTTTAF=2FB，则AD+BE+CF与BCB.同向平行A.反向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂直解析：选A由题意得AD=AB+BD=AB+3BC,3BE=BA+IE=+1CF=CB+BF=CB+3TTTTTTT因此AD+BE+CF=CB+3(BC+ACAB)=Cb+2BC=3BC,故AD+反向平行.与BC3.（2014哈尔滨四校联考）在厶ABC中，N是AC边上一点，且7N=斑,P是BN上的一点，若2+9AC，则实数m的值为（）B. 3C.1解析：选B如图，因为D.311=1NC，所以AN=1AC,AP=2 22mAB+9AC=mAB+3AN,因为B、

17、P、N三点共线，所以m+3=11, 所以m=3.TTTT4.（2014师大附中模拟）已知平面内一点P及厶ABC,若PA+PB+PC=AB,则点P与厶ABC的位置关系是（）A.点P在线段AB上B.点P在线段BC上C. 点P在线段AC上D.点P在厶ABC外部解析：选C由PA+PB+"PC=AB得PA+pC=ABPB=AP，即"PC=TTTAPPA=2AP，所以点P在线段AC上，选C.TTT5. （2014大连高三双基测试）设O在厶ABC的内部，且有OA+2OB+3OC=0,则ABC的面积和厶AOC的面积之比为（）5B.5C.2d.3解析：选A设AC,BC的中点分别为M,N，则已

18、知条件可化为（OA+OC）+2（OBTTTTT+OC）=0，即OM+2ON=0,所以OM=2ON，说明M,O,N共线，即O为中位2 211Szabc线MN上的靠近N的三等分点，Saaoc=£Saanc=£Szabc=7Szabc，所以=3.3 323Szaoc6. （2013淮阴模拟）已知ABC和点M满足MA+MB+MC=0若存在实数m使得T14AB+AC=mAM成立，则m=.解析：由题目条件可知，M为ABC的重心，连接AM并延长交BC于D，则aMAD,因为AD为中线，则IS+IC=2ID=3AM，所以m=3.答案：3+OC=OB+OD，则四边形ABCD的形状为7. （20

19、13大庆模拟）已知O为四边形ABCD所在平面内一点，且向量OA,OD满足等式OATTTTTTTT解析：vOA+OC=OB+OD,OAOB=ODOC,BABA=CD,BA綊CD，四边形ABCD为平行四边形.CA=b,给TJ答案：平行四边形&已知D,E,F分别为ABC的边BC,CA,AB的中点，且BC=a,1111出下列命题：AD=2ab；BE=a+?b；CF=-"a+尹；AD+BE+CF=其中正确命题的个数为.12ab,故错;解析：BC=a,CA=b,為=10.BE=BC+1CA=a+1b,故错;CF=2CB+CA)=2(a+b)11=2a+2b,故正确;1111bqa+a+2

20、匕+2匕一2a=0.正确命题为答案：39设两个非零向量ei和e2不共线.(1) 如果AB=e1e,BC=3e1+2e2,CD=8e12e2,求证：A、C、D三点共线；TTT(2) 如果AB=e1+e2,BC=2®3e2,CD=2e1ke2,且A、C、D三点共线，求k的值.解：(1)证明：AB=CD=8e12e2,TTT-AC=AB+BC=4e1+e2,BC=3e1+2e2,=*8e12e2)=2CD,TTAC与CD共线.TT又AC与CD有公共点C,.A、C、D三点共线.TTTAC=AB+BC=(e1+e2)+(2e13e2)=3e2e2,TTA、C、D三点共线，AC与CD共线，从而存

21、在实数入使得AC=?CD，即3ei3=2人2e2=垃e1ke2),得.一2=入k解得=：,k=扌10.如图所示，在厶ABC中，D,F分别是BC,AC的中点,23AD,AB=a,AC=b.AE=TTTTT(1)用a,b表示向量AD,AE,AF,BE,BF；求证：B,E,F三点共线.解：延长AD到G,使AD=1AG,连接所以ADBG,CG,得至U?ABGC,AG=a+b,=1AG=2（a+b）,=2ADAF=17CBE=AE-AE=3（a+b）.i=2b,11-AB=3（a+b）a=3（b2a）,11-AB=2ba=2（b2a）.2（2）证明：由（1）可知BE=3BF，又因为BF=AFBE,BF有

22、公共点b,所以B,E,F三点共线.第n组：重点选做题1.A,B,O是平面内不共线的三个定点，且OA=a,点为Q,点Q关于点B的对称点为R,则PR等于（）OB=b,点P关于点A的对称a）.B.2（b-a）C.2（a-b）解析：选BD.b-aPR=OR穂=（OR+OQ）（OP+OQ）=2OB2OA=纱TT2如图，在ABC中，设AB=a,AC=b,AP的中点为Q,的中点为R,CR的中点恰为P,则AP等于解析：如图，连接BP,TTTT则AP=AC+CP=b+PR，TTTTTAP=AB+BP=a+RPRB，+,得2AP又RB=1QB=AB7Q)=a+bRB1a-2AP，将代入，得2AP=a+b1a-1A

23、p,解得AP=7a+4b.2 4答案：2a+7b平面向量的基本定理及坐标表示第备考基础*查清険方法曲，备知识总朋员对应学生用书P66'必记3©知识点忆一忆填一填1. 平面向量基本定理a,存在如果ei,e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量唯二一对实数入，尬使a=Aei+加2.其中，不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.2. 平面向量的坐标运算(1) 向量加法、减法、数乘向量及向量的模：设a=区,y”，b=(x2,y2),则a+b=(X1乜21匕2),ab=(x一x?,y一y?),匕=(入x入1),|a|=7x1+S.(2) 向量坐

24、标的求法： 若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.T 设A(X1,y1),B(X2,y2),贝yAB=(x2i,y2y1),T,22|AB|=Q(X2-X12+(y2-y1J.3. 平面向量平行的坐标表示设a=(X1,y”，b=(X2,y2),其中b*O.a/b?X1y2X2y1=0.自必明©易误点密綜匚辄试三试1若a、b为非零向量，当a/b时，a,b的夹角为0。或180°求解时容易忽视其中一种情形而导致出错；2. 要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息.3. 若a=(xi,y”，b=(x2,y

25、2)，贝Ua/b的充要条件不能表示成X1=yi，因为x2,丫2有X2y2可能等于0,应表示为Xiy2X2yi=0.试一试TTT1. 若向量BA=(2,3),CA=(4,7)，则BC=()A.(2,4)B.(2,4)C.(6,10)D.(6,10)答案：A2. (2013石家庄模拟)已知向量a=(1,2),b=(x,1),u=a+2b,v=2ab,且u/v,则实数x的值是.1解析：vu=(1+2x,4),v=(2x,3),u/v,二84x=3+6x,.x=1答案：专自必会勺©方法悟-悟练-练用基向量表示所求向量时，注意方程思想的运用.练一练设e1>e2是平面内一组基向量，且a=e

26、1+2e2,b=e1+e2,则向量e1+e2可以表示为另一组基向量a,b的线性组合，即e1+e2=a+b.解析：由题意，设e1+e2=ma+nb.因为a=e1+2e2,b=e1+e2,所以e1+e2=m©+2e2)+n(e1+e2)=(mn)e1+(2m+n)e2.mn=1,由平面向量基本定理，得所以1n=3.2m+n=1,答案：2热点命题悟通考什么|億么考|怎么办对应学生用书P67考点一平面向量的坐标运算»自主练透型1.(2014昆明一中摸底)已知点M(5,6)和向量a=(1,-2),若MN=3a,则点N的坐标为()A(2,0)C.(6,2)解析：选AmN=3a=3(1,

27、D(2,0)2)=(3,6),设N(x,y),则=(x5,y(B(3,6)即X=2,选A.y=0,|x5=3,6)=(3,6)，所以y+6=6,2.(2013北京高考)向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示.若c=尬+山(人卩R)，则合.解析：设i,j分别为水平方向和竖直方向上的正向单位向量，则a=i+j,b=6i+2j,1c=i3j,所以一i3j=Xi+j)+K6i+2j),根据平面向量基本定理得X=2,尸一-,所以-：=4.答案：4TTT3. 已知A(2,4),B(3,1),C(3,4).设AB=a,BC=b,CA=c.(1) 求3a+b3c；求满足a=mb+nc的实数m,n.解：由已

28、知得a=(5,5),b=(6,3),c=(1,8).(1) 3a+b3c=3(5,5)+(6,3)3(1,8)=(1563,15324)=(6,42).(2)'/mb+nc=(6m+n,3m+8n),6m+n=5,m=1,解得|3m+8n=5,|n=1.类题通法1向量的坐标运算实现了向量运算代数化，将数与形结合起来，从而可使几何问题转化为数量运算.2两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相同.此时注意方程(组)思想的应用.考点二平面向量基本定理及其应用»师生共研型典例分别为线段1如图，在梯形ABCD中，AD/BC,且AD=3BC,3BA=a,BC=b,试用a,底表示向量解析AD与

29、BC的中点.设EF,DF,CD.¥111=EA+AB+BF=-6b-a+2b=3b-a，DF=DE+EF=6b+3ba=fb-a,CD=CF+FD=1bfba=afb.类题通法用平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决.(2) 在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理.针对训练(2014济南调研)如图，在ABC中,IN=NC,P是BN上的一解析:点，若AP，则实数m的值为ITBP=AB+k(AN+kBN=(1-k)AB+4AC,且TP=m7B24-十11k

30、2所以1-k=m,4=,83解得k=石，m=石.考点三平面向量平仃的坐标表示»师生共研型典例平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).求满足a=mb+nc的实数m,n;若(a十kc)/(2b-a),求实数k；解(1)由题意得(3,2)=m(-1,2)十n(4,1),m十4n=3,所以彳2m十n=2,£m=得n=59,89.(2) a+kc=(3十4k,2十k),2b-a=(-5,2),由题意得2X(3十4k)(-5)X(2+k)=0.1613._题多变在本例条件下，若d满足(d-c)/(a十b),且|dc|=Q5，求d.解：设d=(x,y),d-c

31、=(x-4,y-1),a+b=(2,4),由题意得g42-2y-1=0,l(x-4$+(y-12=5,x=3,x=5,得或y=-1y=3.d=(3,-1)或(5,3).类题通法解析：选ABE=BA+AD+DE=a+b+毎b-ia.1.向量平行的两种表示形式设a=(X1,y”,b=(x2,y2)，a/b?a=?b(b*0):a/b?x2X2y1=0,至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标的应用2.两向量平行的充要条件的作用判断两向量是否平行(共线)，可解决三点共线的问题；另外，利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求出未知数的值.针对训练已知A(1,1),B(3,-1)

32、,C(a,b).(1)若A,B,C三点共线，求a,b的关系式；TT若AC=2AB，求点C的坐标.解：(1)由已知得AB=(2,2),AC=(a1,b1),TTA,B,C三点共线，AB/AC.2(b1)+2(a1)=0，即a+b=2.TT(2)/AC=2AB,(a1,b-1)=2(2,-2).a1=4,a=5,解得ib1=4,|b=3.点C的坐标为(5,3).对应学生用书P68|g|迁移应用练透对点练课堂练通考点TTT1.如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且AB=a,AD=b,则BE=C.B.b+a2.已知向量解析：选Ca=(2,3),b=(-1,2),若(ma+nb)/(a2b)

33、，则R等于()1D.2a2b=(4,-1),由题意得ma+nb=(2m-n,3m+2n)由于(ma+nb)/(a2b),可得(2mn)4(3m+2n)=0,可得m=2，故选c.TTTTTT3. （2013大连沙河口模拟）非零不共线向量OA、OB，且2OP=xOA+yOB，若PAT=XAB（XR），则点Q（x,y）的轨迹方程是（）A.x+y2=0B.2x+y1=0C.x+2y2=0HT解析：选APA=AABD.2x+y2=0”TTTTTTT,得OAOP=XOBOA),即OP=(1+ROAXOB.TTT又2OP=xOA+yOB,x=2+2X消去入得x+y=2,故选A.y=2人4.已知点A(2,1)

34、,B(0,2),C(2,1),0(0,0)，给出下面的结论：直线OC与直线BA平行；AB+£=CAOA+OC=OB;AC=OB-2OA.其中正确结论的个数是（）C.311解析：选C由题意得koc=1kBA=22022112，.OC/BA，正确；AB+BC=AC,错误;OA+OC=(0,2)=OB,正确;OB2OA=(4,0),AC=(4,0),正确.5.（2014朝阳一模）在厶ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点,+jiaC，则入+（1的值为（）A. 11C.1解析：选ATM为边BC上任意一点，TTT可设AM=xAB+yAC(x+y=1).N为AM中点，aN=1aM=2xAB

35、+2ylC=盂+1AC.11入+1=2(x+y)=2*6.（2013保定调研）已知两点A（1,0）,B（1,1）,O为坐标原点，点C在第二象限，且/AOC=135°OC=-oA+入OB（入R），则入的值为解析：由ZAOC=135°知，点C在射线y=x（x<0）上，设点C的坐标为（a,-a）,a<0,1则有（a,a）=（1+人为，得a=1+入一a=人消掉a得）=1答案：1课下提升考能第I组：全员必做题宁咼考）已知点A(1,3),B(4,1),则与向量4D435B.5，54D.(4355,51.(20133A.5AB=（3,4），则与其同方向的单位向量C.-5，AB

36、同方向的单位向量为（）解析：选AAB>1e=|AB>|=5(3，一4)=TTTCD=rAB+sAC，贝Ur+s4B.4解析：选DvCD=2dB,CD=|CB=|(ABaC),2r=2,2s=3,CD=2AB3AC,又CD=rAB+sAC'r+s=0.故选D.3.(2014江苏五市联考)已知向量a=8,劣,b=(x,1)，其中x>0，若(a2b)/(2a+(0,2)(0,2)解析：选Dva在基底p,q下的坐标为(2,2),b)，贝Ux的值为()C.0解析：选Aa2b=82x,*x2,2a+b=(16+x,x+1),由已知(a2b)/(2a+b)，显然2a+0,故有82x

37、,*x2=?(16+x,x+1),入R,82x=入16+x1?x=4(x>0).2x2=入x+14. 创新题若a,3是-一组基底，向量yxa+y3x,yR)，则称(x,y)为向量丫在基底a,3下的坐标，现已知向量a在基底p=(1,1),q=(2,1)下的坐标为(一2,2)，贝Ua在另一组基底m=(1,1),n=(1,2)下的坐标为(A. (2,0)C.(2,0)即a=2p+2q=(2,4),令a=xm+yn=(x+y,x+2y),x+y=2,x+2y=4,即丫x=0,ly=2.a在基底m,n下的坐标为(0,2).5.如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC,BD的交点,N是线段OD的

38、中点，AN的延长线与CD交于点E,则下列说法错误的是TTTAC=AB+AD*T*BD=ADABC.aO=1AB+2AD5AE=3AB+ADB;由向量加法的解析：选D由向量减法的三角形法则知，BD=7D7B,排除排除A、C.PA=(4,3),平行四边形法则知，AC=AB+AD,aO=1AC=1AB+2ad,6.在ABC中，点P在BC上，且BP=27c,点Q是AC的中点，若PQ=(1,5),则BC=.解析：AQ=pQPA=(3,2),TTAC=2AQ=(6,4).TTTPC=PA+AC=(2,7),BC=3PC=(6,21).答案：（6,21）7.(2014九江模拟)P=a|a=(1,1)+m(1

39、,2),mR,Q=b|b=(1,2)+n(2,3),nR是两个向量集合，则PnQ等于解析：P中，a=(1+m,1+2m),Q中，b=(1+2n,2+3n).则1+2m=2+3n.1+m=1+2n,m=12,得$n=7.此时a=b=(13,23).答案：13,23-4TT&已知向量OA=(1,3),OB=(2,1),OC=(k+1,k2)，若A,B,C三点能构成三角形，则实数k应满足的条件是.解析：若点A,B,C能构成三角形，TT则向量AB,AC不共线.TTTAB=OBOA=(2,1)(1,3)=(1,2),TTTAC=OCOA=(k+1,k2)(1,3)=(k,k+1),1x(k+1)

40、-2kM0，解得kM1.答案：kM19.已知a=(1,0),b=(2,1).求:(1)|a+3b|;当k为何实数时，ka-b与a+3b平行，平行时它们是同向还是反向?解：(1)因为a=(1,0),b=(2,1)，所以a+3b=(7,3),故|a+3b|=72+32=58.(2)ka-b=(k-2,-1),a+3b=(7,3),因为ka-b与a+3b平行,所以13(k-2)+7=0,即卩k=3此时ka-b=(k-2,-1)=3-1，a+3b=(7,3)，贝Ua+3b=-3(ka-b),即此时向量a+3b与ka-b方向相反.10.已知点O为坐标原点,A(0,2),B(4,6),OM=t,OA+眾.

41、(1)求点M在第二或第三象限的充要条件;求证：当t1=1时，不论t2为何实数，A,B,M三点都共线.解：(1)OM=t1OA+t2AB=t1(0,2)+t2(4,4)=(4t2,2t1+4t2).4t2<0,当点M在第二或第三象限时，有12t1+4t2M0,=(4t2,4t2+2).故所求的充要条件为t2<0且t1+2t2M0.证明：当t1=1时，由(1)知TTTAB=OB-OA=(4,4),AM=OM-OA=(4t2,4t2)=t2(4,4)=t2AB,A,B,M三点共线."Be=3CD，点O在线段CD上(与第n组：重点选做题1. 在ABC中，点D在线段BC的延长线上，

42、且"41点C、D不重合)，若AO=xAB+(1-x)AC，则x的取值范围是()A.0,1BO,1D.1，I解析：选D依题意，设BO-屈，其中1<则有aOaB+bOAB+XbC=AB+xaCAB)=(1-入AB+xaC.-30，即x的取值范围是3,°.2.设向量a(a1，a2)，b(b1，b2)，定义一种向量积a?b(a1b1，a2b2)，已知向量m2，2，nin，0点P(x，y)在ysinx的图像上运动.Q是函数yf(x)图像上的点，且满足OQm?OP+n(其中O为坐标原点)，则函数yf(x)的值域是.解析：令Q(c,d)，由新的运算可得OQm?OP+n2x，2sin

43、xj+j，0;n12x+3，sinx,冗c2x+亍,1.消去x得dsin12d尹nx，-n，所以y-f(x)|sin易知y=f(x)的值域是112，2aOxAB+(1x)aC，且7B,7C不共线，于是有x1入必记3©知识点忆一忆填一填答案:第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例|j|备考基础查清忆知识|盼误更|總方法对应学生用书P681. 平面向量的数量积平面向量数量积的定义已知两个非零向量a和b,它们的夹角为0,把数量|a|bCosB叫做a和b的数量积(或内积)，记作ab.即卩ab=|a|bCos0,规定Oa=0.2. 向量数量积的运算律ab=ba(2) (闾b=Xab)=a(?

44、b)(3) (a+b)c=ac+bc3. 平面向量数量积的有关结论已知非零向量a=(%,y)b=(X2,丫2)结论几何表示坐标表小模|a|/aaa|=px1+y2夹角nabcos0=|a|b|X1X2+yy2cos0/22/22Vx1+y2Vx2+y2a丄b的充要条件ab=0X1X2+y$2=0|ab|与|a|b|的关系|ab|w|a|b|X1X2+y1y2|w7(x2+y1x2+y2)自必明©易误点I瀆二城试三试1. 若a,b,c是实数，则ab=ac?b=c(a0);但对于向量就没有这样的性质，即若向量a,b,c,若满足ab=ac(a丰0)，则不一定有b=c,即等式两边不能同时约去

45、一个向量，但可以同时乘以一个向量.2. 数量积运算不适合结合律，即(ab)cma(bc),这是由于(ab)c表示一个与c共线的向量，a(bc)表示一个与a共线的向量，而a与c不一定共线，因此(ab)c与a(bc)不一定相等.试一试11. (2013广州调研)已知向量a,b都是单位向量，且ab=2,则|2a-b|的值为解析：|2a-b|=2ab2=-4a24ab+b2=42+1=.3.答案：3TT2. (2013山东高考)在平面直角坐标系xOy中，已知OA=(1,t),OB=(2,2).若/ABO=90°则实数t的值为TAB=0，所以2X3+2(2t)=0,tHHt)，由题意知解析：A

46、B=OBOA=(3,2=5.答案：5目'必会©方法悟二悟练一练1明确两个结论:两个向量a与b的夹角为锐角，则有ab>0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)；两个向量a与b的夹角为钝角，则有ab<0，反之不成立(因为夹角为n时不成立)2利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧.1. 已知向量a,b均为非零向量，(a-2b)丄a,(b-2a)丄b,贝Ua,b的夹角为(An2nC.yAn5nd6解析：选B(a-2b)a=|a|(2013福建高考)在四边形ABCD中,-2ab=0,(b2a)b=|b|2-2ab=0，所以|af=|bf，即|

47、a|1=|b|,故|af2ab=|a2|aflQ$a,b=0,可得5、a,b=2，又因为0wa,b<nn所以a,b=3.IC=(1,2),京=(-4,2)，则该四边形的面积为()10C.5解析：选C依题意得，二誘=1X(-4)+2X2=0,ZAC丄BD四边形ABCD的面积为庆|BD|=討5X.20=5.也I热点命题悟通考什么篙么考|怎么办对应学生用书P69考点一平面向量的数量积的运算A自圭嫌透型1.(2014沧州模拟)已知平面向量a=(x1,y”,b=(x2,y2),若|a|=2,|b|=3,ab=-6.C.5解析：选B由已知得，向量a=(Xi,yi)与b=(X2,y2)反向，3a+2b

48、=0，即3(xi,yi)2+2(X2,y2)=(0,0)，得Xi=|X2,yi=|y2,故X1+y12X2+y232.(2014温州适应性测试)在厶ABC中,若/A=120°7B7C=1,则|BC|的最小值是()A.2C.6解析：选C2=|ACAB|'|BC|min=i'6.D.AB"Ac=1,|AB|"AC|cos120=1，即|AB|AC|=2,琵|222AC2AB-AC+AB>2|AB|AC|27BT.AB-AC=6,Cnn、ifnnCOS4,sin6,e2=2sinq,4cos3,则6e2=解析：由向量数量积公式得e1e2=cosqX

49、2sin;+si4cos|="Z"x,2+-x2=2.446322答案：24. (2013全国卷n)已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点，贝UAEBD=解析：因为11AE=AD+AB,BD=ADAB，所以AE-BD=(AD+-AB)AD)=AD答案：2类题通法向量数量积的两种运算方法(1) 当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即ab=|a|ba,b.(2) 当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a=(X1,y1),b=(X2,y2)，贝Uab=X1X2+y1y2.运用两向量的数量积可解决长度、夹角、垂直等问题，解题时应灵活选择相应公式求解.考点二平面向量数量积的性质»爭维探究型平面向量数量积的性质是高考的重点归纳起来常见的命题角度有:平面向量的模；平面向量的夹角;平面向量的垂直.角度一平面向量的模1.(2013天津高考)在平行四边形ABCD中，AD=1,/BAD=60°E为CD的中点.若T"4AC-BE=1,则AB的长为.解析：由已知得AC=AD+AB,BE=AD1A