第七章实数的完备性

1、第七章实数的完备性教学目的：1.使学生掌握六个基本定理，能准确地加以表述，并深刻理解其实质意义；2.明确基本定理是数学分析的理论基础，并能应用基本定理证明闭区间上连续函数的基本性质和一些有关命题，从而掌握应用基本定理进行分析论证的能力。教学重点难点：本章的重点是实数完备性的基本定理的证明；难点是基本定理的应用。教学时数：14学时§1关于实数集完备性的基本定理（4学时）教学目的：1.使学生掌握六个基本定理，能准确地加以表述，并深刻理解其实质意义；2.明确基本定理是数学分析的理论基础。教学重点难点：实数完备性的基本定理的证明。一确界存在定理：回顾确界概念Th1非空有上界数集必有上确界；非

2、空有下界数集必有下确界.二.单调有界原理:回顾单调和有界概念.Th2单调有界数列必收敛.Cantor闭区间套定理1. 区间套：设/,：是一闭区间序列.若满足条件i >对7,有一二.'，即打：宀亦即后一个闭区间包含在前一个闭区间中；ii >.i|:.即当*:二时区间长度趋于零.则称该闭区间序列为一个递缩闭区间套，简称为区间套.简而言之，所谓区间套是指一个“闭、缩、套”区间列.区间套还可表达为：1-;'-1-；.我们要提请大家注意的是，这里涉及两个数列.和、:,其中.递增，递减.例如；和一都是区间套.但Innk.冲肚.和'都不是.2. Cantor区间套定理：T

3、h3设宀是一闭区间套.则存在唯一的点匚，使对"有二简言之，区间套必有唯一公共点.I'；四.Cauchy收敛准则数列收敛的充要条件1. 基本列：回顾基本列概念基本列的直观意义基本列亦称为Cauchy列.例1验证以下两数列为Cauchy列：飞II"I-'I1-II':,352js-1解：,'-1-'i-71：'|-<09*+1+-+0严<09"*1+09十1-0.9U0.9；岂，易见只要-I'2（科十弓）-111+2«+12w+3当d为偶数时，注意到上式绝对值符号内有偶数项和下式每个括号均为

4、正号有1112n+I2m+32（斥士p）-1f11+f1114411®+12m+3l2m+52wI*0532（川+p）2(w+7?)-52(母4刃_32(w+f)_戈旳十1当口为奇数时1_1:-4r1L2«+12w+3jk2(«+p)-52®+7?)-3J2(冲+7?)-1111加+12«+31i111r1_11L12w+l2m+32甘斗'斗刃72(w斗刃-.2+1综上,对任何自然数P,有X1-1+亠（T严<1<11.2对七12«+32（科4歹）一加41nCauchy列的否定：例2、_二.验证数列r不是Cauchy

5、列.匸1蛊证对K,取二弓吒,有,1111月十1越十2找+趣2島2因此，取1；,2.Cauchy收敛原理：Th4数列一收敛;是Cauchy列.（要求学生复习函数极限、函数连续的Cauchy准则，并以Cauchy收敛原理为依据，利用Heine归并原则给出证明）五.致密性定理：数集的聚点定义设三是无穷点集.若在点.'.（未必属于E）的任何邻域内有丘的无穷多个点，则称点：为三的一个聚点.数集三二.：有唯一聚点:,但£开区间.的全体聚点之n集是闭区间-.；设】-.是一丨_中全体有理数所成之集，易见L.的聚点集是闭区间丨丁丨.1.列紧性：亦称为Weierstrass收敛子列定理.Th5（

6、Weierstrass）任一有界数列必有收敛子列2. 聚点原理：Weierstrass聚点原理.Th6每一个有界无穷点集必有聚点.六.Heine-Borel有限复盖定理：1.复盖：先介绍区间族-I-"'.定义（复盖）设E是一个数集，&是区间族若对.则称区间族复盖了E,或称区间族匸是数集己的一个复盖记为:-丄,；-：L若每个I都是开区间，则称区间族匚是开区间族开区间族常记为定义（开复盖）数集三的一个开区间族复盖称为芒的一个开复盖，简称为丘的一个复盖子复盖、有限复盖、有限子复盖.例3：-：._.-I|.复盖了区间|一，但不能复盖|）；弓-.：十；i-:".复盖丨

7、心-：,但不能复盖一.2.Heine-Borel有限复盖定理：Th7闭区间的任一开复盖必有有限子复盖§2实数基本定理等价性的证明（4学时）证明若干个命题等价的一般方法本节证明七个实数基本定理等价性的路线:证明按以下三条路线进行：I:确界原理=，单调有界原理=区间套定理=Cauchy收敛准则=确界原理n:区间套定理=致密性定理=Cauchy收敛准则；川:区间套定理=Heine-Borel有限复盖定理=区间套定理一. “I”的证明：（“确界原理=单调有界原理”已证明过）.1. 用“确界原理”证明“单调有界原理”：Th2单调有界数列必收敛.证2.用“单调有界原理”证明“区间套定理”：Th3

8、设m是一闭区间套.则存在唯一的点：，使对【吃有:.【令总证系1若:'f<.-是区间套：<:.确定的公共点,则对',I八当三厂时,总有J:J系2若：是区间套匸理二确定的公共点,则有3. 用“区间套定理”证明“Cauchy收敛准则”：Th4数列收敛='-是Cauchy列.引理Cauchy列是有界列.（证）Th4的证明：（只证充分性）教科书P217218上的证明留作阅读现采用3P7071例2的证明,即三等分的方法,该证法比较直观.4. 用“Cauchy收敛准则”证明“确界原理”：Th1非空有上界数集必有上确界；非空有下界数集必有下确界证（只证“非空有上界数集必有上

9、确界”）设己为非空有上界数集当己为有限集时，显然有上确界下设E为无限集，取J不是E的上界,I为上的上界对分区间;，取I仁.炽：，使心不是丄的上界,、为E的上界.依此得闭区间列.验证r为Cauchy列,由Cauchy收敛准则，收敛;同理二.收敛.易见：.设八门.有:;、/人.下证门：工/.用反证法验证.的上界性和最小性.二. “U”的证明：1.用“区间套定理”证明“致密性定理”：Th5（Weierstrass）任一有界数列必有收敛子列.证（突出子列抽取技巧）Th6每一个有界无穷点集必有聚点.证（用对分法）2用“致密性定理”证明“Cauchy收敛准则”：Th4数列/收敛=.,'是Cauch

10、y列.证（只证充分性）证明思路：Cauchy列有界有收敛子列验证收敛子列的极限即为的极限.三. “川”的证明：1. 用“区间套定理”证明“Heine-Borel有限复盖定理”证2. 用“Heine-Borel有限复盖定理”证明“区间套定理”证采用3P72例4的证明.教学目的：能应用基本定理证明闭区间上连续函数的基本性质和一些有关命题，从而掌握应用基本定理进行分析论证的能力教学重点难点：基本定理的应用有界性:命题1/.'.,=在.上F.二T：证法一（用区间套定理）反证法证法二（用列紧性）.反证法证法三（用有限复盖定理）二最值性：命题21在丨叭广I上取得最大值和最小值（只证取得最大值）证（

11、用确界原理）参阅1P226证法二后半段三.介值性：证明与其等价的“零点定理”命题3（零点定理）证法一（用区间套定理）证法二（用确界原理）不妨设令.II,则三非空有界，=巨有上确界设二-,有I二丄_现证：七-,（为此证明j二丄且丄J）.取工-上匸且-；.由/在点匸连续和',，易见有丄=和J.由.=八于是：-=:一:.由.在点I连续和.因此只能有；'.证法三（用有限复盖定理）.四一致连续性：命题4（Cantor定理）证法一（用区间套定理）.证法二（用列紧性）.参阅1P229230证法一参阅1P229230证法二习题课（2学时）实数基本定理互证举例:例1用“区间套定理”证明“单调有界

12、原理”证设数列.递增有上界取闭区间:二，使心不是一的上界，是的上界易见在闭区间:内含有数列|的无穷多项，而在:外仅含有J的有限项对分2:,取，使有Z”:|的性质.于是得区间套,有公共点匚.易见在点：的任何邻域内有数列-,:的无穷多项而在其外仅含有,.：的有限项，=例2用“确界原理”证明“区间套定理”.证门为区间套.先证每个-'为数列鳥'二的下界，而每个为数列的上界.由确；<.界原理，数列':有上确界，数列.有例3用“有限复盖定理”证明“聚点原理”.证（用反证法）设:为有界无限点集，I_.反设一，二的每一点都不是E的聚点,则对7-'._,存在开区间厂.,使在

13、：二:内仅有三的有限个点.例4用“确界原理”证明“聚点原理”.证设为有界无限点集.构造数集1中大于:的点有无穷多个.易见数集三非空有上界，由确界原理，三有上确界.设:I:.则对二三：:,由，-不是巨的上界，=己中大于,-的点有无穷多个；由_是己的上界,=二中大于匚的点仅有有限个.于是,在.訂-：-；'内有土的无穷多个点，即二是丘的一个聚点.实数基本定理应用举例:例5设是闭区间q纠上的递增函数，但不必连续.如果一“，_：一，则厂_“上_,使.（山东大学研究生入学试题）证法一（用确界技术.参阅3P76例10证法1）设集合"I/''./-'：'

14、9;.则一心严，2-不空；T二一一，F有界.由确界原理,F有上确界.设-7,则i>若i-F,有;又厂；"，得匕./'.由，递增和/.,有.<.：'，可见5."由|门，=二.于是,只能有'、；_、.ii>若_“F,则存在P内的数列.:,使“/二、也存在数列,1：，:.:,.由“递增，一匚以及就有式.'，:'.，:对任何址成立令些一：，得二于是有；-证法二（用区间套技术,参阅3P77例10证法2）当_一.或:时，主或打就是方程一一.，.在_“一：-上的实根以下总设1'对分区间|-!宀.，设分点为：.倘有U'

15、;,:就是方程门在一一上的实根（为行文简练计，以下总设不会出现这种情况）若J，,取一-_-;若厂？1-，取i，丄-,如此得-级区间丨：/!依此构造区间套丨,.-,对:,有,由区间套定理,-,使对任何J有'I-',/,/现证-1事实上，注意到"时一/工:和1“以及.递增,就有令'Ji:,得.汽'V.乞于是有.例6设在闭区间.'上函数连续,y；递增,且有1:I：.,L'''.试证明：方程1:L在区间打丨内有实根（西北师大2001年硕士研究生入学试题）证构造区间套二；,使I:.由区间套定理,:,使对，有现证.-：-：-.：.事实上,由二.在一一上的递增性和.的构造以及一j/匕和有-:-=-.注意到.在点_连续，由Heine归并原