向量代数与空间解析几何教案.doc

1、第八章向量代数与空间解析几何第一节向量及其线性运算教学目的：将学生的思维由平面引导到空间，使学生明确学习空间解析几何的意 义和目的。使学生对（自由）向量有初步了解，为后继内容的学习打下基础。教 学重点：1.空间直角坐标系的概念2 .空间两点间的距离公式3 .向量的概念教学难点：1.空间思想的建立2. 向量平行与垂直的关系教学内容：一、向量的概念1 .向量：既有大小，又有方向的量。在数学上用有向线段来表示向量，其长度表示向 量的大小，其方向表示向量的方向。在数学上只研究与起点无关的自由向量（以后简称向 量）。2 .量的表示方法有：a、i、F、0M等等。3 .向量相等a b ：如果两个向量大小相等

2、，方向相同，则说（即经过平移后能完全 重合的向量）。4 .量的模：向量的大小，记为卜卜模为1的向量叫单位向量、模为零的向量叫零向量。零向量的方向是任意的。5 .量平行ab：两个非零向量如果它们的方向相同或相反。零向量与如何向量都平 行。6 .负向量：大小相等但方向相反的向量，记为 a 二、向量的线性运算1 .加减法a b c ：加法运算规律：平行四边形法则（有 时也称三角形法则），其满足的运算规律有交换率和结合率见图7a-42 . a b c 即 a ( b) c3.向量与数的乘法a ：设是一个数，向量a与 的乘积a规定为(1) 0时，a与a同向，| a(2) 0 时，a 0(3) 0 时，a

3、 与 a 反向，|a |a其满足的运算规律有：结合率、分配率。设a °表示与非零向量a同方向的单位向量，那么解：a b AC由于MC又由于 a由于MB2AM ,于是MAMA , 于是M C b BD 2 M D , MD , 于是MB(a b) 2g b)a)(b a)a oan定理1:设向量 ，那么，向量 平行于 的充分必要条件是： 存在唯一的实数a# 0baA使b= a例1：在平行四边形 ABCD中，设AB a , AD b ,试用a和b表示向量M A、M B、M C图7 4和MD ,这里M是平行四边形对角线的交点。（见图75）三、空间直角坐标系1 .将数轴（一维）、平面直角坐标

4、系（二维）进一步推广建立空间直角坐标系（三维）如图71,其符合右手规则。即以右手握住 z轴，当右手的四个手指从正向x轴以一 角度2转向正向y轴时，大拇指的指向就是z轴的正向。2 .间直角坐标系共有 八个卦限，各轴名称分别为：x轴、y轴、z轴，坐标面分别为xoy面、yoz面、zox面。坐标面以及卦限的划分如图72所示。图7 1右手规则演示图7-2空间直角坐标系图图7一 3空间两点M 1M 2的距离图3.空间点M （x, y, z）的坐标表示方法。通过坐标把空间的点与一个有序数组一一对应起来。注意：特殊点的表示a）在原点、坐标轴、坐标面上的点；b）关于坐标轴、坐标面、原点对称点的表示法。4.空间两

5、点间的距离。若M 1(X1 , yi , zi ) > M 2 &2 , y2 , Z2 )为空间任意两点,则M 1M 2的距离（见图73）,利用直角三角形勾股定理为:Im21M 222M 1NINM2pNNMX2所以PNY2Z2yiZ1X2 XI ) 2 (Y2 yi )2(Z2 zi )2特殊地：若两点分别为 M （x, y, z） , o （0,0,0）oM |例1：求证以M 1(4,3,1)、M2 (7,1,2)、（5,2,3）三点为顶点的三角形是一个等腰三角形。2证明：M 1M 27) 2(3I)2(12)214由于例2：坐标。(5(53M7)2I)2(32)24)2(

6、23) 2(3I)2设P在x轴上，它到Pi（0,。2,3）的距离为到点P2（0,1, 1）的距离的两倍，求点P的解：因为P在x轴上，设P点坐标为（x,0,0）PP2-tlPP221211 Vx 2 乘数： a ( ax )i ( a y ) j ( az ) k 或a bQx bx , a y by , az bza b a x bx,&y by, az bza x, a.y, &z 平行：若aW o时，向量b a相当于b a ,即bx , by ,bz ax , a y , z也相当于向量的对应坐标成比例即bihx- -thz_ a x a y &z五、向量的模、方向

7、角、投影设a ax, ay,迎，可以用它与三个坐标轴的夹角、 (均大于等于0,小于等于)来表示它的方向，称为非零向量&的方向角，见图7- 6,其余弦表示形式cos、cos、cos称为方向余弦。1.模a x! ay a zCOSa yCOScos2.方向余弦axM iM 2cosaCOS由性质1知a yazM iM 2M i M 2coscosaacos , >|Z| &a2y a 2z 0 时，有cos 任意向量的方向余弦有性质： cos2 cos2 cos2 1与非零向量a同方向的单位向量为:a 0a-a x, a y, a z cosU lai例：已知两点M(2,2,

8、卢)、M (1,3,0),cos , cos M iM 2同向的单位向量。解：M 1M 2 = (1-2 , 3-2 , o- V2 =-l|1 1 M 2 J( 1)2_12( 五11COS , COS ， cos22_2_3_3 '3 '41,美2 )2622设a0为与M iM 2同向的单位向量, 即得由于 a0 cos ,cos , cos 计算向量MrMp 的模、方向余弦、方向角以及与a0 !，五2 223.向量在轴上的投影(1)轴上有向线段的值：设有一轴u , AB是轴u上的有向线段，如果数满足|aB |,且当AB与轴u同向时是正的，当AB与轴u反向时是负的，那么数

9、叫做轴u上有向线段AB的值，记做AB,即 AB o设e是与u轴同方向的单位向量，则AB eQ)设A、B、C是u轴上任意三点，不论三点的相互位置如何，总有AC AB BC(3)两向量夹角的概念：设有两个非零向量a和b,任取空间一点 0,作0A a ,OB b,规定不超过的A0B称为向量a和b的夹角，记为&，b)Q)空间一点A在轴u上的投影：通过点A作轴u的垂直平面，该平面与轴u的交点A 叫做点A在轴u上的投影。(5)向量AT在轴u上的投影：设已知向量勺起点A和终点B在轴u上的投影分别为点A'和B 那么轴u上的有向线段的值A'B,叫做向量AB在轴u上的投影，记做Pr Ju

10、AB o2.投影定理性质1：向量在轴u上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角的余弦:Pr ju AB AB cos性质2：两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影的和，即Prju （ai a2 ） Pr Jai Pr ja2性质3：向量与数的乘法在轴上的投影等于向量在轴上的投影与数的乘法。即Pr 1 （ a）Pr ja小结：本节讲述了空间解析几何的重要性以及向量代数的初步知识，引导学生对向量（自由向量）有清楚的理解，并会进行相应的加减、乘数、求单位向量等向量运算，空间直角坐标系（轴、面、卦限），空间两点间距离公式。 本节介绍了向量在轴上的投影与投影定理、向量在坐标轴上的分向量与向量的

11、坐标（注意分向量与向量的坐标的区别）、向量的模与方向余弦的坐标表示式等概念。作业:第二节数量积向量积教学目的：让学生搞清楚数量积与向量积的概念及其应用，掌握向量平行、垂直等重要的结论，为空间曲面等相关知识打好基础。教学重点：1.数量积、向量积的概念及其等价的表示形式2.向量平行、垂直的应用教学难点：1 .活学活用数量积、向量积的各种形式2.向量平行与垂直的相应结论教学内容：一、数量积：a）定义：a ba|b cos ,式中 为向量a与b的夹角。b）物理上：物体在常力F作用下沿直线位移s,力F所作的功为W F sos其中为F与s的夹角。c）性质：I . a a I 1II .两个非零向量 &am

12、p;与b垂直a b的充分必要条件为：a b 0III . a b b aIV .3 b) c a cb cV .( a) c 3 c)为数d)几个等价公式：I .坐标表示式：设 a ax, a y, az , b bx,by,bz则a b axbxa yby &zbzn .投影表示式：a b|a pr ja b b| Pr jb aHI.两向量夹角可以由cose) 例子：已知三点 M (1,1,1)、A (2,2,1) fn B(2,1,2)，求 AM B提示：先求出向量MA及MA ,应用上求夹角的公式。二、向量积:a)概念：设向量c是由向量a与b按下列方式定义:sn的模|ajb|si

13、，式中 为向量a与b的夹角。c的方向垂直与a与b的平面，指向按右手规则从 a转向bo注意：数量积得到的是一个数值，而向量积得到的是向量。b)公式：cab两个非零向量a与b平行a b的充分必要条件为：a b 0(a b)c)(a) cc)(a c)为数几个等价公式:I .坐标表示式:b (b ,b ,b 则d)解:a b 3 ybz&zby ) i (a z b xa xbz ) j3x by a ybx )kII .行列式表示式:例子：已知三角形4x &ybx byABC的顶点分别为: A (1,2,3)三角形ABC的面积。S根据向量积的定义，ABCbzAB AC sin由于

14、AB = 2,2,2 , AC1,2,4、B (3,4,5)和 C 4,7)，求1 1«» -|AB AC2因此 AB AC 2 2 24i6 j 2k1AC1于是S ABC -2（注意共线、小结： 向量的数量积（结果是一个数量）向量的向量积（结果是一个向量）共面的条件）作业：第三节平面及其方程教学目的：介绍最简单也是非常常用的一种曲面一一平面，平面是本书非常重 要的一节，本节让学生了解平面的各种表示方法，学生在学习时领 会各种特殊位置平面的表示方法，会求出各种位置上的平面，了解 平面与其法向量之间的关系。教学重点：L平面方程的求法2. 两平面的夹角教学难点：平面的几种表示

15、及其应用教学内容：一、平面的点法式方程1 .平面的法线向量定义：垂直于一平面的非零向量叫做平面的法线向量。平面内的任一向量均与该平面的法线向量垂直。2 .平面的点法式方程已知平面上的一点M (x ,y, z)和它的一个法线向量 r 1，对平面上的任 ooo on A, B ,C )一点M (x, y, z),有向量M o M n,即n M o M 0代入坐标式有：A (x xo ) B (y yo ) C (z zo ) 0 此即平面的点法式方程。例 1：求过三点 M 1 (2, 1, 4)、M 2(解：先找出这平面的法向量n , n M i M 2 M i M 33 42 3 由点法式方程得

16、平面方程为14 (x 2) 9 (y 1) (z 4) 0(1)1, 3, 2)和M 3 (0, 2, 3)的平面方程。5 14i 9 j k1二、平面的一般方程任一平面都可以用三元一次方程来表示。平面的一般方程为：Ax By C z D 0几个平面图形特点：1) D=0：通过原点的平面。2) A=0：法线向量垂直于x轴，表示一个平行于 x轴的平面。同理：B=o或c = o：分别表示一个平行于 y轴或z轴的平面。3) A=B=O：方程为C z D 0 ,法线向量0,0, C,方程表示一个平行于 xoy面的 平面。同理：AX D 0和By D 0分别表示平行于yoz面和xoz面的平面。4)反之：

17、任何的三元一次方程，例如:5x 6 y 7z 11 0都表示一个平面，该平面的法向量为n 5,6, 7)例2：设平面过原点及点(6, 3, 2),且与平面4x y 2z 8垂直，求此平面方程。解：设平面为Ax By C z D 0 ,由平面过原点知D 0由平面过点(6,3, 2)知6 A3B2C0,n 4, 1,2 4A B2C0AB -2 C3所求平面方程为2 x 2 y 3z 0三.两平面的夹角定义：两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角。设平面AixBiy C 1 z D 10 ,2 ： A2 x B2y C 2 z D 2 0m Ai,Bi ,Ci , n2 A2 ,B2 ,C 2 按

18、照两向量夹角余弦公式有:Ai A2 B 1 B2 C iC 2 ICOS /=/二VA1 2 Bl2 Cl 2 V A22 b2 2 C 2 2三、几个常用的结论设平面1和平面2的法向量依次为m Al 和n2 A2,B2,C 21）两平面垂直：Ai A2 BiB2 CiC 20 （法向量垂直）2）两平面平行：1 1 卜2 B2c 2（法向量平仃）yo 0, zo 2,即直线上点坐标(1,0, 2)3）平面外一点到平面的距离公式：设平面外的一点Po （xo , yo , zo ）,平面的方程为Ax By Cz D 0,则点到平面的距离为 d Rxo B yo C zo DVa2 b 2 c 2例

19、3：研窕以下各组里两平面的位置关系:(1) x 2 y z 1 0,y 3z 1 0(2) 2x y z 1 0,4x 2y 2z 1 0(3) 2x y z 1 0,4x 2 y 2z 2 0解：(1) cos1V (I) 2 22( 1) 2 < I2 32 、6O两平面相交，夹角2114221 M (1,1,0)2211422两半向半仃m 2, 1,1 , n2 4,2, 2两平面平行M （1,1,0）两平面平行但不重合。（3）M (1,1,0) 1 M (1,1,0)2所以两平面重合小结：平面的方程三种常用表示法：点法式方程，一般方程，截距式方程。两平面的夹角以及点到平面的距离公

20、式。作业：第四节空间直线及其方程教学目的：介绍空间曲线中最常用的直线，与平面同为本章的重点教学重点：1 .直线方程2.直线与平面的综合题教学难点：L直线的几种表达式2.直线与平面的综合题教学内容：一、空间直线的一般方程空间直线可以看成是两个平面的交线。故其一般方程为：A1 x B1 y C i z D i 0A2X B2Y C2Z D2 0二、空间直线的对称式方程与参数方程平行于一条已知直线的非零向量叫做这条直线的方向向量。已知直线上的一点M & ,y ,z）和它的一方向向量，设直线上任一点为oooos （m , n, p）M 6, y, z）,那么M 0 M与s平行，由平行的坐标表示

21、式有：xo y yo z zo mnp此即空间直线的对称式方程（或称为点向式方程）。（写时参照书上注释）如设X xo y yo z zotmn p就可将对称式方程变成参数方程（t为参数）x xo m ty yo ntz zo pt三种形式可以互换，按具体要求写相应的方程。例1：用对称式方程及参数方程表示直线X y z 102x y 3z 4 0解:在直线上任取一点（xo , yo , zo ）,取xo 1 yo zo 2 0解得yo 3zo 6 0因所求直线与两平面的法向量都垂直取s m n2 （4, 1, 3对称式方程为:2参数方程:1 4tt 例2一直线过点 A3,4）,且和y轴垂直相交，

22、求其方程解:因为直线和y轴垂直相交，所以交点为B （0, 3, 0）s BA 2,0,4,所求直线方程:3 z 4_ 两直线的夹角4两直线的方向向量的夹角（通常指锐角）叫做两直线的夹角。设两直线Li和L 2的方向向量依次为sim 1 , m , pi fn S2 m 2 , n2 , P2 ,两直线的2 3t夹角可以按两向量夹角公式来计算cosm im 2 nm2 pi P22221 nr Pl222m2 n2 P2两直线L1和L2垂直:m i m 2 ni n2Pl P2o （充分必要条件）两直线Li和L2平行:m i m pi（充分必要条件）例3：求过点（3, 2,5）且与两平面x 4z3

23、和2xV 5z 1的交线平行的直线方程解：设所求直线的方向向量为s m,n, p,根据题意知直线的方向向量与两个平面的法向量都垂直，所以可以取 sni r)2x 3 4, 3, 1所求直线的方程4三、直线与平面的夹角当直线与平面不垂直时,直线与它在平面上的投影直线的夹角(0-）称为直线2与平面的夹角，当直线与平面垂直时，规定直线与平面的夹角为设直线L的方向向量为sm , n, p,平面的法线向量为n的夹角为，那么sh|Am Bn C p|Va2 b2 c 22 n2 p2直线与平面垂直:_S A_ B _CAm Bn C p 0(Aix B i y(A2 x B2 y(4i3 (x2)1)3)

24、3 2 13 一， 70X0(x y z1)1)0 (1)x (1(1)1(1)12.旋转曲面的方程2°2 - 4 13,3)z3)706_ 2, 1,4)7。面的方程0教学难点:教学内容:旋转曲面、曲面方程的概念1.实例：水桶的表面、台灯的罩子面等,曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹。2.曲面方程的定义：如果曲面S与三元方程(1)F (x, y, z) 0有卜述关系:（1） 曲面S上任一点的坐标都满足方程（1）（2） 不在曲面S上的点的坐标都不满足方程（1） 那么，方程（1）就叫做曲面S的方程，而曲面S就叫做方程（1）的图形。3.几种常见曲面（1）球面 例1：建立球心在M o

25、 （xo , yo , zo ）、半径为R的球面的方程。解：设M o &o , yo , zo ）是球面上的任一点，那么M oM即:J (x xo )2(y yo )2(z zo )2或：(x xo )2 (y yo )2 (z zo )2 R 2特别地：如果球心在原点，那么球面方程为(讨论旋转曲面)x2 y 2 z2 R 2(2)线段的垂直平分面(平面方程)例2：设有点A (1,2,3)和B 2, 1,4),求线段AB的垂直平分面的方程。解：由题意知道，所求平面为与A和B等距离的点的轨迹，设M (x, y, z)是所求平面上的任一点，由于 M A | | M B ,那么t222 I2

26、22、xl y 2 z 3、x2 y 1 z 4化简得所求方程2x 6 y 2z 7 0研究空间曲面有两个基本问题：(1)已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程。(2)已知坐标间的关系式，研究曲面形状。旋转曲面定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面，旋转曲线和定直线依次叫旋转曲面的母线和轴。 二、旋转曲面的方程设在坐标面上有一已知曲线，它的方程为yozCf ( y, z) = 0把这曲线绕 z轴旋转一周，就得到一个以 z轴为轴的旋转曲面，设M 1 (0, yi, zi )为曲线C 上的任一点，那么有 f ( y , z ) = 0( 2)1 1当曲线 绕 轴旋转时，

27、点也绕 轴旋转到另一点，这时 =4呆持不变，且C zM zM (x, y, z) z z点到轴的距离M zd&_y-2 I yil将z】=z, yi Vx2 y2代入(2)式，就有螺旋曲面的方程为f （2 y 2 , z） 0旋转曲面图绕哪个轴旋转，该变量不变，另外的变量将缺的变量补上改成正负二者的完全平方根的形式。常用旋转曲面：锥面（直线绕直线旋转，两直线的夹角（0° < <90。）,方程为：z 2 a2 （x 2 y 2 ）其中a cot三、柱面1 .定义：平行于定直线并沿曲线定曲线C移动的直线L形成的轨迹叫做柱面。定曲线C：准线动直线L：母线2 .特征：x,

28、 y, z三个变量中若缺其中之一（例如 y）则表示母线平行于 y轴的柱面。 3：几个常用的柱面：b）圆柱面：x2 y2 R 2 （母线平行于z轴）c）抛物柱面：y2 2x （母线平行于z轴）四、二次曲面1、定义：三元二次方程表示的曲面叫做二次曲面2、截痕法用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加 以综合，从而了解曲面的全貌，这种方法叫做截痕法。3、几种特殊的二次曲面1.椭球面方程为x2 z2；2Mli使用截痕法，先求出它与三个坐标面的交线:222二.二1又上x 22-22a b a cz 0y 022_z i22，这些交线都是椭圆。再看这曲面与平行b cX 0于坐标面的平面的交线：椭球面与平面Z1的交线为椭圆xy 2a2 22 b£ 22（ |zi C ）,同理与平面x XI和y yi的交线也是椭圆。c 2 fcZ1） C2（c zi）Z Zl椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化。可知其形状如右上图所示。抛物面例：椭圆抛物面方程为2X y 2 Z （ P与q同号）2p 2q其形状如右图所示。旋转抛物面方程为2p 2p双曲抛物面（鞍形曲面）方程为z （ P与q同号）2 p 2q当p>0, q >0时，其形状如图所示。2.双曲面单叶双曲面方程为双叶双曲面方程为各种图形注意规律特点，可以写出其它的方程表达式。小结：曲面方