抛物线及其标准方程教案及教学设计与说明

1、抛物线及其标准方程教学设计与说明焦作市第十一中学刘士祥抛物线及其标准方程教学设计教材：北师大版高中数学选修 2-1第三章第二节第一课时授课教师： 焦作市第十一中学刘士祥教学目标：1 .知识与技能理解抛物线的定义；掌握抛物线标准方程的求法，以及抛物线四种形式和p的几何意义。2 .过程与方法通过本节课的学习，使学生经历从具体情景中抽象出抛物线几何特征的过程；巩固圆锥 曲线的研究方法，以及推导抛物线方程所用的坐标法。进一步体会方程思想，数形结合思 想，分类讨论思想在数学中的应用.3 .情感态度与价值观感受抛物线是刻画现实世界中较多事物的曲线， 激发学生学习数学的兴趣和研究问题的 热情。教学重难点：重

2、点：抛物线的定义；p的几何意义；抛物线标准方程及应用。难点：抛物线定义的形成过程；如何建系求抛物线的标准方程。教法与学法：以“引导启发”式为主导，教师是课堂教学的组织者与引导者，突出学生的主体地位。以小组合作学习形式，结合探究过程与设置的思考问题，让学生在自主思考、合作交流中探究新知识。教学手段：多媒体辅助教学、实物投影、几何画板演示。教学过程：一、提出问题，课堂引入【课件投影】问题1.我们知道，二次函数的图像是一条抛物线，你能发现我们身边的抛物线吗?设计意图：通过学生回答和图片展示，使学生对抛物线有感性认识，引发学生思考，让学生体会到“抛物线在生活中有广泛的应用”，激发学生学习抛物线的兴趣。

3、紧接着提出一个实际问题：“农夫取水”【课件投影】“农夫取水”问题word范文水井一块田地旁有一条小河，田里有一口水井，水井到小.河有一定的距离，假设小河和水井内者韬足够的水，本着就近取水的原则,请在田吵印像一个边界，使得位于边界一侧的点到小河里取水，位于1的点到/K,处取水。；，一 5二一 ,设计意图：问题本身来源于生活，有很强的现实性和趣味性，在教师叙述结束后试图激活 学生的思维，课堂上气氛一定会更加热烈，引人入胜；同学们一定会表现得跃跃欲试，很 想一探究竟。该怎么画呢？师生互动把“农夫取水”问题转化为数学模型：问题2:农夫取水问题：如图：直线l表示一条小河，定点F表示一口水井，点F到直线l

4、 的距离为定值p （p>0）,本着就近取水的原则，所作边界上的点应该到点 F的距离等于到直 线l的距离。二、合作交流，探究新知1、探究问题【课件投影】问题3:边界上的每一点M应当具有什么特征？问题4:大家能做出一个这样的M点吗？问题5:如何做出一般的M点？（介绍画法）问题6:所有的M点组成的点集是什么曲线？（抛物线）设计意图：通过问题用引导学生探究。这一部分目标是探究抛物线的定义，分成了 3个小部分：1.得出边界上的点的特征，并初步确定一个边界上的 M点（问题4,问题5）。2.师生合作得出一般M点的画法。3.通过作图与几何画板来呈现M点构成的图形。（1）每一个环节都试图让足够多的学生参与

5、进来。试图引导学生在多角度全方位的思考后在脑海中形成|MF d的动点M的画法和曲线特征。这一切都是他们自己主动参与探究的结果，让学生体验探究的成功与收获。（2）环节与环节之间环环相扣，层层深入。教师循循善诱，步步为营，将探究过程一点一滴推进，从而加强学生的科学精神的培养和思维严谨性的锻炼。最后利用几何画板将点M组成的集合呈现出来，再从更高的感性上来认识抛物线。体现出螺旋上升的教学过程，为下一步更高的理性认识一一抛物线定义做好铺垫。在学生探究点集组成什么曲线时， 教师不断地强调M满足MF| d的几何特征，这是抛物线的本质属性，也是抛物线定义的核心。2、形成概念通过几何画板动画演示，让学生试图给抛

6、物线下定义。【课件投影】抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线L （1不过F）的距离相等的点的集合叫作抛物线。定点F叫作抛物线的焦点，定直线L叫作抛物线的准线。至此，对抛物线的认识已经上升到了理性认识，接着又提出问题8问题8:定义中为什么要求直线1不过定点F?如果点F在直线1上，轨迹又是什么？（引发学生思考，学生回答：过点 F且垂直1的一条直线）设计意图：使学生深入认识抛物线的定义，重视定义中的条件。到此教学难点1完全突破。3、深化探究下面转到教学难点2-抛物线方程的求法问题9:请同学们回忆椭圆的标准方程推导的方法与步骤是什么呢？（学生回答）建系，设点，列式，坐标化，化简，检验设计意图：

7、回忆前面所学知识，做好知识准备。问题10: “农夫取水”问题中所得的抛物线开口向右，焦点到准线的距离为常数P（P>0）,求此抛物线方程时，如何建立坐标系呢？（学生分组思考交流）教材只给出了一种建系方式，但学生了解建系的基本方法，所以在建系时可能不只一种为了体现学生的主体地位，这里先让学生建系，教师再汇总学生的结果，得出三种建系方案，并用投影仪展示.然后把全班学生分成三组让学生求出三种建系情况下的方程，为标实物投影学生推导结果比较，选择最优。设计意图：让学生亲身经历抛物线方程的推导过程，加强学生对坐标法的认识，培养学生主动学习，合作学习的精神，有利于难点的突破。4、建立方程【课件投影】方程

8、y2 = 2Px (p>0)叫作抛物线的标准方程。其中焦点p的几何意义：焦点到准线的距离。(强调利用数形结合的思想理解 p的几何意义)般地，我们把顶点在原点、焦点 F在坐标轴上的抛物线的方程叫作抛物线的标准方程 5、适度拓展【课件投影】 问题11: 一条抛物线在坐标系中的位置不同，则方程也不同.顶点在原点，焦点在坐标轴上的抛物线还有其他形式吗？( 引发学生思考，交流得出，还有三种形式学生观察图形，交流总结得出相应结论，并总结记忆规律：一次项定轴，正负定方向设计意图：培养学生观察、类比、概括的能力，突出抛物线方程和焦点、准线的内在联系，有利于学生知识的掌握。学生在探究问题 11时，可能会利

9、用图象变换的方法来解决，这样体现了在解析几何中数与形的密切关系，进一步掌握数形结合的思想。三、学以致用，巩固提高1、例题讲解【课件投影】例1.根据下列条件求抛物线的标准方程：3(1)已知抛物线的焦点坐标是F(2,0) ;(2)已知抛物线的准线方程是x 2例2.已知抛物线的焦点在x轴正半轴上，焦点到准线的距离是 寸万，求抛物线的标准方程、 焦点坐标和准线方程.学生独立完成，教师作简单分析，然后让学生看教材，注意解题过程的书写格式设计意图：引导学生善于看教材，重视教材上的例题，规范学生解答题的过程。例3.求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：2_2_2_yx (2)y 4x(3)4y 3x(投影学生做

10、题情况，并让学生试着总结方法)学生总结思路：第1步：将抛物线方程化为标准形式；第 2步：求出手的值；第3步：确定焦点位置，画出草图；第4步：求出焦点坐标和准线方程设计意图：题目的设计由易到难，层层深入。通过对解题方法的总结，使学生形成解题技能，提高解题能力。2、巩固练习【课件投影】1 .求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：(1)y 4x2(2)y2 4x学生总结思路：先将抛物线方程化成标准形式，数形结合求出焦点坐标和准线方程。2 .根据下列条件求抛物线的标准方程：(1)焦点 F (-1,0 )(2)准线：y=2学生总结思路：先定型，再定量.由焦点位置或准线方程确定抛物线的形式，然后求出p的值。设

11、计意图：当堂检测，反馈效果，总结方法，提升解题能力，感受成功的喜悦思维升华【课件投影】求顶点在原点，经过点p(4,2),且焦点在坐标轴上的抛物线的标准方程.设计意图：满足层次较高学生的学习要求，渗透数形结合的思想和分类讨论的思想。3、回顾反思【课件投影】1.知识内容：(1)抛物线的定义：平面内与一个定点 F和一条定直线L(l不过F)的距离相等的点的集合叫作抛物线。定点F叫作抛物线的焦点，定直线L叫作抛物线的准线。(2)抛物线的标准方程：焦点在轴正半轴 ：占八、焦点在轴正半轴:轴负半轴:(3) p的几何意义：焦点到准线的距离。2.学习中用到的数学思想和方法：(1)类比的思想；(2)数形结合思想；

12、(3)分类讨论思想;(4)坐标法；(5)待定系数法。设计意图：回顾本节课所学知识，加深印象。4、作业设置：必做题，选做题，思考题【课件投影】必做题：教科书76页A组2, 3, 4选做题：(1)求过点A(3,2)的抛物线的标准方程.(2)求对称轴为x轴，抛物线上的点(m, 8)到焦点的距离等于17的抛物线的标准方程思考题：二次函数y ax2 (a 0)的图像是抛物线，它是抛物线标准方程吗？它的焦点坐标和准线方程是什么？设计意图：分层设置，满足不同程度学生的需要。将二次函数的图像与本节所学抛物线对比联系，使学生形成完整的知识体系。抛物线及其标准方程教学设计说明教材：北师大版高中数学选修 2-1第三

13、章第二节第一课时授课教师：焦作市第十一中学刘士祥一、教学内容的本质、地位、作用抛物线及其标准方程是北师大版教材高中数学选修 2-1第三章第二节第一课时的 内容。本章主要研究抛物线的定义、图像，标准方程，以及它们在实际生活中的简单应用。通过本节课的学习，学生不仅能掌握抛物线的几何特征，定义和标准方程，为后面学 习抛物线的性质及其在实际问题中的应用打好基础。而且有助于学生观察分析能力与抽象 概括能力的培养，对学生进一步理解坐标法和数形结合思想有很好的作用，也进一步巩固 了圆锥曲线的研究方法。二、教学目标分析根据新课程标准要求，结合新课程理念教材特点以及学生的认知情况，我制定了如下教 学目标：1 .

14、知识与技能(1)理解抛物线的定义；(2)掌握抛物线标准方程的求法；(3)抛物线四种形式；(4) p的几何意义。2 .过程与方法通过本节课的学习，使学生经历从具体情景中抽象出抛物线几何特征的过程；巩固圆 锥曲线的研究方法，以及推导抛物线方程所用的坐标法。进一步体会方程思想，数形结合 思想，分类讨论思想在数学中的应用。3 .情感态度与价值观感受抛物线是刻画现实世界中较多事物的曲线，激发学生学习数学的兴趣和研究问题 的热情。培养学生抽象概括和类比迁移的能力，增强学生主动探索的意识、自主思考的习惯与合作探究的团队精神数学教学中应该以知识为依托，以思想方法为核心，以提高学生的能力素质为目的。根据教材的特

15、点、学生身心发展的合理需要，本节课在知识与技能上只要求学生了解圆锥 曲线的共同特征及其简单应用，适度拓展了圆锥曲线的统一定义，要求学生能够熟练运用 直接法和定义法求解曲线方程。本节课的难点是抛物线标准方程的探索。所以，在探究过 程中，结合学生的知识储备与认知能力，通过巧妙的问题设置，让学生亲身参与探究抛物 线标准方程的过程，经历观察、发现、猜想、探索、归纳的科学探索过程，渗透“从特殊 到一般，再从一般回到特殊”的科学研究方法，鼓励学生在自主思考、合作交流中学习新 知识。在学生学习过程中，强化数学思想方法的运用，培养学生的数学思维能力。三、教学问题诊断及措施1 .教学中需要注意的几个问题(1)本

16、节课的学习要运用到前面所学知识，要提前做好知识准备；(2)在探索抛物线定义和标准方程的过程中，注意思考的严谨性；(3)强调说明定直线不过定点。2 .所采取的措施(1)在引入课题时，通过与实际生活相联系，激发学生学习的兴趣；(2)在对抛物线定义的探究过程中，先通过学生之间讨论、交流、实验、让学生教学 生，然后教师作出解释；在探究抛物线的标准方程时，让学生自己主动参与到推导过程当 中，实现学生的主体地位，让学生体验成功的喜悦；(3)借助几何画板演示，形象直观的给予说明。四、教法特点及预期效果分析1 .教法特点课程标准强调：要在课堂教学中突出学生的主体地位，注重学生的自主、合作、 探究。为了实现这一

17、教学理念，结合本节课特点，以“引导启发”式为主导，本课设计了 三个认知层次：一、课堂引入，提出问题；二、合作交流，探究新知；三、学以致用，巩 提高。探究过程分为五个环节：探索发现一一大胆猜想一一深入探究一一得出结论一一 深度拓展。认知层次层层深入，探究过程环环相扣，顺利的完成了教学目标。课堂教学中，教师是课堂教学的组织者和引导者，突出学生的主体地位，鼓励学生积 极参与教学活动。在教师的组织和引导下，学生通过动手实践、独立思考、自主探索、合 作交流等方式，经历了知识的生成过程，享受了成功的愉悦。通过创设适当的问题情境， 引导学生在行为和思考上积极、主动的参与，激发了学生的学习兴趣，师生之间、生生之 间保持了有效的互动。教学中，随时发现、肯定学生的闪光点；同时，结合学生暴露出的 思想或方法上的问题，给予适时点拨。利用多媒体