第十一章机械系统动力学

1、第十一章 机械系统动力学11-1 11-1 概述概述 机械系统动力学（machinery dynamics）是研究机械系统再外力作用下的运动和机械在运动中产生的力，并从力与运动的相互作用的角度进行机械的设计与改进。 机械系统中常见的动力学问题有： 1.机械振动如由于惯性力的不平衡，外载荷的变化以及系统参数的变化而引起的机械振动，消除振动的方法：机械的平衡，改进机械本身的结构，采用主动控制等。 2.机械的运动状态稳定运行状态，瞬时状态，如机械的启动、停车、意外事故。 3.机械的动态精度考虑构体的变形，运动副间隙等对机械运动的影响。 4.机械系统的动载分析主要指由于构件惯性力引起的运动副动反力计算

2、。 5.机械系统的动力学设计包括驱动部件的选择，构件参数设计，机械惯性力平衡。 6.机械动力学性能的主动控制。机械动力学的核心问题是：建立机械系统的运行状态与其内部参数、外界条件之间的关系，从而找到解决问题的途径，它是机械性能设计的重要部分，尤其在高速和高精密机械中，动力学性能的分析和设计是不可缺少的。解决动力学问题的一般过程： 1.根据机械系统的组成和所需解决的问题，简历系统动力学模型； 2.运用基本的力学原理和方法建立系统的动力学方程，即系统的数学模型； 3.运用数学方法和工具求解动力学方程； 4.用实验装置或数字仿真方法检验所设结果，分析结果的合理性和模型的正确性。 机械系统的力学模型要

3、根据系统本身的结构和动力学研究的目的而定。组成不同，动力学模型不同，同一种机械用于不同的研究目的，模型也可能不同（如是否考虑构件的弹性，机械系统运动速度的高低等）。 机械系统的动力学模型一般包括以下几个部分：输入系统的主动力、系统自身固有的参数和系统的状态参数。 建立机械系统的力学模型应考虑的因素有：系统本身的结构，动力学研究目的。建立机械系统动力方程的原理与方法：系统的动力学方程又称机械系统的运动学方程，就是建立系统的输入，系统的参数与系统的状态三者之间的关系的数学表达式。通常是微分方程，所用的力学原理主要有牛顿第二定律、达朗贝尔原理、拉格朗日方程、凯恩方程等。 牛顿第二定律：1.质点的动力

4、学方程：amFmadtdvmdtmvddtdM)(M质点动量 m质点质量F作用力 a加速度2.作平面运动的刚体动力学方程：ssJMamF达朗贝尔原理：0)(0)(ssJMamF或00MF（刚体外力（矩）与惯性力（矩）处于平衡状态）外力矩量刚体绕质心轴的转动惯刚体质心加速度刚体质量MJamss拉格朗日方程：（具有完全理想约束的有N个广义坐标的系统）rrrrQqUqEqEdtd)(r=1,2,3，.N个广义坐标第系统势能rrqU该方程实际上是一个由N个方程构成的方程组。上述原理与方程在解决比较复杂的系统时较为麻烦，其中达朗贝尔原理会将系统内无功的约束力包含在方程中，要消除他们相当繁琐；拉格朗日方程

5、需要建立动能势能表达式，且要进行微分运算，也麻烦。个广义坐标的广义力对第系统动能rrQE 凯思方程：是将主动力和惯性力都转化到广义坐标中，它们在广义坐标中也同样应用达朗贝尔原理，表达式为：01)*(1)(MmrmPPrPFFP个主动力对第r个广义坐标的广义力之和M个惯性力对第r个广义坐标的广义惯性力之和11-2 刚性机械系统动力学刚性机械系统动力学对系统的简化：（1）认为刚体是绝对刚体，不考虑构件的弹性变形；（2）不考虑运动副间隙，认为运动副密切接触；（3）不计构件尺寸的加工误差，认为构件尺寸完全准确；（4）不考虑运动副中摩擦的影响。一、单自由度机械系统的动力学模型1231建立每个构来描述，转

6、角和构件中的坐标系用质心在坐标构件的运动可杆机构，每个的单自由度四对于如图所示iiiyxxoy),(件的动力学方程，由于各构件之间的约束力包含在方程中，所以该方法较为繁琐。 对于该单自由度系统，由于各构件的运动均可由主动件的运动确定，即可把主动件的转角 定义为广义坐标，应用拉格朗日方程建立系统的动力学方程，其方程数量只有1个，即：11111)(MqUqEqEdtd1.系统的动能： 设系统有m个活动构件，则系统的总动能miisisisiiJyxmE122221“.”表示对时间的导数所以的函数，即都是广义坐标、由于)()()(xxx111sisi1siqqyyqqyiisisiisi1111111

7、si11111111111si)()(x)()()()(xqdqqdqydqqdyqdqqdxqdqqdqdqqdyyqdqqdxiisisisiiisisisi称为类速度。、式中111111)()()(dqqddqqdydqqdxisisi则上述动能方程式为：，或，表示表示构件号，表示，其中设类速度用yxkiuki211112221122221212qJEJuJumumJuJumumqEeemiiiyiixiiemiiiyiixii则叫做等效转动惯量令之前确定。可以在动力学分析果得出，因此们可以由运动学分析结的绝对值无关，它与于类速度对于单自由度系统，由11ekiJqu 一般情况下，当系统中

8、存在周期性运动的构件时， 是机构位置的函数， 实质是在动能相等的前提下，把系统的各构件质量（转动惯量）等效为一个构件（等效构件），并将广义坐标与其固结，它可以是转动构件，也可以是移动构件。1eJ1eJppLLLLypypxpxpwMvFvFqM1111个外力矩，则力和个外。若在构件上作用有时，广义力矩为当广义坐标为广义力矩的计算LP. 211MppLLLLypypxpxpuMuFuFM111式中相应类速度。、作用构件的角速度；外力矩方向的分量；着力点在在、方向的分量；作用外力在、pypxpLLypxpypxpuuuMwyxvvyxFF,微分，得，将构件动能，可以略去）势能况下，构件重量产生的械

9、系统，一般情的情况下（对于刚体机在不考虑系统势能变化动力学方程21121. 3qJEe112111121111111111121qeqeeqeeeddJqqEddJqdtqdJdtdqddJqdtqdJqEdtdqJqE所以原拉格朗日方程变为：微分方程单自由度系统的动力学111211121MddJqdtqdJqee也可以写成：)21(1)21(1112111111121111qeeqeeddJqMqJdqdddJqMJdtqd或单自由度刚体机械系统的力学模型如下图：11w1eJ或1F1em11vs、等效构件为定轴转动构件等效构件为移动构件上述模型又称为单自由度机械系统的等效动力学模型拉格朗日方

10、程：)21(1)21(121222dsdmvFvmdsdvdsdmvFmdtdvFdsdmvdtdvmeeeeeeeee或3.等效动力学模型 由上图可知，单自由度机械系统的动力学问题最终转化为一个等效构件的动力学问题。该等效构件可以是做定轴转动的构件，多以驱动构件为之，也可以是做直线运动的构件。，等效力要参数有等效质量对于直线运动构件：主（广义力矩）。，等效力矩参数有等效转动惯量对于转动构件：其主要eeeeFmMJ它们的确定遵循： 等效构件所具有的动能等于系统的全部动能 等效力矩（或力）所的功率应等于整个系统中所有外力、外力矩所产生的功率之和。所以有：等效构件为转动构件时：)cos(cos21

11、21111221222wwMwvFMwMvFwMwwJwvmJwJvmwJiiniiiieniiiiiieniisisiieniisisiie等效转动惯量等效力矩同理，等效构件为移动构件时：)cos(1122vwMvvFFvwJvvmmiiniiiieniisisiie等效质量等效力。和等效力矩动惯量为等效构件时的等效转以构件，求上的力矩为，作用在行星架模数行星轮的质量为动惯量分别回转轴线上，它们的转构件的质心均在其相对各轮齿数分别为图示行星轮系，已知各举例：eeHHMJmmMmmmkgmmkgJmkgJJzzz140H102,16. 0,01. 0,60,201.222213211OHOHM

12、2O，得：由行星轮系传动比计算）（即得：根据功率等效的原则，）求等效力矩解：（1111wwMMwMwMMHHeHHee）（其中2)0(4131311313113wwwzzwwwwwwiHHHHH)(104140) 1 ()2(相同方向与得：代入将HeMmNM41231212112232322321221212212222222112122wwwwzzwwwwwwiwvmwwJwwJJJvmwJwJwJwJHHHHHHOHHeOHHe又由2112ww：根据动能等效原则，得）求等效转动惯量（eJ222210275. 0412 . 0216116. 04101. 001. 02 . 022mkgJw

13、wzzmveHHO133331wwMMwMwMrr。和等效转动惯量阻力矩试求在图示位置的等效为等效构件，若取曲柄上的阻力矩计；作用在导杆动惯量均忽略不，其他构件的质量和转的转动惯量对轴，导杆图示导杆机构，已知ercABJMmNMmkgJmml1103016. 0C330,90,100. 23231rM）求解：（ 113P14P34P133M由速度瞬心法，可得：)(5 . 241104133413141313同向与MmNMPPPPwwr)(是位置的函数和等效erJM222132321001. 0)41(016. 0)(21212mkgwwJJwJwJJcecee）求（2O2O2)(2121112

14、22222122222112122OOHHeevmvmwJwJwJwJwJJ为等效构件）（以齿轮）求解：（2122121221)(2)()(22wvmwwJwwJJJOHHe为多大？的制动力矩周内停止转动，求应加求系杆在，要动器制动齿轮时停止驱动，同时用制当系杆惯量分别为心的转动，各转动构件绕各自中装，行星轮重，对称安轮数目为标准齿轮传动，行星、，轮，模数轮齿轮如图所示轮系，已知各THHMsradwmkgJmkgJJmkgJkgmmmmmzzz11/10002. 0,01. 0,005. 0102K2110100,37,25. 322222121321由行星轮系可得：1856351376337

15、100151411212232322311313113wwwwwwzzwwwwwwiwwzzwwwwwwiHHHHHHHHHHHHHOwwzzmv31. 0)(2212222085. 05131. 010225102. 01856301. 02005. 0mkgJeTM）求制动力矩（2twJJMeeT1sradwsradwsradwH/500,/500/10011时，当设系杆1周内停止转动的时间为t，则102521/500, 0121111，其中ttwsradwwtwwOOmNMtT38.33810250500085. 025010解得：21421321421221)()()()(1424wv

16、mwvmwwJwwJJJJSBSee）求解：（。和等效力矩上的等效转动惯量置时等效到齿轮求图示位上的阻抗力矩杆驱动力矩上的，作用在轮点质心在的质量杆的质量，构件转动惯量分别为：的齿数分别为和图示机构，已知齿轮eeSCSACABMJmNMmNMSkgmkgmmkgJmkgJmkgJmlmlmlzz1.254,41)(24,5 . 0302. 0,0025. 0,001. 0,2 . 0,15,3 . 0,1 . 0,40,2021. 4414432222142144065. 039sin75sin51:sin15sin25242524PPPPlABCABCllABACAB解得：解得跟符号没有关系

17、其中：212112zzww由瞬心法，求得：1M1O24P4S45P44M25P2222222144524252424003668. 0146132 . 02211 . 05 . 01461302. 0410025. 0001. 01 . 0146137313365. 0065. 0mkgJwwlvwwPPPPwweABB4422 . 04wwlvCSSmNwwMMMMee77. 114613254)()2(1441求规律。），求后续的真实运动速度，初始角的起始角位置件（如构件惯量），运动的初始条的转动绕质心是构件绕回转轴的转动惯量，是构件中，其、，构件的转动惯量、的质量、部参数（如构件的变化规

18、律，系统的内力及滑块上承受的工作阻动力矩上的驱在构件柄压力机，若已知作用动规律。如：已知一曲用下的真实运一：研究系统在外力作机械系统动力学问题之统的等效动力学模型（一）单自由度机械系00211323112132122wSJJJJmmFMSS1w1M2S03F对于该系统，首先必须建立系统外力与运动参数之间的函数表达式，即系统动力学方程，又称机械系统的运动方程式。建立方程的方法：（1）较为简单的，根据动能原理：机械系统在某一瞬时总动能的增量等于在该瞬时内作用于该系统上所有外力所做的元功之和，即233222221133112121212122vmvmwJwJddtvFdtwMdEdWSS展开得：（2

19、）较为通俗的，采用拉格朗日方程：rQqUqEqEdtd上述两种方法，所建立的运动方程包含了机构中所有的力及各构件的运动参数，而且各构件的运动参数都是未知数，所以求解非常困难，为此将系统简化。简化的结果：为一个做定轴转动的构件或一个做直线移动的构件，统称等效构件。图为：eMweJeFvem等效的原则：（1）等效前后总动能不变； （2）等效前后所有力或力矩所做的功或者产生的功率之和不变。必须满足：或者等效力矩力）、等效（或等效转动惯量质量为此，等效构件的等效)(eeeeMFJm等效构件为定轴转动构件：)2(coscos) 1 (212121111221222niiiiiieniiiiiieniiS

20、SieniiSSiewwMwvFMwMvFwMwwJwvmJwJvmwJiiii等效力矩功率不变等效转动惯量总动能不变等效构件为移动构件：niiSSiewJvmvmii1222212121)4(coscos)3(11122niiiiiieniiiiiieniiSSievwMvvFFwMvFvFvwJvvmmii等效力等效质量经过这样简化以后，原机械系统的动力学问题就转化为一个等效构件的动力学问题，如上述曲柄压力机的真实运动规律研究，演变为：以曲柄为等效构件的真实运动规律研究。（二）运动方程的建立与求解对于等效构件，其能量形式的运动方程式可写成：21212121)2(21212121) 1 (2

21、2222122212212211221程式又称微分方程的运动方或程式：力矩或力形式的运动方或程式又称积分形式的运动方dtdvmddmvFdtdwJddJwwJddMwJddMdEdWvmvmdSFwJwJdMEWeeeeeeeeeeeSSeeeeeeeeeeeeeeJMdtdwdtdwJMwwtJMmFJM方程，得：，应用微分形式的运动，时，为常数，设初始条件：、例，即构件为定轴转动构件为常数，以等效简单的情况，等效量为解的方法也不同，较为变化的不同，求、效量上述微分方程，随着等求解：000dtJMdwtteeww00eeeeteeJMtJMtwwdttJMww0200021真实运动规律的变化

22、关系）随转角（这是动方程式，设：如果应用积分形式的运wJMwwwwJdMeeee)(2)(2102020200020002000202222211)(00wJMwMJtJMwMJttdJMwdtdwdtdtdwtwweeeeeeeeeett得的关系，则根据若要表示)0(0t02002eeeeJMwwtJMeeeeeeJMtJMwwtJMtw00202 ddJwMwJddwddJwMJdtdwdtdwJddJwMwwtJJMMmFJMeeeeeeeeeeeeeeeee2220021121121,0)(,或方程式，应用微分形式的运动时，设初始条件仍然为：件为例，即等效构件为定轴转动构是机构位置的函

23、数，以，效量较为复杂的情况，如等 表示为变量的函数，如用一定是以其中fddJwMwJeee2211 000001110dwttdwdtdwdtdtdwwtwwwwwwdfdwdfdwttww得出：的关系，则进一步根据写成若要把的函数关系，写成一定是得出则 的形式）（该式一定是tt ).(),()(ttwwt的形式，进一步可得反函数即可写成如果应用积分形式的运动方程式，则可写成：00000111)()()(2)()()(21)(2102002002dwttdwdtdtdwdtdtdwwwdMJwJJwwJwJdMtteeeeeee、前面相同，即的形式，其后的过程与显然上式也是)()()()(tt

24、wwttt总之，上述求解过程中均会对函数进行积分，如果积分函数能以解析式的形式表达，则等效构件的真实运动规律可以函数关系表达，如果积分函数不能以解析式的形式表达，则需要应用数值法求解（如欧拉法，二阶（或者四阶）龙格-库塔法等等）。的运动规律。机轴，求起吊重物过程中电惯量虑重物在内的等效转动坐标，考，以电机轴转角为广义为在电机轴上的等效力矩，起吊重物，。设起重机未吊重物时时，时，时，特征点确定：如物线方程可有其上三个为抛物线的一部分，抛曲线，设机的机械特性如图所示起重机专用三相异步电例举例：201100/10010/100100/521450. 1mkgJmNsradwmNMsradwmNMsr

25、adwmNMwwMe0101. 0,3404. 01452cbacwbwaMd，得：特征点的坐标代入方程，将三个为函数解：设电机的驱动力矩wweetteeeeeeeeerderddwJwMdtdwJwMdtJwMdtdwddJddJwdtdwJwMJwwMMMmNMwwM0011222)()()(021)(10101. 03404. 0451000101. 03404. 0145得：）（其中程：根据微分形式的运动方）（等效转动惯量是常数数）（等效力矩是速度的函其等效力矩取电机轴为等效构件，上的等效阻力矩由于起吊重物在电机轴即)() 1(0202. 07311. 10503. 10934. 14

26、50101. 04)3404. 0(4)4(4242ln41)4(4242/1000)211. 10501. 10202. 07311. 10202. 0(ln719. 0934. 13404. 00202. 0934. 13404. 00202. 0ln934. 110101. 03404. 045211. 13908. 1211. 13908. 12222222222001001200轴的运动规律这就是起吊过程中电机上式中：，（查积分表）ttwwweewacbbaccacbbaxacbbaxacbbaccbacbaxarctgbaccbxaxdxsradwtwwwwdwwwtt力矩与驱动力

27、矩相等。，此时，阻时的角速度运动曲线可知：电机轴稳定由sradwtw/521212122122112sinarcsin2sincos)(4)(lllllswettwacbMMwttwJere的角位移：连杆：分析可知：滑块的位移机，由机构的运动学器，如前述的曲柄压力如果机械系统时一台机稳定变化。前面的系数也发生变化，且前的系数中，则中的常数项，重量加大，则稳定不变；若起吊重物，前的系数中，则动惯量加大，即？：若传动系统的转的函数也一定是的复杂函数一定是，可见将上述关系式代入此式为等效构件，则若以构件113112132122121122112111221121112211122112)()()(1

28、)coscoscoscos()coscossinsin(cossincoscos222222eceecsSeBSysBSxscMwvFMMJwvmwvmwwJJJwllllvwllllvwlvwllw规律。，试分析主动件的运动，列，设初始条件为作阻力矩，列于表中第为等效到主动件上的工，其中的变化规律为所示，等效力矩列化的数值如表中第动惯量随主动件位置变设一牛头刨床的等效转数值法举例：用数值方法。式，此类问题的求解常难得出精确的解析表达的求解十分复杂，很因此其微分运动方程sradwtMmNMwMMddJwMwJddwrreeeee/5004)(10005500321100012111112345

29、60034.07895.000.00011533.98124.560.05523033.68254.800.11034533.17974.630.1652/ )(mkgJe)/(mNMr/ )(1/swist /12345646032.47274.800.22057531.8854.800.27469031.21055.900.323710531.11375.190.370812031.61815.430.419913533.01855.140.4691015035.01795.250.5191116537.21505.190.5691218038.21415.340.6191319537.2

30、1505.430.6681421035.01575.490.7161522533.01525.450.7641624031.61325.420.8121725531.11325.380.860)(eJ)(rMwti6719. 13819. 0521289-5341)21(13819. 02618. 0349 .332897895100055002618. 015360220520005001100weeeeeeweiiiddwddJwMwJddwwddJMddJmNMradddwwwddwww得：代入和、将其中则公式，有解：用欧拉方法的迭代速度波动的程度。曲线，了解该机械数据，还可绘制根据数值法计算所得的，及，便可计算出相应的，依次取wttwwiswwtsradw,.32105476. 05623. 400. 522618. 0)(21/5623. 42618. 06719. 1532321011授课体系：个广义坐标第拉格朗日方程：机械系统动力学建模：r)(rrrrrqQqUqEqEdtd个广义坐标的广义力对第rrQ变化而变化。均随原动件运动参数的、其中即：之和，为所有活动构件的动能，系统的动能对于单自由度机械系统），移动滑块的位移变量，如曲柄转角坐标（即原动件的位置