大物习题第5章机械波

1、第 5 章机械波5.1 基本要求1理解描述简谐波的各物理量的意义及相互间的关系 .2理解机械波产生的条件掌握由已知质点的简谐振动方程得出平面简谐波的波函数的方法.理解波函数的物理意义.理解波的能量传播特征及能流、 能流密 度概念.3了解惠更斯原理和波的叠加原理.理解波的相干条件，能应用相位差和波程差 分析、确定相干波叠加后振幅加强和减弱的条件4理解驻波及其形成。5了解机械波的多普勒效应及其产生的原因5.2 基本概念1.机械波机械振动在弹性介质中的传播称为机械波，机械波产生的条件首先要有作机械振 动的物体，即波源；其次要有能够传播这种机械振动的弹性介质。它可以分为横波和纵波。2. 波线与波面 沿

2、波的传播方向画一些带有箭头的线，叫波线。介质中振动相位 相同的各点所连成的面，叫波面或波阵面。在某一时刻，最前方的波面叫波前。3.波长 在波传播方向上， 相位差为 2 的两个邻点之间的距离称为波长， 它 是波的空间周期性的反映。4.周期 T 与频率 一定的振动相位向前传播一个波长的距离所需的时间称为 波的周期，它反映了波的时间周期性，波的周期与传播介质各质点的振动周期相 同。周期的倒数称为频率，波的频率也就是波源的振动频率。5. 波速u单位时间里振动状态(或波形)在介质中传播的距离。它与波动的 特性无关，仅取决于传播介质的性质。6. 平面简谐波的波动方程在无吸收的均匀介质中沿 x 轴传播的平面

3、简谐波的波 函数为AZ X 2、y Acos( t m x )_x或y Acos (t m )u其中，“-”表示波沿 x 轴正方向传播；“ +”表示波沿 x 轴负方向传播。波函数是 x 和 t 的函数。给定 X,表示 x 处质点的振动，即给出 x 处质点任意时 刻离开自己平衡位置的位移；给定 t，表示 t 时刻的波形，即给出 t 时刻质点离 开自己平衡位置的位移。7波的能量 波动中的动能与势能之和，其特点是同体积元中的动能和势能相11 2等。任意体积元的dWP=dWk dW dVA2 2sin2( t x )228平均能量密度、能流密度 一周期内垂直通过某一面积能量的平均值是平均 能量密度，用

4、W表示。单位时间内，通过垂直于波传播方向单位面积的平均能量，叫做波的能流密度，用 I 表示。1T12 2WUTS 12 2其中wwdtA，Iwu A uT02TS29波的衍射 波在传播过程中遇到障碍物时，其传播方向发生改变，并能绕过 障碍物而继续向前传播，这种现象称为波的衍射(绕射)。10.波的干涉 几列波叠加时产生强度稳定分布的现象称为波的干涉现象。产生波的相干条件是：频率相同、振动方向相同、相位差恒定的两列波的叠加。加强和减弱的条件， 取决于两波在相干点的相位差21r2r12n-，2knk 0,1,2,.时，合振幅达到极大AmaxAA2，称为干涉相长2k 1nk 1,2,3 振幅为极小，A

5、AA2，称为干涉相消。11驻波 它由两列同振幅的相干波在同一直线上沿相反方向传播时叠加而成。2n驻波方程： y 2Acos 一 xcos t。12. 半波损失 波由波疏介质行进到波密介质，在分界面反射时会形成波节，相 当于反射波在反射点损失了半个波长的过程。13. 多普勒效应 因波源或观察者相对于介质运动，而使观察者接收到的波的频 率与波源的振动频率不同的现象。5.3 基本规律1惠更斯原理 介质中波动传到的各点均可看做能够发射子波的新波源，此后 的任一时刻，这些子波的包迹就是该时刻的波前。据此，只要知道了某一时刻的波面， 就可用几何作图的方法决定下一时刻的 波面。 因而惠更斯原理在很广泛的范围

6、内解决 了波的传播问题。 下面通过球面波的传播来说 明惠更斯原理的应用。如图 5-1 所示，t 时刻 的波面是半径为 R 的球面 Si,按惠更斯原理， S 上的每一点都可以看成发射子波的点波源。以 Si面上各点为中心，以 r u t 为半径作半 球面，这些半球面就是这些新的子波的波前，它们的包络面 S2就是(t+ t)时刻的波面。2多普勒效应 当观察者和波源之间有相对运动时，观察者所测到的频率R和波源的频率s不相同的现象称为多普勒效应 当波源与观察者在同一直线上运动时，二者关系为u:机械波在介质中的传播速度Vs:波源相对于介质的速度VR:观察者相对于介质的速度为观察者接近波源时，VR前取“+”

7、号，远离时，则取“-”号；波源朝向观察者运动时，VS前取“-”号，远离时，则取“ +”号。5.4 学习指导1 重点解析下面将讨论本章的习题分类及解题方法：(1)已知波动表达式求有关的物理量，如振幅、周期、波长、质元间的相位差uVRRS。u mvs图 5-1通常采用比较法，即将已知的波动表达式与标准的波动表达式进行比较，从而找出相应的物理量；也可以根据各物理量的关系，通过运算得到结果。（2）已知波动的有关物理量，建立波动表达式基本步骤如下：（a）由题给条件写出波源或传播方向上某一点的振动表达式。（b）在波线上建立坐标后，任取一点 P,距原点为 x，计算出 p 点的振动比已知点 的振动在时间上超前

8、或落后。设超前或落后的时间为t ，将原振动表达式中t加上或减去 t,即得该波的表达式。也可计算出 P 点振动相位比已知点超前或 落后，设超前或落后相位为 x，则将原振动表达式中的相位加上或减去 x。注意：超前为加，落后为减。为方便起见，有时常把波线上的已知点选为坐标原 点。（3）已知波形曲线，建立波动表达式从波形曲线上确定有关的物理量。 如波长、 振幅等， 特别要注意从曲线上确定某 点 （如原点）的振动相位，这可用旋转矢量法或解析法确定，然后写出该点的振 动表达式，再根据传播方向写出波动表达式。例 1 已知一平面波在 t=0s 时的波形曲线如图 5-2 所示，波沿 x 轴正向传播，已知波的周期

9、 T 3s.求（1）该波的波函数；（2）点 P 处质元的振动方程。分析：首先要选一个参考点，如坐标原点，求出该点处质元的振动方程，因此必须求出振动的特征量 A、。然后由图中；L：ii信息求出波长或波速，再根据波的传播方向， 写出波函数。将 P 点 x 坐标值代入波函数即可 求 P处质元的振动方程。解：选坐标原点为参考点，由图可知振幅A 4 102m， T 3s ， 则圆频率2Trad s波沿 x 轴正向传播，显然V00，利用旋转矢量法，画出 t=0 时刻对应的旋转矢量图如图 5-3 所示，则-,于是原点处质元的振动方程为3图 5-232厶y 4 10 cos(- t )m为求波函数，要求出波长

10、或波速u。2 2先设波函数为 y 4 102cos( t x )m33由波形曲线可知 t=0 时刻，x=0.4m 处，y 4 102m,代入波函数41024 102cos( 0.4 -)得 1.2m)m3(2) P 点 x=0.8m 代入波函数即可求 P 处质元的振动方程是y 4 102cos(- t )m33(4)波的干涉和驻波波的干涉问题主要是计算相干波在空间各处相遇是增强还是减弱， 这可通过二者 相位差或波程差来确定。驻波问题中，波腹和波节的位置是计算问题的重点， 而 写出反射波是关键。例 2 两波在一根很长的弦线上传播，其波动方程分别为所以波函数为y 4Wo吟53x节点位则有：x汕?)

11、你20,1,2,3L )324yi4.00 10 cos( x324y14.00 10 cos( x38 t)8 t)求(1)两波的频率、波长、波速(2)两波节叠加后的节点位置(3)叠加后振幅最大的那些点的位置2解：(1)与标准的波动方程 y Acos( t m x)比较可得:频率 4Hz、波长1.50m、波速u6.00m so3则有：x k (k 0,1,2,3L )4(5)多普勒效应求解多普勒效应问题时，首先要分析波源和观察者的运动情况， 以便应用不同公 式进行处理。 应特别注意公式中符号规则。 对于有反射面的情况， 反射面相当于 一个“观察者”，分析反射波时相当于一个“波源”。2 难点释

12、疑疑难点 1.如何理解驻波，“半波损失”。两列振幅相同、振动方向相同、频率相同的相干波沿相反方向传播时， 就叠 加形成驻波。其表达式为：2n2n2n,y Acos( t x) Acos( t x) 2Acos xcos t波节位置：x(2 k 1) (k 0,1,2,L)4波腹位置：x (k 0,1,2,L )2相邻两波节或波腹之间的距离为，相邻波节间各点振动同相位，波节两侧-范2 2围内媒质的振动相位差为n。驻波没有能量和相位的传播，这就是驻波中“驻”字的含义。但不断进行着动能和势能的相互转换，以及能量从波节到波腹和从波腹到波节的转移。半波损失是指波由波疏介质进入波密介质时， 在反射点处，反

13、射波与入射波叠加 形成波节。相对于入射波，反射波相位突变n,相当于出现了半个波长的波程差。疑难点 2.波动过程任一体积元的机械能不守恒理想的谐振动系统是一个孤立系统， 在振动过程中，质点受保守力作用，系统的动能、势能相互转换，总机 械能保持不变。波动过程中，虽然质元也在做简谐振动， 但质元振动的动能和势能却同时达到最大，同时减小变 为零,和谐振动系统有着明显的不同。在学习过程中，很 多学生感到很困惑，这是学习中的一个难点。问题的关键是要理解势能产生的原 因：具有形变因而产生势能。从图 5-4 中可明确看到，质元在最大位移处几乎没图 5-4有形变，在平衡位置处形变最大，故势能最大5.5 习题解答

14、5.1 一平面简谐波在弹性媒质中传播时，某一时刻在传播方向上介质中某质元在 负的最大位移处，则它的能量(A)动能为零，势能最大(B)动能为零，势能为零(C) 动能最大，势能最大(D) 动能最大，势能为零解析：正确答案(B)介质中某质元的动能表达式dWk- dVA2 2sin2( t x)，质元的弹性势21 2能dWp- dVA2 2si n2( t x )，所以在波动传播的介质中，任一体积元的动能、势能均随 x,t 作周期性变化，且变化是同相位的。体积元在平衡位置时, 动能、势能和总机械能均最大。体积元的位移最大时，三者均为零。y = 0.1cos(3 t x+ ) (SI) t = 0 时的

15、波形波动方程的一般表达式是2y Acos( t x-,对应的相位差是45.2 一平面简谐波的波动方程为曲线如图所示，则O 点的振幅为0.1m(A)(B)波长为 3m(C)a、b 两点间相位差为/2波速为 9m/s(D)解析：正确答案(C)，对比所给波动方程可知：各个质点的振幅都是0.1m，波长2m，角频率3 rad s1，所以波速u - 3ms123m s1。a、b 两点间距离差是2n2n, n ,rrad rad。425.3某平面简谐波在 t = 0.25s 时波形如图所示,则该波的波函数为(A) y0.5cos4 (t8)cm2y(cm)(B) y0.5cos4(t8)2cm0.5一u=8

16、cm/st=0.25s/ 一 / ,(C) y0.5cos4 (tx)2cmOV/x(cm)(D) y0.5cos4 (t8)2cm习题 5.3 图解析：正确答案 (A)波动方程的一般表达式是y Acos (t -)，由图可知，uA=0.5cm ,u 0.08m s1,所以 x 前系数取负值。t=0.25s 时，y 0,Vo0,此时的相位是一2已知条件代入方程可得：2x所以，波的波函数为 y 0.5cos4 (t ) cm8 25.4 一余弦波沿 x 轴负方向传播，已知 x=-1m 处振动方程为y Acos( t )，若波速为u,则波动方程为xx 1(A) yAcost一(B)y Acos t

17、uu(C) yAcostx 1(D)八x 1y Acos tuu解析： 正确答案 ( C)沿 x 轴负方向传播的波动方程的一般表达式是y Acos (t -)，本题中ux=-1m 处的相位是 t，相位差与波程差之间的关系是2nr r，可u知任意 x 处的相位比 x=-1m 的相位多一(X 1)，所以任意 x 处的相位是uX 1 t (x 1) (t )。uu5.5 频率为 100Hz,传播速度为300m s1的平面简谐波，波线上距离小于波长的两点振动的相位差为n,则此两点相距解析：正确答案(A)r，本题中100Hz，u300 m s1,u 300 门 m 3m。 r 1002n5.6 两列相干

18、波沿同一直线反向传播形成驻波，则相邻波节间各质点的振动(A) 振幅相同,相位相同(B) 振幅不全相等，相位相同(C) 振幅相同,相位不同(D) 振幅不全相等,相位不同 解析：正确答案(B)驻波方程为 y 2Acos2nxcos t，因此根据其特点，两波节间各点运动振幅不同,但相位相同。5.7 在波长为入的驻波中，两个相邻波腹之间的距离为3(A);(B) -(C) (D)424解析：正确答案(B)驻波方程为y 2Acos2xcos t，波腹处质点就满足条件是：cos-2nx 1，kx(k 0,1,2 丄)相邻波腹间的距离是波长的一半，为 -。5.8 一机车汽笛频率为 750 Hz，机车以时速 9

19、0 公里远离静止的观察者，观察者听到的声音的频率是(设空气中声速为340m s1)(A)810 Hz (B)699 Hz (C)805 Hz (D)695 Hz。解析：正确答案(D)本题是多普勒效应的应用，机车汽笛是一个声源，观察者静止。所以观察者听到的声音的频率可用公式：R丄如S340 25750Hz 695Hz。选(D)u3405.9 t=0 时刻波形曲线如左图所示，此时 a 点运动方向 _ ，b 点运动方向 _ ，坐标为 x 的质点振动曲线如右图所示时，则 a时刻运动方向 _ ，b 时刻运动方向_。(A)1.5m(B)2.19m(C)0.5m(D)0.25m相位差与波程差之间的关系是32

20、nm 1.5m。习题 5.9 图解析：-y, + y, + y,-y本题给出了两个很相似的曲线图，但本质却完全不同。求解本题要弄清波动图和 振动图的不同的物理意义。左图是波形曲线，由波型状态和传播方向可知，a 点运动方向是沿 y 轴负向，b 点运动方向是沿 y 轴正向。右图是振动曲线，由曲线和 传播方向可知，a 点运动方向是沿 y 轴正向，b 点运动方向是沿 y 轴负向。5.10 一横波波函数为 y 0.5cos (200t 10 x) -m,则频率 =_ ，波长 =_,_ 初相0= _ 。解析：100HZ,0.2m,-22波动方程的一般表达式是 y Acos( t m 一 x )，对比将已知

21、波的表达式，可知频率=100HZ,波长 =0.2m,初相0=25.11 波相干的条件是解析：两列波相干的条件是频率相同、振动方向相同、相位差恒定。25.12 频率为 500Hz 的波，其波速为350ms1，相位差为- 的两点间距离3为_。解析：0.23m相位差与波程差之间的关系是本题中500Hz，u350m 0.7m。5000.7 27m m。2n3305.13 沿 x 轴正向传播的波，波速为2m s1，原点振动方程为y0.6cos( t)，试(1) 此波的波长。(4m)波函数。同一质元在 1s 末和 2s 末这两个时刻的相位差（nrad）xA1m,xB1.5m处两质元在同一时刻的相位差 解析

22、：（1）由原点的振动方程知，振动周期T=2s .所以此波的波长是uT 2 2m 4m（2）由原点的振动方程可得波函数 y0.6cost仝u0.6cost 舟(SI)2（3）同一质兀在两个时刻的相位差为t(rad )（4）波线上两点在同一时刻的相位差为ux 20.5(rad)(rad)4B 点比 A 点滞后。5.14 一横波波函数为 y 0.5cos 4 tx2 ，求：（1）振幅、波长、频率和初相位（2）x=2m处质点在 t=2s时振动的位移传播方向上时间间隔为 1s 的两质点的相位差解析：（1）将给定的方程化为y 0.5cos（4 t 2 x ）2与标准形式的波动方程 y Acos（ t 一

23、x ）比较，可得4振幅 A=0.5m,波长 1m，角频率4 rad s1，频率Hz 2Hz，2 2初相位rad（2）把 x=2m t=2s 代入波函数，可得振动的位移2y 0.5cos 420.5m。25.15 波源位于坐标原点向 x 轴正方向发射一横波，周期 T=1s,波长 =10m 振幅A=0.5m,当 t=0s 时刻波源振动位移恰好为正方向最大值， 求：(1)波函数;(2)ti=0.25s 时，x=2.5m 处质点位移；(3)t2=0.5s 时，x=2.5m 处质点的振动 速度。2解析：波函数动方程一般形式是 y Acosf t x )，要求波函数只要求振幅、波长、角频率和初相位(2)t

24、1=0.25s 时，x=2.5m 代入波函数，即可得质点位移原点的振动方程为 y0Acos(500 t )(SI)距离是两个波长。对应的相位差是24 rad(1)振幅 A=0.5m 波长 =10m 角频率2_亍2 rad s1，当 t=0s 时刻波源振动位移恰好为正方向最大值，可知此时对应的的相位是0，即是初相位。波函数是 y0.5cos(2 t x)(3)t2=0.5s 时,y 0.5cos(2 t x) 0.5cos(25x=2.5m 处质点的振动速度02552.5)m 0.5m5.16如图所示为_yt0.5x0,t2 sin(2 t?x)平面简谐波在t=0 时刻的波形图，设此简谐波的频率

25、为250Hz,且此时质点 P 的运动方向向下，求(1)该波的波动方程。(2)在距原点为 100m&质点的振动方程的表达式。解析：由 P 点的运动方向，可判定该波向左传播。对坐标原点处质元，t=0 时的位置，有y。Acos ，v00，所以2rad33波动方程为y0Acos(500 t五x3)(S|)(2)在距原点为 100m 处质点的振动方程是 y Acos(500 t )(SI) 35.17 如图所示为平面简谐波在 tT时的波形曲线，求该波的波动方程解析：设 x=0 处质元的振动方程是y Acos( t )2TT由图可知：A=0.1m,u 165 (rad s1) , t 时，y0Ac

26、os( )0，44速度方向为+y 方向，T 3_423T24原点处质元的振动方程是y 0.1cos(165 t )(SI)该波的波动方程为 y 0.1cos(165 t -x )(SI)5.18 一平面简谐波以 u=0.8m-1的速度沿 x 轴负方向传播。已知距坐标原点x=0.4m 处质点的振动曲线如图所示。试求：(1) x=0.4m 处质点的振动方程(2)该平面简谐波的波动方程(3)画出 t=0 时刻的波形图i0.05 r/mx=0.4 m0/ 0.5/ L0f/s-0.05解析:程是y 0.05cos(2 t)m(2)沿 x 轴负方向传播的平面简谐波的波动方程的表达式2y Acos( t

27、x波动方程可写成习题 5.18 图(1)振动方程的表达式 xAcos( t )，由图可知振幅 A=0.05mT=1S,角频率2 rad s1，t=0sT时，位移是正的最大可知初相位所以振动方其中 A=0.05m 角频率22 rad s1，波长u T 0.8 1m0.8m，所以y 0.05cos(2 t由 x=0.4m 处质点的振动方程可知，当 t=0s,8x5x=0.4)mx=0.4m 代入波动方程可得相位表达式2080.450.640.64波动方程是y 0.05cos(2 t 8(3) t=0 代入波动方程可得 y 0.05cos(8x 0.64 )mx 0.64 )m。图略5.19 一平面

28、波在介质中以 u 沿 x 轴正方向传播，已知 A 点振动方程y Acos t，A、B 两质点相距为 d，XA0)2-k 1,2,3,K ,2h解析：沿 ox 轴传播的波与从x22r2（2）hx代入干涉加强的条件，有X、2, 2r 2也）hAB 面上的 P 点反射来的波在 x 处相遇，两波的波程k 1,2,L习题 5.25 图B25.26 如图，一角频率为，振幅为 A 的平面简谐波沿 x 轴正方向传播。设在 t=0时该波在原点 0 处引起的振动使介质质点由平衡位置向 y 轴的负方向运动。M 是垂直于 x 轴的波密介质反射面。已知 007，P01（为该波波长），设44反射波不衰减，求：（1）入射波

29、与反射波的表达式；（2）P 点的振动方程。1L .W2 一0尸习题 5.26 图2解析：平面简谐波的波动方程的表达式y Acos（ t 一 x），对于入射波，x前系数取负号，反射波取正号。题目已知条件是：t=0 时该波在原点 0 处引起的振动使介质质点由平衡位置向 y 轴的负方向运动，由旋转矢量法可知相位是 一，22即是初相位， $。入射波表达式是 y Acos（ t 一 x ）。入射波在 O 点的相位是 t -t 3，由于 M 是垂直于 x 轴的波密介质2 2反射面，波是从波密媒质反射回波疏媒质，在反射点反射时有相位n的突变。 反射波的相位是 t 3t 22设反射波的表达式是 y Acos（

30、 t 一 x ），则 t 时刻，反射波在 0点的相位入射波在 P 点引起振动表达式是7-_2XL7- 42XL比较以上反射波 O 点的相位的两个表达式，可得152，所以反射波的表达式是 yAcos( t2）（2） P 点的振动是入射波与反射波在P 点引起振动的合成yiAcos( t2）Acos( t5）Acos( t2反射波在 P 点引起振动表达式是y2Acos( t)Acos( tAcos( t )所以 y y1y22Acos( t )5.27 驻波波函数为y 0.02cos 20 xcos750t(m)，求(1) 形成此驻波的两行波的振幅和波速各为多少？(2) 相邻两波节间的距离多大？t 2.0 103s时，x